2．1 指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解n次方根及根式的概念．2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.
提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第33页
[基础认识]
知识点一 根式及相关概念
①若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；
②若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；
③若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；
④若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.
(1)观察①③，你认为正数的偶次方根都是两个吗？
提示：是．
(2)
一个数的奇次方根有几个？
提示：1个．
(3)
由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？
提示：小明．
知识梳理 1.a的n次方根定义：
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.
2．a的n次方根的表示：
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
[0，＋∞)
3.根式：
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二 根式的性质
(1)3，3，4分别等于多少？
提示：2，－2,2.
(2)
，，
，分别等于多少？
提示：－2,2,2,2.
(3)等式＝a及()2＝a恒成立吗？
提示：当a≥0时，两式恒成立；当a<0时，＝－a，()2无意义．
知识梳理 1.()n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n>1)．
2.＝
3.＝0.
4．负数没有偶次方根．
[自我检测]
1.的运算结果是( )
A．2
B．－2
C．±2
D．±
解析：＝＝2.
答案：A
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．
答案：C
3．若x3＝－5，则x＝__________.
解析：若x3＝－5，则x＝＝－.
答案：－
授课提示：对应学生用书第34页
探究一 根式的概念
[例1] (1)16的平方根为__________，－27的5次方根为__________．
(2)已知x7＝6，则x＝__________.
(3)若有意义，则实数x的取值范围是__________．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
(3)要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[答案] (1)±4 (2) (3)[2，＋∞)
方法技巧 判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
跟踪探究 1.下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.
答案：B
2．已知m10＝2，则m等于( )
A.
B．－
C.
D．±
解析：∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.
答案：D
探究二 利用根式的性质化简和求值
[阅读教材P50例1]求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)(a＞b)．
题型：根式求值
[例2] 化简：(1)
(x<π，n∈N
)；
(2)
.
[解析] (1)∵x<π，∴x－π<0，
当n为偶数时，
＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，
＝x－π.
综上，
＝
(2)∵a≤，
∴1－2a≥0.
∴
＝＝|2a－1|＝1－2a.
方法技巧 根式化简求值解题思路
解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答．
跟踪探究 3.计算下列各式的值．
(1)
；(2)
；(3)
；
(4)()3.
解析：(1)∵3是奇数，∴＝－2；
(2)∵4是偶数，∴
＝|－2|＝2，
(3)∵6是偶数，∴
＝|3－π|＝π－3，
(4)()3＝－2.
探究三 有限制条件的根式的运算
[例3] 若－3
[解析] －
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1因此，原式＝
延伸探究 将本例的条件“－3解析：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
方法技巧 带条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
授课提示：对应学生用书第35页
[课后小结]
1.＝
2．()n＝a，其不受n的限制，a的取值范围视n的奇偶而定．
[素养培优]
忽略n的范围导致式子
(a∈R)化简出错
化简
＋
＝__________.
易错分析：本题易忽视>0，而误认为＝1－而导致解题错误．
自我纠正：＋＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2.
答案：2
PAGE第2课时 指数幂及运算
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解分数指数幂的含义．2．掌握根式与分数指数幂的互化．3．掌握有理数指数幂的运算性质.
提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第35页
[基础认识]
知识点一 分数指数幂的意义
牛顿是大家所熟悉的物理学家，你知道他在数学上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼兹的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa…写成a2，a3，a4…，所以可将，，…写成a，a，…；将，，，…写成a－1，a－2，a－3…”．这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的扩充过程．
能否把，，写成下列形式：
＝a(a>0)；
＝b(b>0)；
＝c(c>0)．
提示：能．
知识梳理 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：
a
＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)．
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：
a－＝＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)．
3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
知识点二 有理数指数幂的运算性质
(1)整数指数幂的运算性质有哪些？
提示：①am·an＝am＋n；
②(am)n＝am·n；
③＝am－n(m＞n，a≠0)；
④(a·b)m＝am·bm.
(2)零和负整数指数幂是如何规定的？
提示：规定：a0＝1(a≠0)；00无意义，a－n＝(a≠0)．
知识梳理 1.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
[自我检测]
1．等于( )
A．25
B.
C.
D.
解析：＝＝，故选B.
答案：B
2．已知a>0，则等于( )
A.
B.
C.
D．－
解析：＝＝.
答案：B
3．()4＋(－1)0＝__________.
