2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学石厦校区九年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学石厦校区九年级（下）开学数学试卷
一.选择题（每小题3分）
1．在﹣2、、0、1这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B． C．0 D．1
2．《金刚川》上映不久，其票房突破13亿元，1300000000用科学记数法表示为　　）
A．1.3×108 B．1.3×109 C．0.13×109 D．13×108
3．如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　）
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
4．为了调查某小区居民的口罩使用情况，随机抽查了10户家庭的一周使用的口罩数，结果如表，则关于这10户家庭的一周使用的口罩数，下列说法错误的是（　　）
每周用的口罩数量 20 21 23 30
总数 3 4 2 1
A．中位数是21 B．众数是21 C．极差是10 D．方差是5
5．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（　　）
A．48° B．96° C．114° D．132°
6．下列说法中，错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两直线平行，同位角相等
D．两边及一角对应相等的两个三角形全等
7．如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（1，3），且与x轴有一个交点为B（4，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
10．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝5，OB＝12，将△COD绕O点旋转，连接AD，CB交于P点，连接MP，则MP的最大值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．12.5
二、填空题（每小题3分）
11．因式分解：﹣4a3b3+ab＝　 　．
12．某超市今年三月份的营业额为100万元，五月份的营业额为121万元，则四、五两个月每月的平均增长率是　 　%．
13．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝　 　．
14．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为　 　．
15．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y＝（x＞0，k＞0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′且点O、A′、C′在同一条直线上，连接CC′，交x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于　 　．
三、解答题.（本大题共7小题，共55分）
16．计算：．
17．红岭中学最近要举办艺术节，节目分别有：A舞蹈、B戏剧、C唱歌、D漫画与书法．下面随机抽取部分同学调查最喜爱哪项节目，得到如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了　 　名同学．
（2）请补全条形统计图，在扇形统计图中A类型节目所对应的圆心角为　 　度．
（3）在本次调查访问中，小明和小亮从“舞蹈”、“戏剧”、“唱歌”，选出一种自己最喜欢的节目．请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种节目的概率．
18．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）
20．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为线段BC上一点，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）于点F，且EF＝BD，求点F的坐标．
22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D为该二次函数图象顶点．连接BC、AC及CD、BD．
（1）如图1，若点B的坐标（3，0），顶点D坐标（1，4）．
①求a的值，并说明∠DBA＝∠ACB；
②如图2，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
（2）若a＝﹣，点B（1，0），点A（﹣4，0），如图3，动点G在直线AC上方的二次函数图象上．过点G作GE⊥AC于点E，是否存在点G，使得△CGE中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求出点G的横坐标：若不存在，请说明理由．
参考答案
一.选择题（每小题3分）
1．在﹣2、、0、1这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B． C．0 D．1
【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可求解．
解：﹣2＜﹣＜0＜1，
最小的数是﹣2．
故选：A．
2．《金刚川》上映不久，其票房突破13亿元，1300000000用科学记数法表示为　　）
A．1.3×108 B．1.3×109 C．0.13×109 D．13×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：1300000000＝1.3×109．
故选：B．
3．如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　）
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；主视图发生改变．
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；左视图没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；俯视图发生改变．
故选：D．
4．为了调查某小区居民的口罩使用情况，随机抽查了10户家庭的一周使用的口罩数，结果如表，则关于这10户家庭的一周使用的口罩数，下列说法错误的是（　　）
每周用的口罩数量 20 21 23 30
总数 3 4 2 1
A．中位数是21 B．众数是21 C．极差是10 D．方差是5
【分析】根据中位数的确定方法，将一组数据按大小顺序排列，位于最中间的两个的平均数或最中间一个数据是中位数，众数的定义是在一组数据中出现次数最多的就是众数，极差是一组数据中最大值与最小值的差，运用方差公式求出这组数据的方差．
解：∵这10个数据是：20，20，20，21，21，21，21，23，23，30，
