3.3.1 抛物线及其标准方程 学案2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线及其标准方程 学案2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 268.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 19:53:48 | ||
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文档简介
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．了解抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程． 1．结合教材实例掌握抛物线的定义．(数学抽象)
2．掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程．(数学运算)
3．通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(数学运算)
必备知识·探新知
知识点1 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)__距离相等__的点的轨迹．
2．焦点：定点F．
3．准线：定直线l．
思考1：抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F？
提示：若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点2 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
__y2＝2px(p＞0)__ ____ __x＝－__
__y2＝－2px(p＞0)__ ____ __x＝__
__x2＝2py(p＞0)__ ____ __y＝－__
__x2＝－2py(p＞0)__ ____ __y＝__
思考2：抛物线方程中p(p＞0)的几何意义是什么？
提示：p的几何意义是焦点到准线的距离．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
典例1 求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－12x；(2)3x2－4y＝0；(3)x＝32y2；(4)y2＝ax(a≠0)．
[分析] 先将所给方程转化为标准方程的形式，确定其开口方向，求出p的值，再写出焦点坐标和准线方程．
[解析] (1)由方程y2＝－12x知，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝12，所以p＝6，＝3，因此焦点坐标为(－3,0)，准线方程为x＝3．
(2)方程3x2－4y＝0可化为x2＝y，抛物线开口向上，焦点在y轴的正半轴上，2p＝，所以p＝，＝，因此焦点坐标为，准线方程为y＝－．
(3)方程x＝32y2可化为y2＝x，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2p＝，所以p＝，＝，因此焦点坐标为，准线方程为x＝－．
(4)当a＞0时，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2p＝a，所以p＝，＝，因此焦点坐标为，准线方程为x＝－；
当a＜0时，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝－a，所以p＝－，＝－，因此焦点坐标为，准线方程为x＝－．
综上可得，当a≠0时，抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－．
[规律方法] 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，要注意p＞0，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
【对点训练】? (1)抛物线x2＋2y＝0的准线方程为( C )
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
(2)抛物线y＝－x2的焦点坐标为( D )
A． B．
C． D．
[解析] (1)方程化为x2＝－2y，焦点在y轴的负半轴上，p＝1，所以准线方程是y＝．
(2)方程化为x2＝－y，焦点在y轴负半轴上，2p＝1，所以＝，故焦点坐标为．
题型二 求抛物线的标准方程
典例2 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点(－3，－1)；
(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
[分析] (1)(2)→→
(3)→→
(4)→→
[解析] (1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y．
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以
满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y．
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝．
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y．
(4)对于直线方程为3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．
[规律方法] 1．求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p．当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．
2．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
【对点训练】? 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(－1,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
[分析] 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p，因此只需一个条件即可．
[解析] (1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，
∵过点(－1,2)，∴4＝－2p·(－1)或(－1)2＝2p·2．
∴p＝2或p＝．
故所求的抛物线方程为y2＝－4x或x2＝y，
对应的准线方程分别为x＝1，y＝－．
(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
当焦点为(4,0)时，＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，＝|－2|，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y．
故所求的抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2．
