单元素养评价(三)(第六章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于
( )
A.-
B.
C.-或
D.0
【解析】选C.由a∥b知1×2=m2,解得m=或m=-.
2.若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有
( )
A.a=3,b=-5
B.a-b+1=0
C.2a-b=3
D.a-2b=0
【解析】选C.=(1,a-3),=(2,b-3),∥?b-3=2a-6,2a-b=3.
3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于
( )
A.(-2,7)
B.(-6,21)
C.(2,-7)
D.(6,-21)
【解析】选B.=2=2(-)=2(-3,2)
=(-6,4),
=3=3(+)=3(-2,7)=(-6,21).
4.(2020·西昌高一检测)已知a,b是不共线的向量,=λa+μb,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三点共线,则λ、μ满足( )
A.λ=μ-3
B.λ=μ+3
C.λ=μ+2
D.λ=μ-2
【解析】选B.由A,B,C三点共线,得
=t+(1-t)
=(1+t)a+(t-2)b,
因为a,b是不共线的向量,
所以λ=t+1,μ=t-2,所以λ=μ+3.
5.若P是直线P1P2上的一点,且=λ,则当-1<λ<0时,点P的位置( )
A.在线段P1P2上
B.在线段P1P2的延长线上
C.在线段P2P1的延长线上
D.不能确定
【解析】选C.根据题意易知,点P不可能与P1,P2重合,当P在线段P1P2上时,λ>0;
当P在线段P1P2的延长线上时,λ<-1;
当P在线段P2P1的延长线上时,-1<λ<0.
6.如图在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则
( )
A.=(a+b+c+d)
B.=(a-b+c-d)
C.=(c+d-a-b)
D.=(a+b-c-d)
【解析】选C.连接OE,OF.因为=-=(+)-(+)
=(c+d)-(a+b),所以=(c+d-a-b).
7.(2020·唐山高一检测)过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若++=0恒成立,则点M是△ABC的( )
A.垂心
B.重心
C.外心
D.内心
【解析】
选B.因为过△ABC内一点M任作一条直线l,可将此直线特殊为过点A,则=0,有+=0.如图:
则有直线AM经过BC的中点,
同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心.
8.(2020·沈阳高一检测)过△ABC的重心任作一直线分别交边AB,AC于点D,E.若=x,=y,xy≠0,则4x+y的最小值为
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选B.设重心为O,
因为重心分中线的比为2∶1,
则有+=3,+=+,
则=+,
又因为O,D,E三点共线,所以+=1,
又x>0,y>0,
则4x+y=(4x+y)=++≥+2=3,取等号时2x=y=1,即4x+y的最小值为3.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列命题不正确的是
( )
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量
C.|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若a与b是单位向量,则|a|=|b|
【解析】选AB.单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当b=0时,a与c可以为任意向量;
|a+b|=|a-b|,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直.
10.下列命题中正确的是
( )
A.-=
B.+=0
C.0·=0
D.++=
【解析】选AD.起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,-=;
,是一对相反向量,它们的和应该为零向量,+=0;0·=0;
++=.
11.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0
【解析】选BC.由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当两个向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,或当λ1e1+μ1e2为非零向量,而λ2e1+μ2e2为零向量(λ2=μ2=0),此时λ不存在.
12.(2020·济南高一检测)如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图1)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是( )
A.-6
B.1
C.5
D.9
【解析】选BC.如图所示:
设=a,=b,求x+y的最大值,只需考虑图中以O为起点,6个顶点为终点的向量即可,讨论如下:
(1)因为=a,所以(x,y)=(1,0);
(2)因为=b,所以(x,y)=(0,1);
(3)因为=+=a+2b,所以(x,y)=(1,2);
(4)因为=+=+=2-=2a+3b,所以(x,y)=(2,3);
(5)因为=+=a+b,所以(x,y)=(1,1);
(6)因为=+=a+3b,所以(x,y)=(1,3).
所以x+y的最大值为2+3=5.根据其对称性,可知x+y的最小值为-5.故x+y的取值范围是[-5,5],故选项B,C均符合题意.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若=(2,8),=(-7,2),则=________.?
【解析】=-=(-9,-6),所以=(-3,-2).
答案:(-3,-2)
14.已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标是________.?
【解析】因为F=(8,0),所以终点坐标为(8,0)+(1,1)=(9,1).
答案:(9,1)
15.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.?
【解析】a+b=(m+1,3),由|a+b|2=|a|2+|b|2,得(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.
答案:-2
16.(2020·郑州高一检测)已知点P是△ABC所在平面内的一点,设F为AB的中点,若=+,且=λ,则λ=________,=________.?
【解析】
如图,F为AB的中点,设D为AF的中点,E为AC的中点,因为=+,
所以可得=+,
整理得++2=0.又+=2,
所以=-,
所以S△APC=S△APF,
又S△APF=S△APB,所以=.
答案:-1
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)在平行四边形ABCD中,=a,=b.