解析：()4＋(－1)0＝m2＋1.
答案：m2＋1
授课提示：对应学生用书第36页
探究一 根式与分数指数幂的互化
[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
(2)用分数指数幂的形式表示下列各式：
④法一：从外向里化为分数指数幂：
法二：从里向外化为分数指数幂：
[答案] (1)C (2)见解析
方法技巧 根式与分数指数幂的互化技巧
(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：，其中字母a要使式子有意义．
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．
跟踪探究 1.用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a＞0)：
(1)a3·；
(2)
探究二 利用分数指数幂求值
[阅读教材P51例2]求值：
题型：分数指数幂求值
[例2] 计算下列各式：
方法技巧 利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪探究 2.计算下列各式(式中字母都是正数)：
探究三 指数幂运算中的条件求值
[例3] 已知a＋a－＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解析] (1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
延伸探究 1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
解析：令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，
∴t＝±8，即a－a－1＝±8.
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
解析：由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.
方法技巧 解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
授课提示：对应学生用书第37页
[课后小结]
1.＝a(a>0)可以实现分数指数幂与根式的互化，但要注意根指数是分数指数的分母．
2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．
3．对于已知数值条件的化简求值问题，常利用“整体代入”的思想求解．
[素养培优]
忽略运算性质的条件而致误
求的值．
易错分析：原式＝1－－－1＋213÷214
＝1－－(－1)－1＋2－1＝－2.
自我纠正：原式＝－1－(－1)－1＋2－1＝－.
PAGE2．1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质.
提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象
授课提示：对应学生用书第38页
[基础认识]
知识点一 指数函数的定义
观察下列从数集A到数集B的对应：
①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x；
②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝x.
(1)这两个对应能构成函数吗？
提示：能．
(2)这两个函数有什么特点？
提示：底数是常数，指数是自变量．
知识梳理 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
思考：指数函数的定义中为什么规定a>0且a≠1?
提示：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因
(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．
(2)如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，在实数范围内函数值不存在．
(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.
知识点二 指数函数的图象与性质
(1)试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝x(x∈R)的图象．
提示：如图所示：
(2)两函数图象有无交点？
提示：有交点，其坐标为(0,1)．
(3)两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？
提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝x是减函数．
知识梳理
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
[自我检测]
1．下列函数中是指数函数的是( )
A．y＝5x＋1
B．y＝x4
C．y＝3－x
D．y＝2·3x
解析：形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数是指数函数．只有C选项符合，故选C.
答案：C
2．函数y＝ax－1(a>0且a≠1)的图象一定过点__________．
解析：当x－1＝0，即x＝1时，y＝1，
∴图象一定过点(1,1)．
答案：(1,1)
3．已知函数y＝(a－1)x是指数函数，且当x<0时，y>1，则实数a的取值范围是__________．
解析：∵x<0时y>1，∴0答案：(1,2)
授课提示：对应学生用书第39页
探究一 指数函数的概念
[例1] 下列函数中，哪些是指数函数？
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)．
[解析] (1)y＝10x符合定义，是指数函数；
(2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数；
(3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数；
(4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数；
(5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．
方法技巧 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)解析式的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：系数为1的一次单项式x；
(3)系数：ax的系数为1.
跟踪探究 1.若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝__________.
解析：由题意可知
解得
故a＝2.
答案：2
探究二 指数函数的图象
[例2] (1)函数y＝3－x的图象是( )
(2)函数y＝ax－1－3(a＞0)的图象恒过定点坐标是( )
A．(1，－3)
B．(1，－2)
C．(2，－3)
D．(2，－2)
[解析] (1)y＝3－x即y＝x，在(－∞，＋∞)上是减函数，且过定点(0,1)，故选B.
(2)令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2，
∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2)．故选B.
[答案] (1)B (2)B
方法技巧 1.可用指数函数的图象过定点(0,1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题．
2．要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系．
(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小．
(2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
(3)无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d＜c＜1＜b＜a.