题型三 利用抛物线的定义解决轨迹问题
典例3 已知动点M(x，y)满足5＝|3x－4y＋2|，则动点M的轨迹是( D )
A．椭圆 B．双曲线
C．直线 D．抛物线
[解析] 方程5＝|3x－4y＋2|可化为＝，
表示点M(x，y)到定点(1,0)的距离，表示M(x，y)到定直线3x－4y＋2＝0的距离，因此动点M(x，y)到定点(1,0)的距离等于它到定直线3x－4y＋2＝0的距离，且定点(1,0)不在定直线3x－4y＋2＝0上，故动点M的轨迹是以(1,0)为焦点，以3x－4y＋2＝0为准线的抛物线．
[规律方法] 定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时，要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，对所给方程进行适当变形，分析其几何意义，然后结合有关曲线的定义作出判定．
【对点训练】? 一个动圆经过点A(2,0)，并且和直线l：x＝－2相切，则动圆圆心M的轨迹方程是__y2＝8x__．
[解析] 设动圆的半径为R．因为动圆经过点A(2,0)，所以|MA|＝R．又因为动圆和直线l：x＝－2相切，所以圆心M到直线l：x＝－2的距离d＝R，即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等，故其轨迹是抛物线，且A是焦点，l是准线，并且有＝2，所以p＝4，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝8x．
题型四 抛物线的实际应用
典例4 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．
[分析] 建立适当的坐标系，通过确定点的坐标确定出抛物线的方程，把卡车的宽度坐标化，利用抛物线解决问题．
[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点B的坐标为，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则2＝m·，
∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay．
将(0.8，y1)代入抛物线方程，
得0.82＝－ay1，即y1＝－．
欲使卡车通过隧道，应有y1－＞3，
即－＞3．∵a＞0，∴a＞6＋4．
故使卡车通过的a的最小整数值为13．
[规律方法] 求解抛物线的实际应用问题的基本步骤
(1)建：建立适当的坐标系．
(2)设：设出合适的抛物线标准方程．
(3)算：通过计算求出抛物线标准方程．
(4)求：求出所要求出的量．
(5)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
【对点训练】? 如图是抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 __2__米．
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2．
∴x2＝－2y．将B(x0，－3)代入x2＝－2y，得x0＝或－(舍去)，故水面宽为2米．
易错警示
典例5 设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．
[错解] 准线方程为x＝－，
因为准线与直线x＝1的距离为3，
所以准线方程为x＝－2，所以－＝－2，所以m＝8，
故抛物线方程为y2＝8x．
[辨析] 题目条件中未给出m的符号，当m＞0或m＜0时，抛物线的准线是不同，错解考虑问题欠周到．
[正解] 当m＞0时，准线方程为x＝－，由条件知1－＝3，所以m＝8．
此时抛物线方程为y2＝8x；
当m＜0时，准线方程为x＝－，由条件知－－1＝3，所以m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x．
所以所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x．
3.3.1 抛物线及其标准方程
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．了解抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程． 1．结合教材实例掌握抛物线的定义．(数学抽象)
2．掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程．(数学运算)
3．通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(数学运算)
必备知识·探新知
知识点1 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)__距离相等__的点的轨迹．
2．焦点：定点F．
3．准线：定直线l．
思考1：抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F？
提示：若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点2 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
__y2＝2px(p＞0)__ ____ __x＝－__
__y2＝－2px(p＞0)__ ____ __x＝__
__x2＝2py(p＞0)__ ____ __y＝－__
__x2＝－2py(p＞0)__ ____ __y＝__
思考2：抛物线方程中p(p＞0)的几何意义是什么？
提示：p的几何意义是焦点到准线的距离．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
典例1 求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－12x；(2)3x2－4y＝0；(3)x＝32y2；(4)y2＝ax(a≠0)．
[分析] 先将所给方程转化为标准方程的形式，确定其开口方向，求出p的值，再写出焦点坐标和准线方程．
[解析] (1)由方程y2＝－12x知，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝12，所以p＝6，＝3，因此焦点坐标为(－3,0)，准线方程为x＝3．
(2)方程3x2－4y＝0可化为x2＝y，抛物线开口向上，焦点在y轴的正半轴上，2p＝，所以p＝，＝，因此焦点坐标为，准线方程为y＝－．
(3)方程x＝32y2可化为y2＝x，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2p＝，所以p＝，＝，因此焦点坐标为，准线方程为x＝－．
(4)当a＞0时，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2p＝a，所以p＝，＝，因此焦点坐标为，准线方程为x＝－；
当a＜0时，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝－a，所以p＝－，＝－，因此焦点坐标为，准线方程为x＝－．
综上可得，当a≠0时，抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－．
[规律方法] 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，要注意p＞0，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
