向量的概念
(15分钟 30分)
1.(2020·眉山高一检测)已知a为单位向量,下列说法正确的是
( )
A.a的长度为一个单位
B.a与0不平行
C.a的方向为x轴正方向
D.a的方向为y轴正方向
【解析】选A.因为已知a为单位向量,所以a的长度为一个单位,故A正确;因为a与0平行,故B错误;由于a的方向是任意的,故C,D错误.
【补偿训练】
下列说法正确的是
( )
A.有向线段与表示同一向量
B.两个有公共终点的向量是平行向量
C.零向量与单位向量是平行向量
D.对任意向量a,是一个单位向量
【解析】选C.向量与方向相反,不是同一向量,A说法错误;有公共终点的向量的方向不一定相同或相反,B说法错误;当a=0时,无意义,D说法错误;零向量与任何向量都是平行向量,C说法正确.
2.(2020·绵阳高一检测)下列命题中正确的是
( )
A.=?a=b
B.>?a>b
C.a=b?a∥b
D.单位向量都相等
【解析】选C.对于选项A,模长相等的向量不一定是相等的向量,所以错误.对于B,由于向量不能比较大小,所以错误.对于选项C,由于向量相等,则可以知道它们必定共线,成立,对于D,由于单位向量方向不一定相同,所以错误.
3.在四边形ABCD中,若∥,则四边形ABCD是
( )
A.平行四边形
B.梯形
C.菱形
D.平行四边形或梯形
【解析】选D.因为在四边形ABCD中,∥,且与的大小未知,所以四边形ABCD是平行四边形或梯形.
4.如图,四边形ABCD是菱形,则在向量,,,,和中,相等的有________对.?
【解析】=,=.其余不等.
答案:2
【补偿训练】
已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||=________.?
【解析】易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.
在Rt△ABO中,易得||=,
则||=2||=2.
答案:2
5.如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.
(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量.
(2)写出图中所示向量与向量相等的向量.
(3)分别写出图中所示向量与向量,共线的向量.
【解析】(1)与长度相等的向量是,,,,,,,.
(2)与相等的向量是,.
(3)与共线的向量是,,;
与共线的向量是,,.
【补偿训练】
设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模,则称a是W的极大向量.有下列命题:
①若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;
②给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量c=-a-b,使得W={a,b,c}中的每个元素都是极大向量;
③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量.
其中真命题的序号是________.?
【解析】①若有几个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故不正确;②由题意得a,b,c围成闭合三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;③3个向量都是极大向量,等价于3个向量之和为0,故W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量时,W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量,故正确.
答案:②③
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.在同一平面上,把平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是
( )
A.一条线段
B.一条直线
C.圆上一群孤立的点
D.一个半径为1的圆
【解析】选B.由于向量的起点确定,而向量平行于同一直线,所以随着向量模长的变化,向量的终点构成的是一条直线.
2.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为
( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选C.因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.
【补偿训练】
如果在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为________.?
【解析】根据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为.
答案:
3.如图在等腰梯形ABCD中.
①与是共线向量.
②=.
③>.以上结论中正确的个数是
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.①因为与的方向不相同,也不相反,所以与不共线,即①不正确;②由①可知不正确;③因为两个向量不能比较大小,所以③不正确.
【误区警示】本题易错之处在于③的判断,忽视向量是不能够进行大小比较的.
4.(多选题)下列说法不正确的是
( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
【解析】选ABC.向量之间不能比较大小,但向量的模可以比较大小,向量的大小与方向无关.故只有选项D说法正确.
【补偿训练】
(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是
( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有4个(不含)
C.的模为模的倍
D.与不共线
【解析】选AC.A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B错误;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C项正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D项错误.
【光速解题】选AC.从容易判断的选项入手,如D选项显然错误,其次A选项正确,再次B选项中的向量始点和终点互换后为不同的向量,故错误,根据多选题的特点易得AC正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若向量a与任意向量b都平行,则a=________;若|a|=1,则向量a是________.?
【解析】由于只有零向量与任意向量平行,故a=0;由于=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量.
答案:0 单位向量
【补偿训练】
给出下列四个条件:
①a=b;
②|a|=|b|;
③a与b方向相反;
④|a|=0或|b|=0.
其中能使a∥b成立的条件是________(填序号).?
【解析】若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.
答案:①③④
6.(2020·福州高一检测)有下列说法:
①若a≠b,则a一定不与b共线;
②若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;
③在?ABCD中,一定有=;
④共线向量是在一条直线上的向量.
其中,正确的说法是________.?
【解析】①,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;
②,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故②不正确;
③,在平行四边形ABCD中,||=||,与平行且方向相同,所以=,故③正确;
④,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故④不正确.
答案:③
三、解答题
7.(10分)设在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证:=.
【证明】如图所示,
连接AC.在△ABC中,
由三角形中位线定理知,EF=AC,EF∥AC,
同理HG=AC,HG∥AC.
所以||=||且和同向,
所以=.
【补偿训练】
如图是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量表示马走了“一步”,也可以跳到A2处,用向量表示.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
【解析】如图,马在B处只有3步可走,马在C处有8步可走,人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大.
PAGE向量的加法
(15分钟 30分)
1.(2020·太原高一检测)已知正六边形ABCDEF中,++=
( )
A.0
B.
C.
D.
【解析】选B.++=++=.
【补偿训练】
如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++=
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.++=++=.
2.若向量a,b为非零向量且|a+b|=|a|+|b|,则
( )
A.a∥b且a与b方向相同
B.a,b是共线向量,且方向相反
C.a+b=0
D.无论什么关系都可以
【解析】选A.因为|a+b|=|a|+|b|,所以由向量加法的三角形法则知,a∥b且a与b方向相同.
3.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,则向量++的长等于
( )
A.2 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.矩形ABCD中,AB=,BC=1,所以AC=2,
因为++=++=+=2,所以其长度为4.
4.若|a|=|b|=1,则|a+b|的取值范围为________,当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向________.?
【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知0≤|a+b|≤2.
当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向相同.
答案:[0,2]
相同
【补偿训练】
已知平行四边形ABCD,设+++=a,且b是一非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是________.?
【解析】因为在平行四边形ABCD中,+=0,+=0,所以a为零向量,因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以①③正确,②④错误.