跟踪探究 2.已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：函数y＝ax(0＜a＜1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点(0,1＋b)．因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限．
答案：A
探究三 指数函数的定义域、值域问题
[例3] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
[解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)．
(2)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，
所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以y＝＝0＝1，
即函数y＝的值域为{y|y＝1}．
(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
延伸探究 1.若本例(1)的函数换为“y＝”，求其定义域．
解析：由x－1≥0得x≥0，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．
2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
解析：∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，
∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1,4]，
且f(t)＝(t＋1)2＋1，
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，
即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5,26]．
方法技巧 求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其他函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
授课提示：对应学生用书第40页
[课后小结]
1．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式．
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性取决于底数a，分底数a＞1,0＜a＜1两种情况．
3．由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
[素养培优]
换元时忽略中间变量的范围导致错误
求函数y＝x＋x＋1的值域．
易错分析：令t＝x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋≥，
当t＝－时，ymin＝，
即函数的值域是.
自我纠正：令t＝x，t∈(0，＋∞)，
则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.
因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，
所以y＞2＋＝1，
即原函数的值域是(1，＋∞)．
PAGE第2课时 指数函数图象及性质的应用
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小，解不等式．2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题.
提升数学运算应用直观想象培养数学建模
授课提示：对应学生用书第41页
探究一 利用指数函数的单调性比较大小
[阅读教材P57例7]比较下列各数中两个值的大小：
(1)
1.72.5,1.73；
(2)
0.8－0.1,
0.8－0.2；
(3)
1.70.3,0.93.1.
题型：比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小：
(1)1.82.2与1.83；
(2)0.7－0.3与0.7－0.4；
(3)1.90.4与0.92.4.
[解析] (1)1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值．
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数．
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
方法技巧 比较幂的大小的方法
(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来比较．
跟踪探究 1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a、b、c的大小关系是( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
解析：1.20.8>1.20＝1,0.80.9<0.80.7<0.80＝1，∴b答案：D
探究二 解简单的指数不等式
[例2] 如果a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解析] ①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，
∴－5x>x＋7，解得x<－.
②当0ax＋7，
∴－5x－.
综上所述，x的取值范围是：当a>1时，x<－；
当0－.
方法技巧 指数不等式的解法
(1)形如ax＞ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论．
(2)形如ax＞b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax＞bx的不等式：可借助图象求解，也可转化为x＞1求解．
跟踪探究 2.若ax＋1>5－3x(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
解析：ax＋1>5－3x?ax＋1>a3x－5，
当a>1时，可得x＋1>3x－5，
∴x<3.
当0∴x>3.
综上，当a>1时，x<3；
当03.
探究三 指数函数的实际应用
[阅读教材P57例8]截止到1999年底，我国人口约13亿.
如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?
题型：实际应用
[例3] 某市现在人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题．
(1)试写出该市人口总数y(万人)与经过时间x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该市人口总数(精确到1万人)；
(3)计算多少年以后该市人口将达到120万人(精确到1年)．
(参考数据：1.01210≈1.127,1.01211≈1.140,1.01212≈1.154,1.01213≈1.168,
1.01214≈1.182,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210)
[解析] (1)1年后该市人口总数为
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，
2年后该市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，
3年后该市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，
…
x年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.
(2)10年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(万人)．
∴10年后该市人口总数约为113万人．
(3)依题意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，
解得x≈15.
∴约15年以后，该市人口将达到120万人．
方法技巧 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到指数运算．
跟踪探究 3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了__________天．
解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
答案：19
授课提示：对应学生用书第42页
[课后小结]
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论．
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助图象求解．
[素养培优]
警惕底数a对指数函数单调性的影响
若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为__________．
易错分析：(1)解决本题易忽视对a的讨论，错认为a2＝2a，从而导致得出a＝2的错误答案．
(2)求函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在闭区间[s，t]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s，t]上的增函数，最小值为as，最大值为at.当底数大于0小于1时，指数函数为[s，t]上的减函数，最大值为as，最小值为at.
自我纠正：当0最小值为a2，最大值为a，
故a＝2a2，解得a＝.
当a>1时，f(x)＝ax为增函数，最小值为a，
最大值为a2.故a2＝2a，
解得a＝2.
综上，a＝或a＝2.
答案：或2
PAGE2．2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第1课时 对数
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．3.理解常用对数、自然对数的概念及记法.