∴中位数是：（21+21）÷2＝21吨，故A正确；
∴众数是：21吨，故B正确；
∴极差是：30﹣20＝10吨，故C正确；
这组数据的平均数是：（3×20+4×21+2×23+30）÷10＝22（吨），
则方差是：×[3×（20﹣22）2+4×（21﹣22）2+2×（23﹣22）2+（30﹣22）2]＝8.2，故D错误．
故选：D．
5．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（　　）
A．48° B．96° C．114° D．132°
【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．
解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，
故选：B．
6．下列说法中，错误的是（　　）
A．对顶角相等
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两直线平行，同位角相等
D．两边及一角对应相等的两个三角形全等
【分析】根据菱形的判定，对顶角的性质，全等三角形的判定可得出答案．
解：A、对顶角相等，本选项说法正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法正确，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，本选项说法正确，不符合题意；
D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
7．如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．
解：设身高GE＝h，CF＝l，AF＝a，
当x≤a时，
在△OEG和△OFC中，
∠GOE＝∠COF（公共角），∠AEG＝∠AFC＝90°，
∴△OEG∽△OFC，
∴＝，
∴＝，
∴y＝x+，
∵a、h、l都是固定的常数，
∴自变量x的系数是固定值，
∴这个函数图象肯定是一次函数图象，即是直线；
∵影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远而影长将变大．
故选：A．
8．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣6，由此可得到所求的方程．
解：根据题意，得：．
故选：C．
9．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（1，3），且与x轴有一个交点为B（4，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3）
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
10．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝5，OB＝12，将△COD绕O点旋转，连接AD，CB交于P点，连接MP，则MP的最大值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．12.5
【分析】根据相似三角形的判定定理证明△COB∽△DOA，得到∠OBC＝∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．
解：取AB的中点S，连接MS、PS，
则PM≤MS+PS，
∵∠AOB＝90°，OA＝5，OB＝12，
∴AB＝13，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB＝∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC＝∠OAD，
∴O、B、P、A共圆，
∴∠APB＝∠AOB＝90°，
又S是AB的中点，
∴PS＝AB＝，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS＝OB＝6，
∴MP的最大值是6+＝＝12.5，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解：﹣4a3b3+ab＝　ab（1+2ab）（1﹣2ab）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝ab（﹣4a2b2+1）
＝ab（1+2ab）（1﹣2ab）．
故答案为：ab（1+2ab）（1﹣2ab）．
12．某超市今年三月份的营业额为100万元，五月份的营业额为121万元，则四、五两个月每月的平均增长率是　10　%．
【分析】本题可设每月营业额平均增长率为x，则四月份的营业额是100（1+x），五月份的营业额是100（1+x）（1+x），则可以得到方程求解．
解：设四、五两个月每月的平均增长率是x．
根据题意得：100（1+x）2＝121，
解得x1＝0.1；x2＝﹣2.1（不合理舍去）．
故四、五两个月每月的平均增长率是10%．
13．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝　18　．
【分析】利用相似三角形的性质求出△PAD的面积即可解决问题．
解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，
∴＝＝，
∴EF∥AD，
∴△PEF∽△PAD，
∴＝（）2，
∵S△PEF＝2，
∴S△PAD＝18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，
∴S1+S2＝S△PAD＝18，
故答案为18．
14．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为　2+　．
【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC＝1、OA＝OB＝2，从而得出OC＝＝、BC＝OB﹣OC＝2﹣，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO＝可得答案．
解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，
则AC＝1，OA＝OB＝2，
∵在Rt△AOC中，OC＝＝＝，
∴BC＝OB﹣OC＝2﹣，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABO＝＝＝2+．
故答案是：2+．
15．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y＝（x＞0，k＞0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′且点O、A′、C′在同一条直线上，连接CC′，交x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于　10　．