答案:①③
5.化简下列各式:
(1)++++;
(2)(+)+++.
【解析】(1)++++
=++++
=++(+)
=+=0.
(2)(+)+++
=(+)+(+)+
=++
=+=0.
【补偿训练】
如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
【解析】如题图,设,分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km,从B地按南偏东55°的方向飞行800
km,则飞机飞行的路程指的是||+||;两次飞行的位移的和指的是+=.
依题意,有||+||=800+800=1
600(km),
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
所以||=
==800(km).其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.
答:飞机飞行的路程是1
600
km,两次飞行的位移和的大小为800
km,方向为北偏东80°.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.已知O是△ABC内的一点,且++=0,则O是△ABC的
( )
A.垂心
B.重心
C.内心
D.外心
【解析】选B.因为+是以,为邻边作平行四边形的对角线,且过AB的中点,设为D,则+=2,所以2+=0,所以||=||,故点O为△ABC的重心.
2.若四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是
( )
A.+= B.+=
C.+=
D.+=
【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形,
所以+=,+≠,
+≠,+≠.
【补偿训练】
(2020·张家界高一检测)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O为任意一点(且不与M重合),则+++等于
( )
A.
B.2
C.3
D.4
【解题指南】因为此题为单选题,故可考虑用特殊值法去做,因为O为任意一点,不妨把O看成是特殊点,再代入+++,计算即可得解.
【解析】选D.因为O为任意一点,不妨把A点看成O点,则+++=0+++,因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点,所以0+++=2=4.
3.(2020·扬州高一检测)+-+化简后等于
( )
A.3
B.
C.
D.
【解析】选B.+-+=+++=0+=.
4.(2020·九江高一检测)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若+=2,且=,则△ABC的面积为
( )
A.
B.
C.2
D.1
【解析】选B.由于+=2,由向量加法的几何意义,O为边BC中点,因为△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,所以三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形,∠BAC=,斜边BC=2,又因为=,所以|AC|=1,|AB|=,
所以S△ABC=××=×1×=.
【误区警示】本题因为考虑不到两倍半径即为圆的直径这一关键点而导致错误,同时直径对的圆周角为直角也是本题易忽视的地方.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知=a,=b,且|a|=|b|=3.∠AOB=60°,则|a+b|=________.?
【解析】如图,根据平行四边形法则,四边形OACB为平行四边形,又因为||=||=3,
所以四边形OACB为菱形.
连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.
因为∠AOB=60°,所以AB=||=3,
所以在Rt△BDC中,CD=,
所以|a+b|=||=×2=3.
答案:3
6.(2020·北京高一检测)如图所示,已知在矩形ABCD中,=4,设=a,=b,=c.则=________.?
【解析】a+b+c=++=+.
延长BC至E,使CE=BC,连接DE,
由于==,CE?AD,
所以四边形ACED是平行四边形,
所以=,所以+=+=,
所以==2=2=8.
答案:8
三、解答题
7.(10分)在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O且||=||=1,||=,+=+=0,cos
∠DAB=.求|+|与|+|.
【解析】因为+=+=0,
所以=,=.
所以四边形ABCD是平行四边形.
又||=||=1,知四边形ABCD为菱形,
又cos
∠DAB=,∠DAB∈(0°,180°),
所以∠DAB=60°,所以△ABD为正三角形.
所以|+|=|+|=||=2||=,|+|=||=||=1.
【补偿训练】
1.(2020·宿迁高一检测)在水流速度为10
km/h的河中,如果要使船以17.3
km/h的速度与河岸成直角横渡,求船的航行速度的大小与方向.(取≈1.73)
【解析】如图所示,
设=10
km/h,=17.3
km/h.
在Rt△ABC中==≈20,
又cos
∠ABC=≈=,所以∠ABC=60°.
所以,船的实际航行速度大小为20
km/h,与水流的方向成120°角.
2.设P1P2P3…Pn是圆内接正n边形,O为圆心,试用向量求:++…+.
【解析】①当n为偶数时,作图如图所示,
故+=0,+=0,
…,
+=0,
故+++…+=0;
②当n为奇数时,作图如图所示,
取各段弧的中点,
构造正2n边形,
由①知,
+++…++++…+=0;
又因为+++…+=++…+,
所以+++…+=++…+=0;
综上所述,
+++…+=0.
PAGE向量的减法
(15分钟 30分)
1.在三角形ABC中,=a,=b,则=
( )
A.a-b
B.b-a
C.a+b
D.-a-b
【解析】选D.=-=--=-a-b.
【补偿训练】
如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于
( )
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
【解析】选A.=-=+-=a+c-b=a-b+c.
2.(2020·南阳高一检测)+-=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.依题意-+=+=.
3.在平行四边形ABCD中,若=,则必有
( )
A.=0
B.=0或=0
C.四边形ABCD为矩形
D.四边形ABCD为正方形
【解析】选C.由于+=,-=,则有=,则平行四边形ABCD为矩形.
4.化简:+--=________.?
【解析】+--=+-(+)=-=0.
答案:0
【补偿训练】
如图,在?ABCD中,=a,=b,用a,b表示向量,,则=________,=________.?
【解析】由向量加法的平行四边形法则及向量减法的运算法则可知=a+b,=b-a.
答案:a+b b-a
5.如图,已知向量a和向量b,用三角形法则作出a-b+a.
【解析】作法:作向量=a,向量=b,则向量=a-b.
如图所示,
作向量=a,则=a-b+a.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分.多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(2020·保定高一检测)化简+--=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.+--
=+-(+)
=+-=+=.
2.若四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,且=a,=b,则=
( )
A.b+a
B.b-a
C.a+b
D.a-b
【解析】选B.=+=+=-=b-a.
3.在平行四边形ABCD中,--等于
( )
A. B.
C.
D.
【解析】选D.--=-=+=,又因为=,所以--=.
【补偿训练】
1.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为
( )
A.0 B. C. D.
【解析】选A.+--=(-)+(-)=+=0.
2.已知=a,=b,||=5,||=12,∠AOB=90°,则|a-b|=
( )
A.7 B.17 C.13 D.8
【解析】选C.如图,因为a-b=-=,所以|a-b|=||==13.
4.(多选题)下列四式可以化简为的是
( )
A.+
B.+
C.-
D.+
【解析】选ABD.由题意得
A:+=++=+=,
B:+=+++=++=+0=,
C:-=++=2+,所以C不能化简为,
D:+=-+=+=.
