6.3.1平面向量基本定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练Word含解析

6.3.1 平面向量基本定理
一、知识梳理
1.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，____________实数，使。
2.基底：________的两向量，叫做基底。
二、重点题型
知识点一 ： 基底的概念
1.下面三种说法中，正确的是(　　)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
2．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
知识点二 ：用基底表示向量
3.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________.
4．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
5．在?ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
知识点三 ：平面向量基本定理的应用
6.设e1，e2是平面内的一组基底，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2，求证：A，B，D三点共线．
三、巩固练习
1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　)
A.(a＋b) B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
2．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是(　　)
A．a＋b与a－b B．a＋2b与2a＋b
C．a＋b与－a－b D．a与－b
3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则O等于(　　)
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.a＋b
4．如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝(　　)
A. B. C．1 D．2
5．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量，则＝________.
6．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则A与A的夹角为________．
7．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
8．如图所示，已知△AOB中，点C是点B关于点A的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值．
6.3.1 平面向量基本定理
一、知识梳理
1. 有且只有一对,.
2.不共线。
二、重点题型
1.B 只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B.
2.λ≠ 考虑向量a，b共线，则有λ＝，故当λ≠时，向量a，b不共线，可作为一组基底.
3. 因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝.
4.解：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb.则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因为e1，e2不共线，
所以解得所以c＝a－2b.
5.解法一：(转化法)如图，设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，
＝＝＝b.∴＝＋＝－＝a－b，＝＋＝b＋a.
解法二：(方程思想)设＝x，＝y，则有＋＝，－＝且＝＝y，
即∴x＝a－b，y＝a＋b，即＝a－b，＝a＋b.
6.证明：∵＝3e1－2e2，＝＋＋＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5，即＝5，∴与共线，又与有公共点A，∴A，B，D三点共线．
二、巩固练习
1.C 因为＝2，所以＝.
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
2.C 由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．
3.D ∵＝λ，∴－＝λ(－)，∴(1＋λ)＝＋λ，∴＝＋·＝a＋b.故选D.
4. 由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)＝＋＝＋.∵＝x＋y，∴x＋y＝＋.∵与不共线，∴由平面向量基本定理，得∴3x－2y＝3×－2×＝1.故选C
5.b＋a ＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
6.90° ∵＝(＋)，∴O为BC的中点．则BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
故与的夹角为90°.
7. 设＝k，则＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝(1－k)＋，又＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.
8.解：(1)由题意，知A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，知＋＝2.
∴＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)∵∥，又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.