提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第42页
[基础认识]
知识点一 对数的概念
在十六世纪初，随着科学技术的进步，航海家需要计算船舶的位置和航线，天文学家需要处理观测星象时所得的大量数据，商人要计算“驴子打滚”式的复利，而大量的反复计算实在令这些人头痛不已．这些复杂的数据与计算又如何解决呢？然而当时英国的纳贝尔男爵却在指数符号还没被建立前，发明了巧妙的办法，解决了这一问题．
解指数方程：3x＝.可化为3x＝3，所以x＝.你能解3x＝2吗？
提示 不能，因为2难以化为以3为底的指数式．
知识梳理 1.定义：
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg_N；以无理数e＝2.718
28…为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln_N.
知识点二 对数与指数的关系
知识梳理 1.对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N?x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．
2．对数的性质
性质1
负数和零没有对数
性质2
1的对数是0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)
性质3
底数的对数是1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
[自我检测]
1．若log3x＝3，则x＝( )
A．1
B．3
C．9
D．27
解析：∵log3x＝3，∴x＝33＝27.
答案：D
2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a＞5或a＜2
B．2＜a＜3或3＜a＜5
C．2＜a＜5
D．3＜a＜4
解析：由
解得2＜a＜3或3＜a＜5.
答案：B
3．ln
e＝__________，lg
10＝__________.
解析：∵logaa＝1，∴ln
e＝1，lg
10＝1.
答案：1 1
授课提示：对应学生用书第43页
探究一 指数式与对数式的互化
[阅读教材P63例1]将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)m＝5.73；
(4)log16＝－4；(5)lg0.01＝－2；(6)ln
10＝2.303.
题型：对数与指数互化
[例1] 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；
(4)log32＝－5；(5)lg
0.001＝－3.
[解析] (1)log2＝－7.
(2)log327＝a.
(3)lg
0.1＝－1.
(4)－5＝32.
(5)10－3＝0.001.
方法技巧 指数式与对数式互化的方法
将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可；而将对数式化为指数式，则反其道而行之．指数式与对数式的互化是一个重要内容，应熟练掌握．
跟踪探究 1.将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；(2)log27＝－3；
(3)logx＝6；(4)43＝64；
(5)3－2＝；(6)－2＝16.
解析：(1)24＝16.
(2)－3＝27.
(3)()6＝x.
(4)log464＝3.
(5)log3＝－2.
(6)log16＝－2.
探究二 对数基本性质的应用
[例2] 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg
x)＝1；
(3)log(－1)＝x.
[解析] (1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg
x)＝1，
∴lg
x＝31＝3，
∴x＝103＝1
000.
(3)∵＝＝＝－1，
∴log(－1)＝log(－1)(－1)＝1.
方法技巧 对数性质的运用技巧
logaa＝1及loga1＝0是对数计算的两个常用量，可以实现数1,0与对数logaa及loga1的互化．
跟踪探究 2.若lg(ln
x)＝1，则x＝__________.
解析：由lg(ln
x)＝1＝lg
10，可知ln
x＝10，∴x＝e10.
答案：e10
探究三 利用指数与对数的互化求变量的值
[阅读教材P63例2]求下列各式中x的值：
(1)
log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg
100＝x；(4)－ln
e2＝x.
题型：求变量的值
[例3] 求下列各式中x的值：
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；
(3)x＝log27；(4)x＝log16.
[解析] (1)由logx27＝，可得x＝27，
∴x＝27＝(33)＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝2－.
∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，
∴x＝－.
(4)由x＝log16，可得x＝16.
∴2－x＝24，∴x＝－4.
方法技巧 指数与对数互化的本质
指数式ab＝N(a>0，且a≠1)与对数式b＝logaN(a>0，a≠1，N>0)之间是一种等价关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式．
跟踪探究 3.求下列各式中x的值：
(1)logx8＝6；(2)x＝log84；
(3)log64x＝－；(4)－ln
e3＝x.
解析：(1)∵logx8＝6，∴x6＝8.
又∵x>0，
∴
(2)∵x＝log84，
∴8x＝4，
即23x＝22，
∴3x＝2，∴x＝.
(3)∵log64x＝－，
∴
(4)∵－ln
e3＝x，∴ln
e3＝－x，
∴e3＝e－x，∴x＝－3.
授课提示：对应学生用书第44页
[课后小结]
1．对数概念的理解
(1)对数是一种数，对数式logaN是一种运算，即已知底数a(a＞0，a≠1)，幂值N，求幂指数的运算，是幂运算的逆运算．
(2)在对数式logaN中，底数a满足a＞0且a≠1，真数N满足N＞0.
