北京市第171中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题 Word版含答案

北京市第一七一中学2020—2021学年第二学期高二数学3月考试卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝sin2x B．y＝x3－x
C．y＝xex D．y＝－x＋ln(1＋x)
2．曲线f(x)＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为( )
A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4)
C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)
3．4名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4．若 ，则
A. B. C. D.
5．已知函数f(x)，且3 A．f(3)>f(a)>f(b) B．f(b)>f(a)>f(3) C．f(3)>f(b)>f(a) D．f(a)>f(b)>f(3)
6．函数 在 上的单调性是
A. 单调递增 B. 在 上单调递减，在 上单调递增
C. 单调递减 D. 在 上单调递增，在 上单调递减
7．若函数 在 内有最小值，则 的取值范围为
A. B. C. D.
8．函数 的图象大致是
A. B.
C. D.
9．函数f(x)＝－x3＋x2＋x－2的零点个数及分布情况为( )
A．一个零点，在内
B．二个零点，分别在，(0，＋∞)内
C．三个零点，分别在，，(1，＋∞)内
D．三个零点，分别在，(0,1)，(1，＋∞)内
10．设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f′(x)>f(x)，对任意的正数a，下面不等式恒成立的是( )
A．f(a)eaf(0) C．f(a)< D．f(a)>

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．从甲、乙等 个人中选出 人排成一列，则甲不在排头的排法种数是________．
12．函数false有极值的充要条件是________．
13．函数 的图象在点 处切线的方程为 ?．
14．已知定义在 上的函数 的图象如图所示，则 的解集为 ?．


15．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．


三、解答题(本大题共6个小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. 已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)在区间[0,3]的最值．


17.从高三学生中抽取 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围区间是 ，且成绩在区间 的学生人数是 人．

（1）求 ， 的值；
（2）若从数学成绩（单位：分）在 的学生中随机选取 人进行成绩分析．
（i）列出所有可能的抽取结果；
（ii）设选取的 人中，成绩都在 内为事件 ，求事件 发生的概率．
18.如图，已知四棱锥 的底面 为正方形，，， 分别是 ， 的中点，，．

（1）求证：；
（2）求二面角 的大小．

19.设函数 ．
讨论： 的单调性；
证明：a=1时，f(x)；
（3）当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围．
20.已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上．
（1）求 的方程；
（2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，，线段 的中点为 ．证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值．
21.已知数列false，从中选取第false项、第false项、…、第false项（false），若false，则称新数列false为false的长度为false的递增子列．规定：数列false的任意一项都是false的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列9，2，6，7，3，5，8的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）设数列false，false，false．若数列false的长度为false的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求false的最大值；
（Ⅲ）设数列false为等比数列，公比为false，项数为falsefalse．判定数列false是否存在长度为false的递增子列：false？若存在，求出false的最小值；若不存在，说明理由．
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
A
C
B
B
B
A
A
B
11.48，12.a<0 13,x-y=0 14.{x|x<0或1 16.解 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2.
故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞),减区间为(－2,2)．
(1)当x＝－2，f(x)取得极大值，
故f(－2)＝－＋8＋m＝，
∴m＝4.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x＋4，
又当x＝2时，f(x)有最小值f(2)＝－.
f(0)＝4，f(3)＝1，f(x)有最大值f(0)＝4。
17.（1） 由直方图可得成绩分布在区间 的概率为 ，
所以 ，
样本容量 ；
????（2） （i）成绩在区间 共有 人记为 ，，
成绩在区间 共有 人记为 ，，，
则从中随机选取 人所有可能的抽取结果共有 种情况：
；
（ii）“从上述 人中任选 人，都来自 分数段”为事件 ；
则事件 包含的基本事件有 ，
故所求概率 ．
18.
（1） ．
????（2） 以 为原点，如图所示建立直角坐标系．
，，，，．
设平面 法向量为 ，则
，，
，
所以 ，即二面角 的大小为 ．
19.（1） 的定义域为 ，
所以 ，
若 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
若 ，则当 时，，当 时，，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
????（2） 由（1）知，当 时， 在 上无最大值；当 时， 在 处取得最大值，最大值为 ，
因为 ，
所以 ，令 ，
因为 在 单调递增，，
所以当 时，，当 时，，
所以 的取值范围为 ．
20.（1） 由题意得
解得 ，．
所以 的方程为 ．
????（2） 设直线 （，），，，．
将 代入 ，
得 ．
故 ，．
于是直线 的斜率 ，即 ．
所以直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值．
21.解：（Ⅰ）长度为4的一个递增子列为：2，6，7，8（或2，3，5，8）.
（Ⅱ）设数列false的长度为false的递增子列为false，false．
因为数列false：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，各项均为正整数.
所以 false．（若false，则false成等差数列）.
同理 false，且false，
所以 false.
同理 false，
又因为false，
所以 false与已知条件矛盾.
所以 false.
构造数列false的递增子列：1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列，
所以false的最大值为8.
（Ⅲ）不存在. 理由如下：
由题意，假设数列false存在长度为false的递增子列：false，
则存在false，使false．
所以 false，得false．
同理 false，得false．
所以 false．
下面证明 false为无理数：
假设false为有理数，false，且false互质，
所以 false.
因为 false是偶数，false是奇数，
所以 false，与事实矛盾，故假设不成立.
所以 false为无理数.
又因为 false，false为有理数，
所以（*）式不成立.
所以 数列false不存在长度为false的递增子列：false.