【补偿训练】
(多选题)设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为
( )
A.a∥b
B.a+b=b
C.a-b=b
D.|a-b|<|a|+|b|
【解析】选A、B.a=+++=0,又因为b为非零向量,故ab,a+b=b,
a-b=-b
,|a-b|=|a|+|b|.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设平面内有四边形ABCD和点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d,则四边形的形状是________.?
【解题指南】利用两向量的和相等建立关系式并得到四边形的边与边之间的关系,然后作答.
【解析】因为a+c=b+d,所以+=+,即-=-,所以=,四边形ABCD是平行四边形.
答案:平行四边形
【补偿训练】
在△ABC中,D是BC的中点,设=c,=b,=a;=d,则d-a=________,d+a=________.?
【解析】根据题意画出图形,如图所示,d-a=-=+==c.
d+a=+=+==b.
答案:c b
6.已知菱形ABCD的边长为2,则向量-+的模为________;||的范围是________.?
【解析】因为-+=++=,又||=2,所以|-+|=||=2.又因为=+,且在菱形ABCD中||=2,所以|||-|||<||=|+|<||+||,即0<||<4.
答案:2 (0,4)
【补偿训练】
若||=||=|-|=2,则|+|=________.?
【解析】因为||=||=|-|=2,
所以△ABC是边长为2的正三角形,
所以|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,
所以|+|=2.
答案:2
三、解答题
7.(10分)已知||=6,||=9,求|-|的取值范围.
【解析】因为|||-|||≤|-|
≤||+||,
且||=9,||=6,所以3≤|-|≤15.
当与同向时,|-|=3;
当与反向时,|-|=15.
所以|-|的取值范围为[3,15].
【补偿训练】
1.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b,求证:
(1)|a-b|=|a|.
(2)|a+(a-b)|=|b|.
【证明】
如图,在等腰Rt△ABC中,由M是斜边AB的中点,
得||=||,||=||.
(1)在△ACM中,=-=a-b.
于是由||=||,得|a-b|=|a|.
(2)在△MCB中,==a-b,
所以=-=a-b+a=a+(a-b).
从而由||=||,得|a+(a-b)|=|b|.
2.已知O为四边形ABCD所在平面外一点,且向量、、、满足等式+=+.作图并观察四边形ABCD的形状,并证明.
【解析】
通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形.
证明如下:因为+=+,
所以-=-,所以=,
所以ABDC,所以四边形ABCD为平行四边形.
PAGE数
乘
向
量
(15分钟 30分)
1.点M在AB上,且=,则等于
( )
A.-3 B.
C.-
D.3
【解析】选B.如图=,所以=.
【补偿训练】
(2020·扬州高一检测)已知点P在直线AB上,且=4,设=λ,则实数λ=________.?
【解析】因为,所以P是四等分点,因此=.
答案:
2.式子:①+=0,②0·=0,③-=,其中不正确的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选C.因为+=0≠0,0·=0≠0,-=,所以都不正确.
3.点C在线段AB上,且=,=λ,则λ为
( )
A. B. C.- D.-
【解析】选D.由题意知=,即=-,所以=×=-,故λ=-.
4.已知|a|=4,|b|=8,若两向量同向,则向量a与向量b的关系为b=________a.?
【解析】由于|a|=4,|b|=8,则|b|=2|a|,又两向量同向,故b=2a.
答案:2
5.已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧),且AB∶AC=2∶3.
①用表示;②用表示.
【解析】如图a,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.
①如图b,向量与方向相同,
所以=2;
②如图c,向量与方向相反,
所以=-3.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,则( )
A.=5且=2.5
B.=5且=2
C.=6且=2
D.=6且=3
【解析】选B.因为DE是△ABC的中位线,所以BC=2DE,即=2.
根据勾股定理可求得==5.
2.已知A,B,C三点共线,且C为线段AB的靠近B的五等分点,则下列结论正确的个数为
( )
①=5;②∶=4∶1;
③=-.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.由题意知,=-5,=-,∶=4∶1,所以②③正确.
3.(2020·苏州高一检测)在△ABC中,M是BC的中点.若=a,=b,则=
( )
A.(a+b)
B.(a-b)
C.a+b
D.a+b
【解析】选D.在△ABC中,M是BC的中点,又=a,=b,所以=+=+=a+b.
4.若5=-3,且||=||,则四边形ABCD是
( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
【解析】选D.由5=
-3知,∥且||≠||,故此四边形为梯形,又因为||=||,所以梯形ABCD为等腰梯形.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.向量a=2e,b=-6e
,则下列说法正确的是
( )
A.a∥b
B.向量a,b
方向相反
C.=3
D.b=-3a
【解析】选ABD.因为b=-6e=-3=-3a,所以a∥b,a,b
方向相反,且3=.
6.(2020·泰安高一检测)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若=+,则点M是边BC的中点
B.若=2-,则点M在边BC的延长线上
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
【解析】选CD.A中:=+?-=-,即:=-,则点M不是边BC的中点.
B中:=2-?-=-,所以=,则点M在边CB的延长线上,所以B错误.
C中:
设BC中点D,则=--=+=2,由重心性质可知C成立.
D中:=x+y且x+y=?2=2x+2y,2x+2y=1,设=2,所以=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的.
【光速解题】选CD.本题中CD选项较难判断,所以重点放在AB选项的判断上,通过AB判断(见本题解析)易知两选项不正确,所以用排除法选CD.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知=-,=λ,则λ的值为________.?
【解析】
因为=-,所以P,P1,P2三点共线,且P2在线段PP1的反向延长线上,
所以=,
所以λ=.
答案:
【补偿训练】
已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满足6--2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是________.?
【解析】记2=,因为-+2-2=0,
所以=2,S△ABC=S△ABN.
又因为S△ABM=S△ABN,所以S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.
答案:3
8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=______?,=________.?
【解析】因为-3+2=0,
所以-=2(-),所以=2,所以=2.
答案:2 2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.
【解析】如图,取AB的中点P,
连接EP,FP,在△ABC中,因为EP是△ABC的中位线,所以==a,在△ABD中,因为FP是△ABD的中位线,所以==-b,在△EFP中,
=+=-a-b=-(a+b).