(3)对数式与指数式是同一数量关系的两种不同表达形式，其关系如下：
2．指数式与对数式的互化
作为同一数量关系的两种不同表达形式，对数式与指数式可以相互转化，互化关系为：ab＝N?b＝logaN(a＞0，且a≠1)，据此可得对数恒等式alogaN＝N.
[素养培优]
忽视对数的限制条件致误
对于a＞0且a≠1，下列说法正确的是( )
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.
(2)若logaM＝logaN，则M＝N.
(3)若logaM2＝logaN2，则M＝N.
(4)若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．(1)(2)
B．(3)(4)
C．(2)
D．(2)(3)
易错分析：解答本题有以下两个易错点：一是忽视真数为正数，误认为(1)、(4)正确；二是推导错误，误认为(3)正确．
自我纠正：(1)错误．当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．
(2)正确．设logaM＝logaN＝x，
则有M＝ax，N＝ax，故M＝N.
(3)错误．当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0.
且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.
(4)错误．若M＝N＝0，
则logaM2与logaN2均无意义，
因此logaM2＝logaN2不成立．
所以只有(2)正确．
答案：C
PAGE第2课时 对数的运算
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解对数的运算性质．2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.
提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用第45页
[基础认识]
知识点一 对数的运算性质
(1)我们知道am＋n＝am·an，那么loga(M·N)＝logaM·logaN正确吗？举例说明．
提示：不正确．例如log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.
(2)你能推出loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？
提示：能．令am＝M，an＝N，
∴MN＝am＋n.
由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，∴loga(MN)＝logaM＋logaN.
知识梳理 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)loga＝logaM－logaN，
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二 换底公式
(1)①log28；②log232；③log832各为何值？
提示：①log28＝3；②log232＝5；③log832＝log88＝.
(2)
log832＝成立吗？
提示：成立．
知识梳理 1.若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．
2．换底公式常用推论
loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；
logab·logbc·logcd＝logad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0)．
[自我检测]
1．计算：log62＋log63＝( )
A．1
B．0
C．－1
D．2
解析：log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.
答案：A
2．log29·log34＝( )
A.
B.
C．2
D．4
解析：log29·log34＝·＝·＝4.
答案：D
3.＝__________.
解析：＝log39＝log332＝2.
答案：2
授课提示：对应学生用书第46页
探究一 对数运算性质的应用
[阅读教材P65例4]求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；(2)lg.
题型：对数化简求值
[例1] 计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋(lg
2)2；
(3).
[解析] (1)原式＝(5lg
2－2lg
7)－·lg
2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5
＝(lg
2＋lg
5)
＝lg
10＝.
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2
＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2
＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝
＝
＝
＝.
方法技巧 解决对数运算的常用方法
解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：
(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开；
(2)将同底数的对数的和、差、倍合并；
(3)利用常用对数中的lg
2＋lg
5＝1.
跟踪探究 1.计算：(1)2log122＋log123；(2)lg
500－lg
5；
(3)已知lg
2＝0.301
0，lg
3＝0.477
1，求lg.
解析：(1)原式＝log1222＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1.
(2)原式＝lg＝lg
100＝lg
102＝2lg
10＝2.
(3)∵lg＝lg
45＝lg(5×9)＝(lg
5＋lg
9)＝＝(1－lg
2＋2lg
3)，
又∵lg
2＝0.301
0，
lg
3＝0.477
1，
∴lg
＝(1－0.301
0＋2×0.477
1)＝0.826
6.
探究二 换底公式的应用
[例2] 计算：
(1)lg
20＋log10025；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).
[解析] (1)lg
20＋log10025＝1＋lg
2＋＝1＋lg
2＋lg
5＝2.
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.
方法技巧 换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
跟踪探究 2.计算(log43＋log83)×.
解析：原式＝×
＝×＋×
＝＋＝.
探究三 对数的综合应用
[阅读教材P66例5]
题型：对数的应用
[例3] (1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2
000(e为自然对数的底)．(ln
3≈1.099)，当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
[解析] (1)因为v＝ln2
000
＝2
000·ln，
所以v＝2
000·ln
3≈2
000×1.099＝2
198(m/s)．
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2
198
m/s.
(2)因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝
＝.
延伸探究 1.若本例(2)条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?
解析：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.
2．若将本例(2)条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？
解析：因为9b＝5，所以log95＝b.
所以log3645＝＝
＝＝.
