_3.2.1双曲线及其标准方程 学案 2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章
文档属性
| 名称 | _3.2.1双曲线及其标准方程 学案 2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 244.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-27 22:31:58 | ||
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文档简介
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的定义，标准方程及几何图形． 1．结合教材实例掌握双曲线的定义．(数学抽象)
2．掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程．(数学运算)
3．通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·探新知
知识点1 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__绝对值__等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}．
3．焦点：两个__定点F1，F2__．
4．焦距：__两焦点间__的距离，表示为|F1F2|．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a＜|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
提示：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨
迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
知识点2 双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 __－＝1(a＞0，b＞0)__ __－＝1(a＞0，b＞0)__
焦点 __(－c,0)，(c,0)__ __(0，－c)，(0，c)__
a，b，c 的关系 c2＝__a2＋b2__
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 双曲线定义的应用
典例1 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离．
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[分析] (1)直接利用定义求解．
(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|．
[解析] (1)设|MF1|＝16，
根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，
即|MF2|－16＝±6．
解得|MF2|＝10或|MF2|＝22．
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5．
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16．
[规律方法] 求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式S＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
(3)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则面积S＝．这一结论适用于选择或填空题．
【对点训练】? 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
[解析] 在双曲线的方程中，a＝3，b＝4，则c＝5．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m＞0，n＞0)．
由双曲线的定义可知，|m－n|＝2a＝6，
两边平方，得m2＋n2－2mn＝36．又∵∠F1PF2＝90°，
∴由勾股定理，得m2＋n2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100．
∴mn＝32，∴S△F1PF2＝mn＝16．
题型二 求双曲线的标准方程
典例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[分析] (1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．
(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．
(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．
[解析] (1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b＞0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)方法1：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1．
方法2：设所求双曲线的方程为－＝1(－4＜λ＜16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1．
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0．
∵点P，Q在双曲线上，∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
[规律方法] 1．求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；
(2)求出a2，b2的值．
2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)来求解．
【对点训练】? 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)．
[解析] (1)由已知得，c＝5,2a＝8，即a＝4．
∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9．
∵焦点在x轴上，
∴所求的双曲线标准方程是－＝1．
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＜0)，则
∴
∴双曲线方程为－＝1．
题型三 利用双曲线的标准方程求参数方程
典例3 给出曲线方程＋＝1．
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[分析] 根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解．
[解析] (1)将所给方程化为－＝1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k)(k－1)＞0，解得k＞1或k＜－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
(2)将所给方程化为－＝1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k＜－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4)．
[规律方法] 方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
【对点训练】? 求满足下列条件的参数的值．
(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；
(2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值．
[解析] (1)若焦点在x轴上，则方程可化为
－＝1，
所以＋k＝32，即k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，
所以－k＋＝32，即k＝－6．
综上所述，k的值为6或－6．
(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)．
由椭圆方程，知c2＝4－a2，
所以a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．
因此a的值为1．
题型四 双曲线的实际应用
典例4 相距2 000 m的两个哨所A、B，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间迟4 s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[分析] 爆炸点与哨所A、B的“距离差”等于声速乘以两哨所听到爆炸声的“时间差”，且爆炸点距B哨所较近．
[解析] 设爆炸点为P，由已知可得
|PA|－|PB|＝330×4＝1 320＞0．
因为|AB|＝2 000＞1 320，所以点P在以A、B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上．
建立如图平面直角坐标系，使A、B两点在x轴上，线段AB的中点为坐标原点．
由2a＝1 320,2c＝2 000得，
a＝660，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400．
因此，点P所在曲线的方程是
－＝1(x＞0)．
[规律方法] 解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．
【对点训练】? 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
[解析]
设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为－＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8,5)，
∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°．
易错警示
典例5 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．
[错解] 将双曲线方程化为标准方程－＝1．因为焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝，所以c＝＝＝3，即＝9，所以k＝．
[辨析] 上述解法有两处错误：一是a2、b2确定错误，应该是a2＝－，b2＝－；二是a、b、c的关系式用错了．在双曲线中应为c2＝a2＋b2．