10.已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)a的方向与a的方向相同,且a的模是a的模的倍.
(2)-3a的方向与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的.
(3)-4a与4a是一对相反向量.
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.
(5)若a,b不共线,则0·a与b不共线.
【解析】(1)真命题.因为>0,所以a与a同向.
因为|a|=|a|,所以a的模是a的模的倍.
(2)真命题.因为-3<0,
所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.
又因为6>0,所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|,
所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的.
(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知.
(4)假命题.因为a-b与b-a是相反向量,
所以a-b与-(b-a)是相等向量.
(5)假命题.0·a=0,所以0·a与b共线.
1.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是( )
A.-=
B.+=
C.-=
D.+=
【解析】选A.在题干所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.
在A中,-=-==,故A正确;在B中,+=+==,故B错误;在C中,-=-=,故C错误;在D中,+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,故D错误.
2.设V是平面向量的集合,映射f:V→V满足f(a)=则对任意的a,b∈V,λ∈R.
求证:f(|a|·a)=f(a).
【证明】若a=0,则f(|a|·a)=f(a)=0;若a≠0,则f(|a|·a)=·a=a,且f(a)=a,所以f(|a|·a)=f(a).综上可得对任意向量a,均有f(|a|·a)=f(a).
【补偿训练】
(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理.设△ABC中,点O,H,G分别是外心、垂心、重心,下列四个选项中结论错误的是
( )
A.=2
B.++=0
C.设BC边中点为D,则有=3
D.==
【解析】选CD.如图,
A.由题得=2,OD⊥BC,AH⊥BC,所以OD∥AH,所以=2,所以该选项正确;
B.+=2=-,所以++=0,所以该选项正确;
C.因为D为BC中点,G为△ABC的重心,所以=2,又因为GH=2OG,∠AGH=∠DGO,
所以△AGH∽△DGO,所以=2,故C选项错误;D.向量,,的模相等,方向不同,故D选项错误.
PAGE向量的线性运算
(15分钟 30分)
1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于
( )
A.10d
B.-10d
C.20d
D.-20d
【解析】选B.2a-3b+c=2×4d-3×5d-3d
=8d-15d-3d
=-10d.
【补偿训练】
化简下列各式
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(2)-
【解析】(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
(2)原式=a-b-a-b=-2b.
2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是
( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
【解析】选A.=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2,所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.
3.已知e
是单位向量,a=2e,b=-3e
,则=________.?
【解析】由题意得a-2b=8e
,
故=8.
答案:8
4.(2020·长沙高一检测)如图正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,则=________(用向量,表示).?
【解析】=+
=+
=-.
答案:-
5.如图,以向量=a,=b为边作?OADB,=,=,用a,b表示,,.
【解析】因为=-=a-b,
==a-b,
所以=+=a+b,
又因为=a+b,
=+=+
=
=(a+b)=a+b,
所以=-
=a+b-a-b
=a-b,
即有=a+b,=a+b,
=a-b.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·杭州高一检测)下面四种说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m=ma-mb;
②对于实数m,n和向量a,恒有a=ma-na;
③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;
④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.
其中正确说法的个数是
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选C.由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于④,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.
2.已知平行四边形ABCD中,=a,=b,其对角线交点为O,则等于( )
A.a+b B.a+b
C.(a+b)
D.a+b
【解析】选C.+=+==2,所以=(a+b).
3.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=( )
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-),λ∈(0,)
【解析】选A.设P是对角线AC上的一点(不含A,C),过点P分别作BC,AB的平行线,设=λ,则λ∈(0,1),于是=λ(+),λ∈(0,1).
4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足++=,则点P与△ABC的关系为
( )
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边所在直线上
D.P是AC边的三等分点
【解析】选D.因为=-,
所以++=-,
即2+=0,
即=2,
故=,
所以点P是AC边的一个三等分点.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中不成立的是
( )
A.r=-p+q B.r=-p+2q
C.r=p-q
D.r=-q+2p
【解析】选BCD.因为=+,=-3=3,所以=,所以=+=+(-).
所以r=q+(r-p).所以r=-p+q.
6.若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是
( )
A.=-a-b
B.=a+b
C.=-a+b
D.=a
【解析】选ABC.如图
在△ABC中=+=-+=-b-a,故A正确;=+=a+b,故B正确;
=+=-b-a,=+=b+×(-b-a)=-a+b,故C正确;
==-a,故D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(1)化简:=
________.?
(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,则向量x=________,y=________.(用向量a,b表示)?
【解析】(1)原式=
=
==a-b.
(2)由①×3+②×2得,x=3a+2b,代入①得3×(3a+2b)-2y=a,即y=4a+3b,所以x=3a+2b,y=4a+3b.
答案:(1)a-b (2)3a+2b 4a+3b
8.(2020·潍坊高一检测)在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P,Q,R三点共线的充要条件是:存在实数t,使=+t.试利用该定理解答下列问题:如图,在△ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设=x+y,则x+y=________.?
【解析】因为点B,M,F三点共线,则存在实数t,使=(1-t)+t.
又=2,=,则=2(1-t)+.因为点C,M,E三点共线,则2(1-t)+=1,所以t=.故x=,y=,x+y=.
答案:
【补偿训练】
若=t(t∈R),O为平面上任意一点,则=________.(用,表示)?
【解析】=t,-=t(-),
=+t-t=(1-t)+t.
答案:(1-t)+t
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.
(1)用a,b分别表示向量,;
(2)求证:B,E,F三点共线.
【解析】(1)因为=(+)=(a+b),所以==(a+b),
因为==b,
所以=-=-a+b.
(2)由(1)知=-a+b,
=+=+
=+
=-a+b=,
所以=.所以与共线.
又,有公共点B,所以B,E,F三点共线.
10.如图,点O是梯形ABCD对角线的交点,|AD|=4,|BC|=6,|AB|=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.
(1)用a0和b0表示,和;
(2)若点P在梯形ABCD所在平面上运动,且||=2,求||的最大值和最小值.
【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,
所以=-=6a0-2b0;
因为∥,所以=4a0,
则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0;
因为AD∥BC,所以OA∶OC=AD∶BC=2∶3,
则=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0.
(2)由题意知点P是在以点C为圆心,2为半径的圆周上运动,所以由几何意义即得||的最大值和最小值分别应该为8和4.