方法技巧 解对数应用题的步骤
授课提示：对应学生用书第47页
[课后小结]
1．在应用对数运算性质解题时，要保证每个对数式都有意义，避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式上的错误．
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：
(1)“合”：将同底的对数的和(差)合为积(商)的对数；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底数的对数的和(差)．
3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
4．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
[素养培优]
对数运算中忽视隐含条件致误
已知lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，则的值为__________．
易错分析：在对数运算中，易忽视隐含条件真数大于0致误．
自我纠正：因为lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，所以＝1或＝4.
由已知等式知，x>0，y>0，x－2y>0，而当＝1时，x－2y<0，此时lg(x－2y)无意义，所以＝1不符合题意，应舍去；
当＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以＝4.
答案：4
PAGE2．2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象及性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.
应用直观想象提升数学运算
授课提示：对应学生用书第47页
[基础认识]
知识点一 对数函数的概念
在指数函数中我们已经知道，某种放射性物质若最初的质量为1，第二年的剩留量为上一年的0.84，则经过x年，该物质的剩留量为y＝0.84x.
(1)
经过多少年这种物质的剩留量为0.5?
提示：0.84x＝0.5?x＝log0.840.5.
(2)若经过y年的剩留量为x，能用x表示y吗？
提示：能．y＝log0.84x.
(3)“问题(2)”的等式中y是x的函数吗？
提示：是，符合函数的定义．
知识梳理 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点二 对数函数的图象和性质
(1)试作出y＝log2x和y＝logx的图象．
提示：如图所示：
(2)
两图象与x轴交点坐标是什么？
提示：交点坐标为(1,0)．
(3)两函数单调性如何？
提示：y＝log2x是增函数，y＝logx是减函数．
(4)
函数y＝2x与y＝log2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？
提示：图象关于直线y＝x对称，定义域和值域互换．
知识梳理 1.对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
2.对数函数与指数函数的关系
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
[自我检测]
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(2x)
B．y＝log22x
C．y＝log2x＋1
D．y＝lg
x
解析：选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a>0，且a≠1)”的形式，只有D选项符合．
答案：D
2．函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(0,1]
D．[0,1]
解析：因为y＝ln(1－x)，所以解得0≤x<1.
答案：B
3．(1)函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)恒过定点__________．
(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为__________．
解析：(1)当x＝2时，y＝1，故恒过定点(2,1)．
(2)由1－2a＞1，得a＜0，
故a的取值范围为a＜0.
答案：(1)(2,1) (2)a＜0
授课提示：对应学生用书第48页
探究一 对数函数的概念
[例1] 指出下列函数中哪些是对数函数？
(1)y＝logax2(a＞0且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝2log7x；
(4)y＝logxa(x＞0且x≠1)；
(5)y＝log5x.
[解析] 只有(5)为对数函数．
(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；
(3)中log7x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
(4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数．
方法技巧 对数函数的判断：
判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪探究 1.判断下列给出的函数是否是对数函数：
(1)y＝loga(a＞0，a≠1)；
(2)y＝log(x＋1)x；
(3)y＝log(－2)2x；
(4)y＝log2(x－3)；
(5)y＝3log2x＋1.
解析：(1)中的真数是，而不是x，故不是对数函数．
(2)中的底数是x＋1，而不是常数，故不是对数函数．
(3)中的底数是(－2)2＝4＞0，符合对数函数的定义，是对数函数．
(4)中的真数是(x－3)，而不是x，故不是对数函数．
(5)中log2x的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数．
探究二 对数函数的定义域
[阅读教材P71例7]求下列函数的定义域：
(1)y＝logax2；(2)
y＝loga(4－x)．
题型：求定义域
[例2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)； (2)y＝log(1－x)5；
(3)y＝； (4)y＝.
[解析] (1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log(1－x)5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．
(3)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域是{x|x<4，且x≠3}．
(4)要使函数式有意义，需解得＜x≤1，所以函数y＝的定义域是.
方法技巧 求对数函数定义域应注意的问题：
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
跟踪探究 2.求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝logx－2(5－x)．
解析：(1)要使函数式有意义，需∴
∴－1＜x＜1.∴该函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数式有意义，需∴
∴2＜x＜5，且x≠3.
∴该函数的定义域为(2,3)∪(3,5)．
探究三 对数函数的图象问题
[例3] (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
[解析] (1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.