[正解] 将双曲线方程化为kx2－y2＝1，即－＝1．因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以c＝3，a2＝－，b2＝－，所以a2＋b2＝－－＝－＝c2＝9．所以k＝－1．
3.2.1 双曲线及其标准方程
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的定义，标准方程及几何图形． 1．结合教材实例掌握双曲线的定义．(数学抽象)
2．掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程．(数学运算)
3．通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·探新知
知识点1 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__绝对值__等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}．
3．焦点：两个__定点F1，F2__．
4．焦距：__两焦点间__的距离，表示为|F1F2|．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a＜|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
提示：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨
迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
知识点2 双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 __－＝1(a＞0，b＞0)__ __－＝1(a＞0，b＞0)__
焦点 __(－c,0)，(c,0)__ __(0，－c)，(0，c)__
a，b，c 的关系 c2＝__a2＋b2__
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 双曲线定义的应用
典例1 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离．
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[分析] (1)直接利用定义求解．
(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|．
[解析] (1)设|MF1|＝16，
根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，
即|MF2|－16＝±6．
解得|MF2|＝10或|MF2|＝22．
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5．
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16．
[规律方法] 求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式S＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
(3)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则面积S＝．这一结论适用于选择或填空题．
【对点训练】? 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
[解析] 在双曲线的方程中，a＝3，b＝4，则c＝5．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m＞0，n＞0)．
由双曲线的定义可知，|m－n|＝2a＝6，
两边平方，得m2＋n2－2mn＝36．又∵∠F1PF2＝90°，
∴由勾股定理，得m2＋n2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100．
∴mn＝32，∴S△F1PF2＝mn＝16．
题型二 求双曲线的标准方程
典例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[分析] (1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．
(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．
(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．
[解析] (1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b＞0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)方法1：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1．
方法2：设所求双曲线的方程为－＝1(－4＜λ＜16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1．
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0．
∵点P，Q在双曲线上，∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
[规律方法] 1．求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；
(2)求出a2，b2的值．
2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)来求解．
【对点训练】? 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)．
[解析] (1)由已知得，c＝5,2a＝8，即a＝4．
∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9．
∵焦点在x轴上，
∴所求的双曲线标准方程是－＝1．
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＜0)，则
∴
∴双曲线方程为－＝1．
题型三 利用双曲线的标准方程求参数方程
典例3 给出曲线方程＋＝1．
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[分析] 根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解．
[解析] (1)将所给方程化为－＝1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k)(k－1)＞0，解得k＞1或k＜－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
(2)将所给方程化为－＝1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k＜－4，故实数k的取值范围是(－∞，－4)．
[规律方法] 方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
【对点训练】? 求满足下列条件的参数的值．
(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；
(2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值．
[解析] (1)若焦点在x轴上，则方程可化为
－＝1，
所以＋k＝32，即k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，
所以－k＋＝32，即k＝－6．
综上所述，k的值为6或－6．
(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)．
由椭圆方程，知c2＝4－a2，
所以a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．
因此a的值为1．
题型四 双曲线的实际应用
典例4 相距2 000 m的两个哨所A、B，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间迟4 s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．
[分析] 爆炸点与哨所A、B的“距离差”等于声速乘以两哨所听到爆炸声的“时间差”，且爆炸点距B哨所较近．
[解析] 设爆炸点为P，由已知可得
|PA|－|PB|＝330×4＝1 320＞0．
因为|AB|＝2 000＞1 320，所以点P在以A、B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上．
建立如图平面直角坐标系，使A、B两点在x轴上，线段AB的中点为坐标原点．
由2a＝1 320,2c＝2 000得，
a＝660，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400．
因此，点P所在曲线的方程是
－＝1(x＞0)．
[规律方法] 解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．
【对点训练】? 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
[解析]
设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为－＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8,5)，
∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°．
易错警示
典例5 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．
[错解] 将双曲线方程化为标准方程－＝1．因为焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝，所以c＝＝＝3，即＝9，所以k＝．
[辨析] 上述解法有两处错误：一是a2、b2确定错误，应该是a2＝－，b2＝－；二是a、b、c的关系式用错了．在双曲线中应为c2＝a2＋b2．
[正解] 将双曲线方程化为kx2－y2＝1，即－＝1．因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以c＝3，a2＝－，b2＝－，所以a2＋b2＝－－＝－＝c2＝9．所以k＝－1．