O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=
+λ,λ∈(0,+∞),则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【解析】选C.设BC中点为点M,
则=,则有=+λ,即=λ,所以P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
【补偿训练】
O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+
λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的
( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【解析】选B.如图,为上的单位向量,为上的单位向量,
则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),
所以λ的方向与+的方向相同.
=+λ,
所以点P在上移动.所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.
PAGE向量基本定理
(15分钟 35分)
1.如图,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则=
( )
A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2)
C.(3e2-5e1)
D.(5e2-3e1)
【解析】选A.==(+)
=(+)=(5e1+3e2).
2.对于向量a,b有下列表示:
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2,b=e1-e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
其中,向量a,b一定共线的有
( )
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
【解析】选A.对于①,a=-b;对于②,a=-b;对于③,a=4b;对于④,若a=λb(λ≠0),则e1+e2=λ(2e1-2e2),即(1-2λ)e1+(1+2λ)e2=0,所以1-2λ=1+2λ=0,矛盾,故④中a与b不共线.
3.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ
(λ∈R),则x,y满足的关系是
( )
A.x+y-2=0
B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0
D.2x+y-2=0
【解析】选A.由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又因为2=x+y,所以消去λ得x+y=2.
4.(2020·天水高一检测)已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=________.?
【解析】因为a,b不共线,所以a,b可以作为一组基底,又因为c与b共线,所以c=λ2b,所以λ1=0.
答案:0
5.已知两个不共线向量e1,e2,且=e1+λe2,=3e1+4e2,=2e1-7e2,若A,B,D三点共线,则λ的值为________.?
【解析】由=3e1+4e2,=2e1-7e2,
得=+=5e1-3e2,
又=e1+λe2,且A,B,D三点共线,
所以存在实数μ,使得=μ,
即e1+λe2=μ(5e1-3e2),又e1,e2不共线,
所以则λ=-.
答案:-
6.(2020·呼和浩特高一检测)如图所示,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的中点,已知,=a,=b,试用a,b分别表示,,
.
【解析】因为AB∥CD,且AB=2CD,
所以==a,因此=++
=-a+b+a=-a+b.
因为
M,N分别是DC,AB的中点,
所以=++
=-a-b+a=a-b,综上所述,=a,=-a+b,=a-b.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·日照高一检测)如图,向量a-b等于
( )
A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2
D.3e1-e2
【解析】选C.如图不妨令a=,b=,则a-b=-=,由平行四边形法则可知=e1-3e2.
2.(2020·兰州高一检测)设D为△ABC所在平面内一点,=-+,若=λ(λ∈R),则λ=
( )
A.-3
B.3
C.-2
D.2
【解析】选A.若=λ(λ∈R),
所以-=λ-λ,化为=+,
又=-+,所以=-,=,解得λ=-3.
3.已知非零向量e1,e2不共线.欲使ke1+e2和e1+ke2共线,则实数k的值为( )
A.1
B.-1
C.1或-1
D.0
【解析】选C.因为ke1+e2与e1+ke2共线,
所以存在唯一实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线,只能有所以k=±1.
【补偿训练】
设两个不共线的向量e1,e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与向量c共线?
【解析】因为d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在唯一实数k使d=k·c,
即:(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.由
得λ=-2μ,故存在这样的实数λ和μ,
只要λ=-2μ,就能使向量d与c共线.
4.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是
( )
A. B.
C.
D.
【解析】选D.依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ
=+λ=(1-λ)+λ.
又因为=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈,即x的取值范围是.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列叙述正确的是
( )
A.若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb
B.b=3a(a为非零向量),则a,b共线
C.若m=3a+4b,n=a+2b,则m∥n
D.若a+b+c=0,则a+b=-c
【解析】选BCD.判断非零向量a与b共线的方法是:存在实数λ,使a=λb.在A选项中,若a=b=0时不成立.所以A选项错误,B选项正确;在C选项中,m=2n,所以m∥n,所以C选项正确;D选项也正确.
6.
如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法正确的是
( )
A.=+
B.=-
C.=+
D.=+
【解析】选ABC.由向量减法的三角形法则知,=-,故B正确;由向量加法的平行四边形法则知,=+,==+,故A、C正确;D选项显然不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为________.?
【解析】若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.
a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb即得λ≠4.
答案:(-∞,4)∪(4,+∞)
8.
如图,在平面内有三个向量,,,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,||=5,设=m+n(m,n∈R),则m+n=________.
【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ,
则∠COQ=∠OCP=90°,在Rt△QOC中,2OQ=QC,||=5,
则||=5,||=10,
所以||=10,又||=||=1,
所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.
答案:15
【补偿训练】
如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y,试问:+是否为定值?
【解析】设=a,=b,
则=xa,=yb,
===.
所以=-=-xa
=a+b,=-
=yb-xa=-xa+yb.
因为与共线,且a,b不共线,
所以有=λ,即a+b
=λ(-x)a+λyb.
所以整理得:x+y=xy,即+=4,所以+为定值.
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.
【解析】设=e1,=e2,
则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,
所以存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又因为=+=2e1+3e2,
所以解得
所以=,即AP∶PM=4∶1.
10.
(2020·上饶高一检测)在△ABC中,=+.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比;
(2)若N为AB中点,与交于点P,且=x+y
(x,y∈R),求x+y的值.
【解析】(1)在△ABC中,=+,
4=3+,3(-)=-,
即3=,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.
故△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)因为=+,∥,
=x+y(x,y∈R),所以x=3y,
因为N为AB的中点,
所以=-=x+y-=+y,
=-=x+y-=x+(y-1),
因为∥,所以=λ,即+y=λx·+λ(y-1),
所以解得:2x+y=1,又x=3y,
所以x=,y=,所以x+y=.
1.已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,试判断A,B,C,D四点构成的图形.
【解析】因为=++=-8a-2b,所以=2.
若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ,
即a+2b=-4λa-λb,所以矛盾,
所以A,B,C三点不共线,故A,B,C,D四点不共线.所以∥,||=2||≠||,故A,B,C,D四点构成一个梯形.
2.(2020·哈尔滨高一检测)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=
( )
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
【解析】
选A.设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=m.过点E作EH⊥AB于点H,则EH==m,EH∥AD,
AH==m.
所以AH=AB,HE=AD.所以=+=+=a+b.