(2)
∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，
∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示：
[答案] (1)C (2)见解析
延伸探究 1.把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析：∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，
y＝a－x＝x是减函数，故排除B；
当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，
y＝a－x＝x是增函数，∴C满足条件，故选C.
答案：C
2．把本例(2)改为f(x)＝|log2(x＋1)|＋2，试作出其图象．
解析：第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
方法技巧 函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．
授课提示：对应学生用书第50页
[课后小结]
1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
[素养培优]
忽略对数函数的定义域而出错
设函数y＝f(x)，且lg(lg
y)＝lg
3x＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的表达式及定义域；
(2)求f(x)的值域．
易错分析：错解中没有考虑所给式子成立的条件，所求函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号所得的解析式去确定函数的定义域．
自我纠正：(1)由题设知
即
因为lg(lg
y)＝lg
3x＋lg(3－x)，
所以lg(lg
y)＝lg[3x·(3－x)]，
即lg
y＝3x·(3－x)，
所以f(x)＝103x(3－x)＝10－3x2＋9x，其中0＜x＜3，
即定义域为(0,3)．
(2)令u＝－3x2＋9x＝－32＋，0＜x＜3.
因为0＜－3x2＋9x≤，
所以1＜y≤10，
所以f(x)的值域为.
PAGE第2课时 对数函数及其性质的应用
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．2.了解反函数的概念，知道互为反函数的两个函数之间的联系及两个图象的特征.
提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象
授课提示：对应学生用书第50页
探究一 对数值的大小比较
[阅读教材P72例8]比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．
题型：比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小．
(1)log3.10.5与log3.10.2；
(2)log8与log4；
(3)log56与log65；
(4)loga3.2与loga3.7(a＞0，且a≠1)．
[解析] (1)因为y＝log3.1x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log3.10.5＞log3.10.2.
(2)因为y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，
所以log8＜log4.
(或log8＝－3，log4＝－2，则由－3＜－2知log8＜log4)
(3)因为log56＞log55＝1，log65＜log66＝1.
所以log56＞log65.
(4)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
所以loga3.2＜loga3.7；
当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
所以loga3.2＞loga3.7.
方法技巧 对数值大小比较的两种情况
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．
(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．
①如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系解决，或利用换底公式化为同底的再进行比较．
②若底数、真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
跟踪探究 1.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．c>a>b
解析：因为a＝log23.6>1,0c＝log43.6>b＝log43.2，故选B.
答案：B
探究二 解对数不等式
[例2] (1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)[解析] (1)由loga>1，得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解；
②当0∴a的取值范围是.
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)得解得x>1.
∴x的取值范围为(1，＋∞)．
方法技巧 常见的对数不等式的三种类型
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解．
跟踪探究 2.若－10，且a≠1)，求实数a的取值范围．
解析：∵－1当a>1时，<；
当0>a，则0故实数a的取值范围是∪.
探究三 对数函数性质的综合应用
[例3] (1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
(2)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是__________．
[解析] (1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
∴
即∴∴1＜a＜2.
(2)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，
因为(x＋1)2＋2≥2，
所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．
[答案] (1)B (2)(－∞，－1]
延伸探究 1.求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．
解析：∵x∈[－3,1]，
∴2≤x2＋2x＋3≤6，
∴log6≤log(x2＋2x＋3)≤log2，
即－log26≤f(x)≤－1，
∴f(x)的值域为[－log26，－1]．
2．若本例(2)中的函数在(－∞，a]上单调递增，求a的取值范围．
解析：由复合函数的单调性可知，
函数g(x)＝x2＋2x＋3在(－∞，a]上单调递减，所以a≤－1，即实数a的取值范围为(－∞，－1]．
方法技巧 1.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
授课提示：对应学生用书第51页
[课后小结]
1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和02．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．
[素养培优]
换元法在求函数值域中的应用
设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4.若t＝log2x.
(1)求t的取值范围．
(2)求f(x)的值域．
思路探究：(1)利用函数的单调性求解；(2)利用t＝log2x，≤x≤4，将所求函数的值域问题转化为二次函数的值域问题求解．
解析：(1)因为t＝log2x，≤x≤4，所以log2≤t≤log24，即－2≤t≤2.
