6.4.3(3) 余弦定理、正弦定理的应用举例-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练 (1)Word含解析

6.4.3（3）余弦定理、正弦定理的应用举例
一、知识梳理
1.三角形面积公式：。
2.应用类型：求距离、高度、角度、面积、判定三角形形状等
3.几种角：方向角、方位角、仰角、俯角等。
二、重点题型
知识点一 ： 距离问题
1．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为(　　)
A. B.
C. D.
知识点二 ：测量高度问题
2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000 m到达点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　)
A．500 m B．200 m C．1000 m D．1000 m
知识点三 ： 测量角度问题
3.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇．
4. 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，
∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为________．
知识点四：面积问题
5. 在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，求△ABC的面积．
6．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则(　 　)
A．A＝30° B．A＝60° C．A＝30°或150° D．A＝60°或120°
三、巩固练习
1．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(　　)
A. B. C.或 D.或
2．如右图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是(　　)
A．10 km B.10 km C．15 km D.15 km
3．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(　　)
A．100 m B.100 m
C．50(＋) m D.200 m
4．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　)
A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m
5．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是________ h.
6．如右图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．
6.4.3（3）余弦定理、正弦定理应用举例
一、知识梳理
1.
二、重点题型
1.B 在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝
＝.
2.D ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS中，AB＝＝＝1000(m)，
∴BC＝AB·sin45°＝1000×＝1000(m)．
3.北偏东30° 如图，设经过t h两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at n mile，
AC＝at n mile，B＝180°－60°＝120°，由＝，
得sin∠CAB＝＝＝.∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
4.a 解法一：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，又因为∠ACD＝60°，
所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，所以BD＝CD·＝a·＝a，
在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝a2＋2－2·a·a·＝a2，所以AB＝a.
解法二：在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得＝，
则BC＝＝a，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ACD为等边三角形．因为∠ADB＝∠BDC，所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝a.
5.解：由＝，得sinB＝sinA，∴sinB＝·sin30°＝.
又∵8·sin30°<8<8，即bsinA6．D ∴A＝60°或120°。
三、巩固练习
1.D ＝，∴sinC＝.∵0°<∠C<180°，∴∠C＝60°或120°.(1)当∠C＝60°时，∠A＝90°，∴BC＝2.此时S△ABC＝.(2)当∠C＝120°时，∠A＝30°，
此时S△ABC＝××1×sin30°＝.
2.B 在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，
∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝＝＝10(km)．
3.A 如图，由条件知，
AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)
＝25(＋)(m)，CD＝100cos75°＝25(－)(m)，BD＝·sin60°
＝25(3＋)(m)．∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)＝100(m)．
4.D 设建筑物的高度为h m，由题图知，PA＝2h m，PB＝h m，PC＝h m，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝①，
cos∠PBC＝②。∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0③。
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.
5. 设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t h，则AB＝21t n mile，BC＝9t n mile，AC＝10 n mile，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos120°，解得t＝或t＝－(舍去)．
6.解：(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12 n mile，AC＝10×2＝20(n mile)．由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28 n mile.
所以渔船甲的速度为＝14 n mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12 n mile，∠BAC＝120°，BC＝28 n mile，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.即sinα＝＝＝.