【补偿训练】
在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为________.?
【解析】因为=+,
所以3=2+,
即2-2=-,所以2=,
即P为AB的一个三等分点,如图所示.
因为A,M,Q三点共线,所以=x+(1-x)=+(x-1),而=-,
所以=+.
又=-=-+,
由已知=t,
可得+=t,
又,不共线,所以解得t=.
答案:
PAGE直线上向量的坐标及其运算
(15分钟 30分)
1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是-4,-1,则的坐标与||分别是( )
A.-3,3
B.3,3
C.3,-3
D.-6,6
【解析】选B.的坐标为-1-(-4)=3,||=3.
2.设a,b为不共线向量,=a+b,=-4a-b,=-5a-2b,则下列关系式中正确的是
( )
A.=
B.=2
C.=-
D.=-2
【解析】选B.=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2.
3.在数轴Ox上,已知=-3e(e为x轴上的单位向量),且点B的坐标为3,则向量的坐标为________.?
【解析】由=-3e,得点A的坐标为-3,则=3-(-3)=6,即的坐标为6.
答案:6
4.设数轴上A,B的坐标分别是2,6,则AB的中点C的坐标是________.?
【解析】因为xA=2,xB=6.
所以AB的中点C的坐标为xC===4.
答案:4
5.已知数轴上A,B两点的坐标为x1,x2,根据下列题中的已知条件,求点A的坐标x1.
(1)x2=-5,的坐标为-3.(2)x2=-1,||=2.
【解析】(1)x1-(-5)=-3,所以x1=-8.
(2)||=|-1-x1|=2,所以x1=1或x1=-3.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.
(2020·济南高一检测)数轴上A,B的坐标分别是3,-2,则3+4(O为原点)的坐标为
( )
A.17
B.1
C.-1
D.-17
【解析】选B.由题意,可得的坐标为3,向量的坐标为-2,所以向量3+4的坐标为3×3+4×(-2)=1.
2.有理数a,b,c在数轴上的位置如图,化简|a+b|-|c-b|的结果为
( )
A.a+c
B.-a-2b+c
C.a+2b-c
D.-a-c
【解析】选A.由图:c
所以|a+b|-|c-b|=b+a-(b-c)=a+c.
3.已知数轴上两点M,N,且||=4.若xM=-3,则xN等于
( )
A.1
B.2
C.-7
D.1或-7
【解析】选D.||=|xN-(-3)|=4,
所以xN-(-3)=±4,即xN=1或-7.
4.已知直线上向量a,b的坐标分别为-1,3,则下列向量与a同向的是
( )
A.a+b
B.a-b
C.a+2b
D.3b
【解析】选B.由题意,a+b的坐标为2,a+2b的坐标为5,3b的坐标为9,都与a反向,a-b的坐标为-4,与a同向.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.数轴上的点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列结论正确的是
( )
A.的坐标是2
B.=-3
C.的坐标是4
D.=2
【解析】选ABD.的坐标为1-(-1)=2,的坐标为4,
的坐标为-4,的坐标为-6.
6.若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=-e,b=e,则下列说法正确的是( )
A.a=-b
B.b=-a
C.a+b的坐标为0
D.|a||b|=1
【解析】选BD.因为a=-e,b=e,
所以|a|=,|b|=;|a||b|=1,b=-×=-a,a+b=e=-e,a+b的坐标为-.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.数轴上三点A,B,C的坐标分别为1,-1,-5,则+的坐标为________,||+||=________.?
【解析】+的坐标为-6+(-4)=-10,
||+||=6+4=10.
答案:-10 10
8.已知M,P,N三点在数轴上,且点P的坐标是5,的坐标为2,的坐标为8,则点N的坐标为________.?
【解析】设点M,N的坐标分别为x1,x2,
因为点P的坐标是5,的坐标为2,的坐标为8,所以解得故点N的坐标为11.
答案:11
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数轴上A(a),B(b),C(c)三点.
(1)若的坐标为2,的坐标为3,求向量的坐标.
(2)若=,求证:B是AC的中点.
【解析】(1)=+,即向量的坐标为5.
(2)因为=,所以b-a=c-b,所以b=,故B是AC的中点.
10.已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.
(1)若的坐标为5,求c的值.
(2)若||=6,求d的值.
【解析】(1)因为的坐标为5,所以c-(-4)=5,所以c=1.
(2)因为||=6,所以|d-(-2)|=6,
即d+2=6或d+2=-6,所以d=4或d=-8.
1.若e是直线l上的一个单位向量,向量a=2e,b=-×4e是这条直线上的向量,则|a|+|b|=________.?
【解析】因为a=2e,b=-×4e=-2e,
所以|a|+|b|=2+2=4.
答案:4
2.已知A,B是数轴上的点,线段AB的中点为M,且M(3),向量的坐标为-4,求A与B的距离.
【解析】由题意,的坐标为3,的坐标为-4,又=-,所以的坐标为-1,
设A(x),则=3,所以x=7;
所以AB=|-1-7|=8.
PAGE平面向量的坐标及其运算
(15分钟 30分)
1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-3,-3),则向量=
( )
A.(3,2)
B.(-3,-2)
C.(-1,-2)
D.(1,2)
【解析】选B.因为A(0,1),B(3,2),
所以=(3,1),
所以=(-)
=
=(-6,-4)
=(-3,-2).
【补偿训练】
在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=( )
A.(2,4)
B.(3,5)
C.(1,1)
D.(-1,-1)
【解析】选C.=-=-
=-(-)=(1,1).
2.已知=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为
( )
A.(1,8)
B.(-1,8)
C.(3,2)
D.(-3,2)
【解析】选B.设B的坐标为(x,y),=(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),
所以解得
所以点B的坐标为(-1,8).
3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是______.?
【解析】由题意知:BC中点为D,
所以=,
所以==.
答案:
4.与向量a=(1,2)平行,且模等于的向量为________.?
【解析】因为所求向量与向量a=(1,2)平行,
所以可设所求向量为x(1,2),
又因为其模为,
所以x2+(2x)2=5,解得x=±1.
因此所求向量为(1,2)或(-1,-2).
答案:(1,2)或(-1,-2)
5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=(3,1),=(2,-1),=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;
(2)若=-3,求点C的坐标.