(2)函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，
即f(x)＝(log2x)2＋3log2x＋2，又t＝log2x，则
y＝t2＋3t＋2＝2－(－2≤t≤2)．
当t＝－时，即log2x＝－，f(x)min＝－；
当t＝2时，即log2x＝2，x＝4时，f(x)max＝12.
综上可得，函数f(x)的值域为.
PAGE2.3 幂函数
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例，了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较.
应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第52页
[基础认识]
知识点一 幂函数的概念
教材P77的5个问题中的函数有什么共同特征？
提示：问题中涉及到的函数，都是形如y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数．
知识梳理 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 幂函数的图象与性质
(1)在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．
提示：如图所示：
(2)在第一象限，图象有何特点？
提示：都过点(1,1)；只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．
(3)这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？
提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝x是非奇非偶函数．
知识梳理
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1,1)
[自我检测]
1．下列函数中，不是幂函数的是( )
A．y＝2x
B．y＝x－1
C．y＝
D．y＝x2
解析：由幂函数定义知y＝2x不是幂函数，而是指数函数．
答案：A
2．函数y＝x3的图象关于__________对称．
解析：函数y＝x3为奇函数，其图象关于原点对称．
答案：原点
授课提示：对应学生用书第53页
探究一 幂函数的概念
[例1] (1)下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x3－1
B．y＝
C．y＝
D．y＝2x2
(2)若函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则m＝__________.
[解析] (1)幂函数的表达式y＝xα(α∈R)的要求比较严格，系数是1，底数是x，α∈R为常数，选项A、B、D都是幂函数类型的函数，选项C中y＝x－2是幂函数．
(2)令m2－m－1＝1，
∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，函数y＝x－13，
当m＝－1时，函数y＝x2，都是幂函数．
[答案] (1)C (2)2或－1
方法技巧 判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
跟踪探究 1.函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解析：根据幂函数的定义得
m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．
故f(x)＝x3.
探究二 幂函数的图象
[例2] 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( )
A．－2，－，，
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
[解析] 考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．
根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B.
[答案] B
方法技巧 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
跟踪探究 2.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜－1,0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
解析：在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
答案：B
探究三 幂函数性质的综合应用
[例3] (1)比较下列各组中幂值的大小．
①30.8,30.7；②0.213,0.233；④，，.
(2)探讨函数f(x)＝的单调性.
[解析] (1)①∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，
∴30.8>30.7.
②∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
③∵函数是增函数，且2＞1.8，∴.
又∵y＝1.8x是增函数，且>，
∴.
④
∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，
∴
(2)f(x)＝的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则
＝－
＝
＝.
因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，且·(＋)>0，
于是f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)所以f(x)＝x－在区间(0，＋∞)上是减函数．
延伸探究 1.本例(2)若增加条件“”求实数a的取值范围．
解析：因为在区间(0，＋∞)内是减函数．
所以等价于
解得所以实数a的取值范围是.
2．把本例(1)的各组数据更换如下，再比较其大小关系．
(1)0.5与0.5；(2)－1与－1；
(3)
解析：(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
(3)因为函数y1＝x为R上的减函数，又>，
所以.
又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，
所以，
所以.
方法技巧 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小．
授课提示：对应学生用书第54页
[课后小结]
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上．
2．已知幂函数的图象和性质求解析式时，常用待定系数法．
3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征．①当α＞1时，图象过点(0,0)，(1,1)，递增，如y＝x2；②当0＜α＜1时，图象过点(0,0)，(1,1)，递增，如y＝；③当α＜0时，图象过点(1,1)，递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝等．
4．比较大小．①若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；②若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；③若指数与底数都不同，则考虑插入中间数．
[素养培优]
幂函数的性质及应用
已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
思路探究：(1)先由f(x)在(0，＋∞)的单调性，求出参数m的取值范围，再由f(x)的奇偶性舍根，然后借助幂函数y＝xα的单调性解不等式．
(2)由f(x1)解析：∵函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，
∴3m－9＜0，
解得m＜3.
又m∈N＋，
∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1.
∴有.
又∵y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)均是减函数，但是在整个定义域内不单调．
∴分类讨论如下：
(1)当a＋1<0<3－2a，即a<－1时，有；
(2)当a＋1<0,3－2a<0时，由，得a＋1>3－2a，
即a满足此时无解.
(3)当a＋1>0,3－2a>0时，由，得a＋1>3－2a.
即a满足
解得综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪.
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