【对点训练】? (1)抛物线x2＋2y＝0的准线方程为( C )
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
(2)抛物线y＝－x2的焦点坐标为( D )
A． B．
C． D．
[解析] (1)方程化为x2＝－2y，焦点在y轴的负半轴上，p＝1，所以准线方程是y＝．
(2)方程化为x2＝－y，焦点在y轴负半轴上，2p＝1，所以＝，故焦点坐标为．
题型二 求抛物线的标准方程
典例2 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点(－3，－1)；
(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
[分析] (1)(2)→→
(3)→→
(4)→→
[解析] (1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y．
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以
满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y．
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝．
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y．
(4)对于直线方程为3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．
[规律方法] 1．求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p．当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．
2．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
【对点训练】? 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(－1,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
[分析] 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p，因此只需一个条件即可．
[解析] (1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，
∵过点(－1,2)，∴4＝－2p·(－1)或(－1)2＝2p·2．
∴p＝2或p＝．
故所求的抛物线方程为y2＝－4x或x2＝y，
对应的准线方程分别为x＝1，y＝－．
(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
当焦点为(4,0)时，＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，＝|－2|，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y．
故所求的抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2．
题型三 利用抛物线的定义解决轨迹问题
典例3 已知动点M(x，y)满足5＝|3x－4y＋2|，则动点M的轨迹是( D )
A．椭圆 B．双曲线
C．直线 D．抛物线
[解析] 方程5＝|3x－4y＋2|可化为＝，
表示点M(x，y)到定点(1,0)的距离，表示M(x，y)到定直线3x－4y＋2＝0的距离，因此动点M(x，y)到定点(1,0)的距离等于它到定直线3x－4y＋2＝0的距离，且定点(1,0)不在定直线3x－4y＋2＝0上，故动点M的轨迹是以(1,0)为焦点，以3x－4y＋2＝0为准线的抛物线．
[规律方法] 定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时，要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，对所给方程进行适当变形，分析其几何意义，然后结合有关曲线的定义作出判定．
【对点训练】? 一个动圆经过点A(2,0)，并且和直线l：x＝－2相切，则动圆圆心M的轨迹方程是__y2＝8x__．
[解析] 设动圆的半径为R．因为动圆经过点A(2,0)，所以|MA|＝R．又因为动圆和直线l：x＝－2相切，所以圆心M到直线l：x＝－2的距离d＝R，即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等，故其轨迹是抛物线，且A是焦点，l是准线，并且有＝2，所以p＝4，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝8x．
题型四 抛物线的实际应用
典例4 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．
[分析] 建立适当的坐标系，通过确定点的坐标确定出抛物线的方程，把卡车的宽度坐标化，利用抛物线解决问题．
[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点B的坐标为，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则2＝m·，
∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay．
将(0.8，y1)代入抛物线方程，
得0.82＝－ay1，即y1＝－．
欲使卡车通过隧道，应有y1－＞3，
即－＞3．∵a＞0，∴a＞6＋4．
故使卡车通过的a的最小整数值为13．
[规律方法] 求解抛物线的实际应用问题的基本步骤
(1)建：建立适当的坐标系．
(2)设：设出合适的抛物线标准方程．
(3)算：通过计算求出抛物线标准方程．
(4)求：求出所要求出的量．
(5)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
【对点训练】? 如图是抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 __2__米．
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2．
∴x2＝－2y．将B(x0，－3)代入x2＝－2y，得x0＝或－(舍去)，故水面宽为2米．
易错警示
典例5 设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．
[错解] 准线方程为x＝－，
因为准线与直线x＝1的距离为3，
所以准线方程为x＝－2，所以－＝－2，所以m＝8，
故抛物线方程为y2＝8x．
[辨析] 题目条件中未给出m的符号，当m＞0或m＜0时，抛物线的准线是不同，错解考虑问题欠周到．
[正解] 当m＞0时，准线方程为x＝－，由条件知1－＝3，所以m＝8．
此时抛物线方程为y2＝8x；
当m＜0时，准线方程为x＝－，由条件知－－1＝3，所以m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x．
所以所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x．