(1)如图①,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.
(2)如图②,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.
【解析】(1)=+=+=-=-a+b.=+=-=a-b.
(2)=-=b-a.
因为O是BD的中点,G是DO的中点,
所以==(b-a),
所以=+=a+(b-a)=a+b.
18.(12分)(2020·成都高一检测)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判断a,b是否共线.
(2)若a∥c,求x的值.
【解析】(1)若a与b共线,由题知a为非零向量,
则设b=λa,即6m-4n=λ,
所以得到λ=2且λ=-2,
所以λ不存在,即a与b不共线.
(2)因为a∥c,则设c=r
a,即m+xn=3r
m+2r
n,即,解得x=.
19.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
(1)当m=8时,将用和表示.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
【解析】(1)m=8时,=(8,3),设=λ1+λ2,所以(8,3)=λ1(2,-1)+
λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),
所以解得
所以=-3+.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有与不共线,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),
=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),
则有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.
20.(12分)用向量法证明:三角形的三条中线交于一点.
【证明】
如图,D,E,F分别是△ABC三边上的中点,
设=a,=b,AD∩BE=G.
设=λ,=μ.
则=+=(b-a)+μ=(b-a)+μ=b-a+μ=
(μ-2)a+(1-μ)b,又=λ=λ(+)=λ=-λa+λb,
所以解得
则=+=a+
=a+=a+b,
=a+b,所以=,所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点.
21.(12分)在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150
km/h的航行速度向西北方向飞行,求没有风时飞机的航行速度和方向.
【解析】
如图所示,设v=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,则vb=va-v.所以vb,va,v构成了一个三角形,
||=|va|,||=|v|,||=|vb|.
作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°,设||=150,||=75(-),则||=||=||=75,
所以||=75.从而||=150,∠CAD=30°,所以|vb|=150,所以无风时飞机的航行速度为150
km/h,方向为北偏西60°.
22.(12分)设直线l:mx+y+2=0与线段AB有公共点P,其中A(-2,3),B(3,2),试用向量的方法求实数m的取值范围.
【解析】(1)P与A重合时,m×(-2)+3+2=0,所以m=.P与B重合时,3m+2+2=0,所以m=-.
(2)P与A,B不重合时,设=λ,则λ>0.
设P(x,y),则=(x+2,y-3),=(3-x,2-y).
所以所以
把x,y代入mx+y+2=0可解得λ=,
又因为λ>0,所以>0.所以m<-或m>.
由(1)(2)知,所求实数m的取值范围是
∪.
PAGE单元素养评价(三)(第六章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于
( )
A.-
B.
C.-或
D.0
2.若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有
( )
A.a=3,b=-5
B.a-b+1=0
C.2a-b=3
D.a-2b=0
3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于
( )
A.(-2,7)
B.(-6,21)
C.(2,-7)
D.(6,-21)
4.(2020·西昌高一检测)已知a,b是不共线的向量,=λa+μb,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三点共线,则λ、μ满足( )
A.λ=μ-3
B.λ=μ+3
C.λ=μ+2
D.λ=μ-2
5.若P是直线P1P2上的一点,且=λ,则当-1<λ<0时,点P的位置( )
A.在线段P1P2上
B.在线段P1P2的延长线上
C.在线段P2P1的延长线上
D.不能确定
6.如图在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则
( )
A.=(a+b+c+d)
B.=(a-b+c-d)
C.=(c+d-a-b)
D.=(a+b-c-d)
7.(2020·唐山高一检测)过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若++=0恒成立,则点M是△ABC的( )
A.垂心
B.重心
C.外心
D.内心
8.(2020·沈阳高一检测)过△ABC的重心任作一直线分别交边AB,AC于点D,E.若=x,=y,xy≠0,则4x+y的最小值为
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列命题不正确的是
( )
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量
C.|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若a与b是单位向量,则|a|=|b|
10.下列命题中正确的是
( )
A.-=
B.+=0
C.0·=0
D.++=
11.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0
12.(2020·济南高一检测)如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图1)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是( )
A.-6
B.1
C.5
D.9
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若=(2,8),=(-7,2),则=________.?
14.已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标是________.?
15.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.?
16.(2020·郑州高一检测)已知点P是△ABC所在平面内的一点,设F为AB的中点,若=+,且=λ,则λ=________,=________.?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)在平行四边形ABCD中,=a,=b.
(1)如图①,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.
(2)如图②,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.
18.(12分)(2020·成都高一检测)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判断a,b是否共线.
(2)若a∥c,求x的值.
19.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
(1)当m=8时,将用和表示.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
20.(12分)用向量法证明:三角形的三条中线交于一点.
21.(12分)在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150
km/h的航行速度向西北方向飞行,求没有风时飞机的航行速度和方向.
22.(12分)设直线l:mx+y+2=0与线段AB有公共点P,其中A(-2,3),B(3,2),试用向量的方法求实数m的取值范围.
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