【解析】由题意知,=-=(-1,-2),
=-=(a-3,b-1).
(1)因为A,B,C三点共线,
所以∥,
所以-(b-1)-(-2)×(a-3)=0,
所以b=2a-5.
(2)因为=-3,
所以(a-3,b-1)=-3(-1,-2)=(3,6),
所以
解得
所以点C的坐标为(6,7).
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则=
( )
A.3
B.3
C.4
D.5
【解析】选A.因为a=(1,-3),b=(-2,0),
所以a+2b=(-3,-3),
因此==3.
2.(2020·福州高一检查)已知向量与单位向量e同向,且A,B,则e的坐标为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设e=,因为是单位向量,所以x2+y2=1,①
由A,B得=,因为向量与单位向量e同向,所以-6y-2x=0②
,①②联立解方程组得或所以e=或e=,又因为,e方向相同,e=舍去,所以e=.
3.已知向量a=,b=,且a∥b,若x,y为正数,则+的最小值是( )
A.
B.
C.16
D.8
【解析】选D.因为a∥b,所以3=-2x,
即2x+3y=3,
那么+=
=≥=8,等号成立的条件为=,,解得x=,y=,所以原式的最小值为8.
4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,∠AOC=,且|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ等于
( )
A.2
B.
C.2
D.4
【解析】选A.因为|OC|=2,∠AOC=,
所以C(,),又=λ+μ,
所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),
所以λ=μ=,λ+μ=2.
【光速解题】在平面直角坐标系中作出三向量所在位置,根据等腰直角三角形中的长度关系易得所求两字母的值相等,均为.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的值可以是
( )
A.-2
B.-
C.
D.2
【解析】选BC.因为a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,所以2(y2-2)-(-1)x2=0,
所以x2=4-2y2≥0,
整理得y2≤2,解得-≤y≤.
所以y的取值范围是[-,].
6.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则可使λ1λ2<0成立的a可能是
( )
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(-1,0)
D.(0,-1)
【解析】选AC.a=λ1e1+λ2e2=(-λ1+2λ2,2λ1+λ2),
若a=(1,0),则
解得λ1=-,λ2=,λ1λ2<0,满足题意;
若a=(0,1),则
解得λ1=,λ2=,λ1λ2>0,不满足题意;
因为向量(-1,0)与向量(1,0)共线,
所以向量(-1,0)也满足题意.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知M(3,-2),N(-5,-1),=,则||=________,点P的坐标为________.?
【解析】设P(x,y),=(x-3,y+2),
=(-8,1),
所以||==;
所以==(-8,1)=,
所以
所以
答案:
【补偿训练】
已知M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则M∩N=________.?
【解析】由题意得(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),即(1+3λ,2+4λ)=(-2+4μ,-2+5μ),
所以解得λ=-1,μ=0,
所以M∩N={(-2,-2)}.
答案:{(-2,-2)}
8.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为________.?
【解析】如图所示建立平面直角坐标系,则A(2,0),
设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以=,
所以当y=b时,取得最小值5.
答案:5
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.
【解析】因为△AOB为等边三角形,且A(2,-2),
所以||=||=||=4.
因为在0°～360°范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为330°,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为30°,所以==(2,2).
所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).
当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为270°,
所以=(0,-4),
所以=-=(0,-4)-(2,-2)=(-2,-2).
综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2,-2).
10.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:
(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.
【解析】(1)因为(a+kc)∥(2b-a),
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,
所以k=-.
(2)因为d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
所以
解得或
所以d=或
.
1.在四边形ABCD中,==(1,0),+=,则四边形ABCD的面积是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.为在方向上的单位向量,记为e1=,类似地,
设=e2=,=e3=,
所以e1+e2=e3,可知四边形BNGM为菱形,且
||=||=||,所以∠MBN=120°,
从而四边形ABCD也为菱形,||=||=1,所以S菱形ABCD=||·||·sin
∠ABC=.
2.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),
(1)若++=0,求的坐标.
(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图像上,求m-n.
【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),
因为++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以
解得
所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).
(2)设点P的坐标为(x0,y0),
因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),
所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),
=(3,2)-(1,1)=(2,1),
因为=m+n,
所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)
=(m+2n,2m+n),
所以
两式相减得m-n=y0-x0,
又因为点P在函数y=x+1的图像上,
所以y0-x0=1,
所以m-n=1.
【补偿训练】
如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,求的坐标.
【解析】由题得A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧长为2,∠ABP==2.
设P(x,y),则x=2-1×cos
=2-sin
2,y=1+1×sin=1-cos
2,
所以的坐标为(2-sin
2,1-cos
2).
PAGE平面向量线性运算的应用
(15分钟 35分)
1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.=(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),
所以||==2,
||==4,
||==6,
所以||2+||2=||2,
所以△ABC为直角三角形.
【补偿训练】
在四边形ABCD中,
=2a-3b,
=-8a+b,=-10a+4b,且a,b不共线,试判断四边形ABCD的形状.
【解析】因为=2a-3b,=-8a+b,
=-10a+4b,所以=++
=-16a+2b,所以=2,所以AD∥BC,
AD=2BC且AB不平行于CD,所以四边形ABCD是梯形.
2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10
N,合力与F1的夹角为60°,那么F2的大小为
( )
A.5
N
B.5
N
C.10
N
D.5
N
【解析】选A.由题意可知:对应向量如图,由于α=60°,
所以F2的大小为|F合|·sin
60°=10×=5(N).
3.在△ABC中,D为BC边的中点,已知=a,=b,则下列向量中与同方向的是
( )
A.
B.+
C.
D.-
【解析】选A.因为D为BC边的中点,则有+=2,所以a+b与共线,又因为与a+b共线,所以选项A正确.
4.河水从东向西流,流速为2
km/h,一艘船以2
km/h垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是________km/h.?
【解析】由题意,如图,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则表示船的实际速度,
则=2,=2,∠AOB=90°,
所以=4.
答案:4
5.若=3e,=5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为________.?
【解析】由=3e,=5e,得∥,||≠||,又因为ABCD为四边形,所以AB∥DC,AB≠DC.又||=||,得AD=BC,所以四边形ABCD为等腰梯形.
答案:等腰梯形
6.已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:∥.
【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
依题意有=(2,2),=(-2,3),
=(4,-1).
因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).
所以点E的坐标为.
