3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质 学案2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章
文档属性
| 名称 | 3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质 学案2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 223.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 19:51:40 | ||
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文档简介
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称轴、顶点、实轴长和虚轴长等)． 2．了解双曲线的渐近线，能用双曲线的简单几何性质解决简单的相关问题． 1．依据双曲线的方程、图形研究双曲线的几何性质．(数学抽象)
2．依据几何条件求出双曲线的标准方程，并利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题．(数学运算)
3．能综合利用双曲线的几何性质解决相关的问题．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·探新知
知识点1 双曲线的性质
标准方程 －＝1
(a＞0，b＞0) －＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 __x≥a或x≤－a__ __y≤－a或y≥a__
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 __y＝±x__ __y＝±x__
离心率 e＝____，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间 的关系 c2＝__a2＋b2__(c＞a＞0，c＞b＞0)
思考：双曲线的离心率有什么作用？
提示：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．
知识点2 等轴双曲线
实轴和虚轴__等长__的双曲线，它的渐近线方程是__y＝±x__，离心率为．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 由双曲线的方程求几何性质
典例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[分析] 将双曲线方程化为标准方程，先求出参数a，b，c的值，再写出各个结果．
[解析] 双曲线的方程化为标准形式为－＝1．
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝．
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x．
[规律方法] 求双曲线的几何性质的基本思路
1．已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质．
2．求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错．
【对点训练】? (1)双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是( D )
A．2 B．2
C．4 D．4
(2)双曲线－＝1的渐近线方程是( C )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析] (1)双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝8，a＝2，故实轴长2a＝4．
(2)因为a2＝4，b2＝9，焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x＝±x．
题型二 根据双曲线几何性质求其标准方程
典例2 求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2?3，且经过点P(，2)；
(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6．
[分析] 对于(1)和(2)，可直接设出双曲线方程，根据条件求出参数a，b的值，即得方程；对于(3)，焦点位置不确定，应分类讨论．
[解析] (1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵双曲线过点P(，2)，∴－＝1．
由题意得解得
故所求双曲线方程为－＝1．
(2)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝．
由题意得解得
∴所求的双曲线方程为－＝1．
(3)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3．
当λ＞0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；
当λ＜0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1．
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1．
[规律方法] 由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
【对点训练】? 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等．
[解析] (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知2b＝8，e＝＝，
从而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为－＝1．
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
题型三 求双曲线的离心率
典例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝．
[规律方法] 1．求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于a、b、c的等式，利用a2＋b2＝c2消去b化为关于a、c的齐次式，再利用e＝化为e的方程求解．
2．学习双曲线中应注意的几个问题：
(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；
(2)双曲线只有两个顶点，离心率e＞1；
(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；
(4)注意双曲线中a、b、c、e的等量关系与椭圆中a、b、c、e的不同．
【对点训练】? (2019·全国Ⅰ卷文，10)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( D )
A．2sin 40° B．2cos 40°
C． D．
[解析] 由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝ ＝＝
＝＝．
故选D．
易错警示
典例4 双曲线的渐近线方程为y＝±x，则离心率为( C )
A． B．
C．或 D．或
[错解] 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
得＝，
所以e＝＝＝，故选A．
[辨析] 错误的根本原因是误以为焦点只能在x轴上，造成失解．实际上本题应该有两种情况．
[正解] 当焦点在x轴上时＝，∴e＝＝＝，
当焦点在y轴上时，＝，∴e＝＝＝，故选C．
第1课时 双曲线的简单几何性质
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称轴、顶点、实轴长和虚轴长等)． 2．了解双曲线的渐近线，能用双曲线的简单几何性质解决简单的相关问题． 1．依据双曲线的方程、图形研究双曲线的几何性质．(数学抽象)
2．依据几何条件求出双曲线的标准方程，并利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题．(数学运算)
3．能综合利用双曲线的几何性质解决相关的问题．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·探新知
知识点1 双曲线的性质
标准方程 －＝1
(a＞0，b＞0) －＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 __x≥a或x≤－a__ __y≤－a或y≥a__
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 __y＝±x__ __y＝±x__
离心率 e＝____，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间 的关系 c2＝__a2＋b2__(c＞a＞0，c＞b＞0)
思考：双曲线的离心率有什么作用？
提示：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．
知识点2 等轴双曲线
实轴和虚轴__等长__的双曲线，它的渐近线方程是__y＝±x__，离心率为．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 由双曲线的方程求几何性质
典例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[分析] 将双曲线方程化为标准方程，先求出参数a，b，c的值，再写出各个结果．
[解析] 双曲线的方程化为标准形式为－＝1．
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝．
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x．
[规律方法] 求双曲线的几何性质的基本思路
1．已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质．
2．求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错．
【对点训练】? (1)双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是( D )
A．2 B．2
C．4 D．4
(2)双曲线－＝1的渐近线方程是( C )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析] (1)双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝8，a＝2，故实轴长2a＝4．
(2)因为a2＝4，b2＝9，焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x＝±x．
题型二 根据双曲线几何性质求其标准方程
典例2 求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2?3，且经过点P(，2)；
(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6．
[分析] 对于(1)和(2)，可直接设出双曲线方程，根据条件求出参数a，b的值，即得方程；对于(3)，焦点位置不确定，应分类讨论．
[解析] (1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵双曲线过点P(，2)，∴－＝1．
由题意得解得
故所求双曲线方程为－＝1．
(2)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝．
由题意得解得
∴所求的双曲线方程为－＝1．
(3)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3．
当λ＞0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；
当λ＜0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1．
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1．
[规律方法] 由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
【对点训练】? 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等．
[解析] (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知2b＝8，e＝＝，
从而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为－＝1．
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
题型三 求双曲线的离心率
典例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝．
[规律方法] 1．求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于a、b、c的等式，利用a2＋b2＝c2消去b化为关于a、c的齐次式，再利用e＝化为e的方程求解．
2．学习双曲线中应注意的几个问题：
(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；
(2)双曲线只有两个顶点，离心率e＞1；
(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；
(4)注意双曲线中a、b、c、e的等量关系与椭圆中a、b、c、e的不同．
【对点训练】? (2019·全国Ⅰ卷文，10)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( D )
A．2sin 40° B．2cos 40°
C． D．
[解析] 由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝ ＝＝
＝＝．
故选D．
易错警示
典例4 双曲线的渐近线方程为y＝±x，则离心率为( C )
A． B．
C．或 D．或
[错解] 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
得＝，
所以e＝＝＝，故选A．
[辨析] 错误的根本原因是误以为焦点只能在x轴上，造成失解．实际上本题应该有两种情况．
[正解] 当焦点在x轴上时＝，∴e＝＝＝，
当焦点在y轴上时，＝，∴e＝＝＝，故选C．