6.4.3(2) 正弦定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练Word含解析

6.4.3(2) 正弦定理
一、知识梳理
1.正弦定理：。(R为三角形外接圆的半径)
2.正弦定理的推论：
⑴.
⑵.
⑶.
二、重点题型
知识点一 ：已知两边及一边的对角解三角形
1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝(　　)
A. B. C. D．1
2．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________.
知识点二 ： 已知两角及一边解三角形
3.一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所对的边的长是6，那么60°角所对的边的长是(　　)
A．3 B．3 C．3 D．2
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边c＝________.
知识点三 ： 正弦定理的应用
5.△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　　)
A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定
6．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B.等边三角形
C．直角三角形 D.等腰直角三角形
知识点四：正弦定理与余弦定理的综合应用
7.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A. B. C. D.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b·cosA＝ccosA＋acosC.
(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)
A．± B. C．－ D.
10．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60°，则B＝________.
11.已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求角A，C和边c.
三、巩固练习
1．在钝角三角形ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则角A的大小为(　　)
A．120° B．45° C．30° D．15°
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)
A. B．2 C. D.
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若C＝120°，c＝a，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝75°，B＝45°，c＝3，则边b的值为________．
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC＝(3a－c)cosB.若·＝4，则ac的值为________．
9．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cosA的值；(2)求c的值．

6.4.3（2） 正弦定理 答案
一、知识梳理
1. 。
2. ⑴.
⑵。
⑶。
二、重点题型
1.B 由＝，知＝，即sinB＝.故选B.
2. 由正弦定理，得＝，即sinC＝＝＝.
由题意可知C为锐角，∴cosC＝＝.∴sinB＝sin(180°－120°－C)
＝sin(60°－C)＝sin60°cosC－cos60°sinC＝.
3.A 设60°角所对的边的长为x，由＝，得x＝＝＝3。
4.2 由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，由＝，得c＝＝＝2.
5.B ∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＝bsin30°>bsinC，又c∴此三角形有两解．
6.A 由正弦定理，acosB＝bcosA?sinAcosB＝sinBcosA?sin(A－B)＝0，
由于－π7.C 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝2＋9－2××3×＝5.
∴AC＝.由正弦定理，得＝，所以sinA＝＝＝.
8．解　(1)由正弦定理，2bcosA＝ccosA＋acosC?2cosAsinB＝cosAsinC＋sinAcosC
＝sin(A＋C)＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
(2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
把b＋c＝4代入，得bc＝3.
9.D 根据正弦定理＝，得sinB＝＝，又a＞b，所以角B为锐角，所以cosB＝.故选D.
10.30° 由正弦定理，得sinB＝b×＝2×＝.∵0°11.解：由正弦定理＝，得＝，∴sinA＝，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°.∵sin75°＝sin(30°＋45°)
＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝，∴c＝＝.
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°.∵sin15°＝sin(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝，∴c＝＝.
∴A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
三、巩固练习
1.C 由于＝，将AB＝，AC＝1，B＝30°代入，求得sinC＝.又由△ABC是钝角三角形，知C＝120°，所以A＝30°.故选C.
2.D 由正弦定理，得＝，∴sinC＝＝.又c3．C 由正弦定理＝，得sinB＝＝＝>1.∴B不存在．即满足条件的三角形不存在．
4.D 由＝及余弦定理，得＝，即＝，所以由正弦定理，得＝，所以有sin2A＝sin2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.故选D.
5.C 由正弦定理可得＝＝＝2a.所以sinA＝，又显然A为锐角，
可得A＝30°.所以B＝180°－A－C＝30°，所以a＝b.故选C.
6.1 设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝1.
7.2 因为A＝75°，B＝45°，所以C＝60°，由正弦定理可得b＝＝
＝2.
8.12 由正弦定理，得sinBcosC＝(3sinA－sinC)cosB.化简，得cosB＝.又∵B·B＝accosB＝4，∴ac＝＝12.
9.解：(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以＝，故cosA＝.
(2)由(1)，知cosA＝，所以sinA＝＝.又因为∠B＝2∠A，
所以cosB＝2cos2A－1＝.所以sinB＝＝，
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.