同理得点F的坐标为,=.
又×(-1)-4×=0,所以∥.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20
N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为
( )
A.40
N
B.10
N
C.20
N
D.
N
【解析】选B.对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20
N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10
N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10
N.
2.已知△ABC满足-=k
(其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是( )
A.正三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
【解析】选C.△ABC中,-=k(其中k是非零常数)如图所示,
所以-=k×(-),
所以+k=k+,
所以=,
又,不共线,
所以+k=k+=0,
所以||=||,
所以△ABC是等腰三角形.
3.(2020·潍坊高一检测)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边上的中点,P为线段AE上的动点,设向量=λ+μ,则λ+μ的最大值为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.以A为原点,AB,AD所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,
则B,D,E,
设P,0≤x≤1,
所以=,=,=,
因为=λ+μ,
所以=,
所以
所以
所以λ+μ=2x,即0≤λ+μ≤2.
4.如图所示,设P为△ABC所在平面内的一点,并且=+,则△BPC与△ABC的面积之比等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.延长AP交BC于点D,
因为A,P,D三点共线,
所以=m+n(m+n=1),设=k,
代入可得=m+nk,
即-=-m+nk(-)?
=(1-m-nk)+nk
,又因为=+,即nk=,1-m-nk=,且m+n=1
,解得m=,n=,
所以=+,可得=4
,
因为△BPC与△ABC有相同的底边,
所以面积之比就等于与之比,
所以△BPC与△ABC的面积之比为.
【误区警示】本题易错之处在于不能借助两三角形有公共边而将面积之比转化为边长之比.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是
( )
A.|b|=1
B.|a|=1
C.a∥b
D.(4a+b)⊥
【解析】选BD.如图,
由题意,=-=(2a+b)-2a=b,则|b|=2,故A错误;|2a|=2|a|=2,所以|a|=1,故B正确;因为=2a,=b,故a,b不平行,故C错误;设B,C中点为D,则+=2,且⊥,而2=2a+(2a+b)=4a+b,所以(4a+b)⊥,故D正确.
6.在△ABC中,点P满足=3,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若=λ,=μ,则λ+μ的可能取值为
( )
A.+1
B.+1
C.
D.
【解析】选BD.如图所示:
因为=3,即-=3,
所以=+,
因为=λ,=μ,
所以=,=,
所以=+,
因为M,P,N三点共线,则+=1.
所以λ+μ==++1≥
2+1=+1当且仅当μ=λ=时,等号成立,因此,λ+μ的最小值为+1.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△AOB与△AOC的面积之比为________.?
【解析】设D为AC的中点,
如图所示,连接OD,
则+=2.又+=-2,
所以=-,即O为BD的中点,
从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.
答案:1∶2
【光速解题】将此三角形看作一个等边三角形,得到O为BD的中点后答案非常清楚.
【补偿训练】
在△ABC所在平面上有一点P,满足++=,则△PAB与△ABC的面积的比值是________.?
【解析】由题意可得=2,
所以P是线段AC的三等分点(靠近点A),
易知S△PAB=S△ABC,
即S△PAB∶S△ABC=1∶3.
答案:1∶3
8.如图,在长方形ABCD中,M,N分别为线段BC,CD的中点,若=λ1+λ2,λ1,λ2∈R,则λ1+λ2的值为________.?
【解析】设AB=a,AD=b(a≠0,b≠0),以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示坐标系,
则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),M,N,
则=,=,=,
即=λ1+λ2,
则即
解得λ1=-,λ2=,则λ1+λ2=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,已知河水自西向东流速为=1
m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去,且=
m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小.
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且=
m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
【解析】如图,设=v0,=v1,=v2,
则由题意知v2=v0+v1,=1,
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.
(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形,且=AC=,如图所示,
则在直角△OAC中=OC==2,
tan∠AOC==,
又α=∠AOC∈,
所以α=60°.
答:他实际前进方向与水流方向的夹角α为60°,v2的大小为2
m/s.
(2)由题意知α=∠OCB=90°,且==,BC=1,如图所示,
则在直角△OBC中,=OB==2,
tan∠BOC==,又∠BOC∈,所以∠BOC=30°,则β=90°+30°=120°.
答:他游泳的方向与水流方向的夹角β为120°,v1的大小为2
m/s.
10.如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.
求证:点E,O,F在同一直线上.
【证明】设=m,=n,
由==知E,F分别是CD,AB的三等分点,
所以=+=+
=-m+(m+n)=m+n,
=+=+
=(m+n)-m=m+n.
所以=.
又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上.
等边△ABC的边长为4,点P是△ABC内(包括边界)的一动点,且=+λ
(λ∈R),则的最大值为
( )
A.3
B.
C.2
D.
【解析】选B.以A为原点,以AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
因为△ABC是边长为4的等边三角形,
所以A(0,0),B(4,0),C(2,2).
设点P的坐标为(x,y),
则0≤x≤4,0≤y≤2.
因为=+λ,
所以(x,y)=(4,0)+λ(2,2)
=,
所以消去λ可得y=(x-3)①,
所以点P在直线y=(x-3)上.又由条件得直线BC的方程为:y=-(x-4)②,
由①②解得
此时最大,且最大值为||==.
【补偿训练】
1.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边上靠近A点的一个三等分点,试问:在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?
【解析】以B为原点,BC边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由于AB=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3,
4),C(6,0).则=(3,-4),
由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点.
所以==,
于是M,所以=,假设在BM上存在点P使得PC⊥BM,
则设=λ,且0<λ<1,
即=λ=,所以=+=(-6,0)+=.
由于PC⊥BM,所以λ×+(4λ-6)×4=0,
λ=?(0,1),所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.
2.(2020·上海市七宝中学高一检测)在平面上,⊥,||=||=1,
=+,若||<,则的取值范围是________.?
【解析】因为⊥,=+,
则AB1PB2为矩形,以A为原点,AB1所在直线为x轴,AB2所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
如图所示:
设=m,=n,O,
则A,B1,B2,P,
因为||=||=1,
所以
变形可得
因为||<,即+<,
所以1-x2+1-y2<,即x2+y2>.
因为≥0,≥0,即1-y2≥0,1-x2≥0,所以y2≤1,x2≤1,
则x2+y2≤2,综上可知因为||=,
所以<≤,即∈.
答案:
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