【分析】过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，设A（a，），C（b，），由△OAD∽△BCO，得到＝（）2＝，根据反比例函数的系数k的几何意义得到S△ADO＝，S△BOC＝，求出k2＝（）2，得到k＝﹣，根据S△ABC＝S△AOB+S△BOC＝（﹣）?b+＝6，列出关于k的方程k2+k﹣12＝0，求得k＝3，由于点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，得到OA′，OC′在同一条直线上，于是得到由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．
解：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，
∵点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，
∴设A（a，），
∵点C在函数y＝（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，
∴设C（b，），
∵AD⊥BD，BC⊥BD，
∴△OAD∽△BCO，
∴＝（）2＝，
∵S△ADO＝，S△BOC＝，
∴k2＝（）2，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC＝（﹣）?b+＝6，
∴k2﹣＝12，
①当k＞0时，
k＝﹣，
∴k2+k﹣12＝0，
解得：k＝3，k＝﹣4（不合题意舍去），
②当k＜0时，
k＝，
∴k2+k﹣12＝0，
解得：k＝﹣3，k＝4（不合题意舍去），
∴k2＝9
∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，
∴OA′，OC′在同一条直线上，
∴S△OBC′＝S△OBC＝＝，
∵S△OAA′＝2S△OAD＝1，
∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．
故答案为：10．
三、解答题.（本大题共7小题，共55分）
16．计算：．
【分析】分别根据负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质进行化简得出即可．
解：原式＝8++2﹣﹣1＝9．
17．红岭中学最近要举办艺术节，节目分别有：A舞蹈、B戏剧、C唱歌、D漫画与书法．下面随机抽取部分同学调查最喜爱哪项节目，得到如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了　200　名同学．
（2）请补全条形统计图，在扇形统计图中A类型节目所对应的圆心角为　108　度．
（3）在本次调查访问中，小明和小亮从“舞蹈”、“戏剧”、“唱歌”，选出一种自己最喜欢的节目．请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种节目的概率．
【分析】（1）由B类人数除以所占百分比即可；
（2）求出D类、A类人数，即可解决问题；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共调查了200名同学，
故答案为：200；
（2）D类人数为：200×20%＝40（名），
则A类人数为200﹣56﹣44﹣40＝60（名），
∴360°×＝108°，
即在扇形统计图中A类型节目所对应的圆心角为108°，
故答案为：108，
补全条形统计图如下：
（3）把“舞蹈”、“戏剧”、“唱歌”分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9个等可能的结果，小明和小亮两人恰好选择同一种节目的结果有3个，
∴小明和小亮两人恰好选择同一种节目的概率为＝．
18．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【分析】首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．
解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，
∵CE⊥AD，BF⊥CD，BG⊥AD，
∴四边形BFDG矩形，
∴BG＝FD
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，
∴CF＝BC?sin30°＝20×＝10，
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，
∴BG＝AB?sin60°＝30×＝15．
∴CE＝CF+FD+DE＝10+15+2
＝12+15≈37.98≈38.0（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）
【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，再由平行线的性质得出∠DCE＝∠BDC＝60°，在Rt△CDF中，由三角函数求出DF即可．
【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝BD＝AD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B＝60°，CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠BDC＝60°，
又∵CD＝BC＝6，
∴在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝6×＝3．
20．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．
【解答】证明：（1）连接OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AN，ON
∵＝，
∴AN＝BN＝4
∵AB是直径，＝，
∴∠ANB＝90°，ON⊥AB
∴AB＝＝4
∴AO＝BO＝ON＝2
∴OC＝＝＝1
∴AC＝2+1，BC＝2﹣1
∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC
∴△ACN∽△MCB
∴
∴AC?BC＝CM?CN
∴7＝3?CM
∴CM＝
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为线段BC上一点，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）于点F，且EF＝BD，求点F的坐标．
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式中求出b，进而求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CG＝2，BG＝4，进而求出点C坐标，即可求出k；
（2）先求出点D坐标，进而求出BD，即可得出结论；
（3）先求出EF＝3，设出点E坐标，表示出F坐标，利用EF＝3建立方程求解即可得出结论．
解：（1）∵直线y＝2x+b经过点A（﹣1，0），
∴﹣2+b＝0，
∴b＝2，
∴直线AB的解析式为y＝2x+2，
∴B（0，2），
如图，过点C作CG∥x轴交y轴于G，
∴△AOB∽△CGB，
∴＝，
∴CG＝2OA＝2，BG＝2OB＝4，
∴OG＝OB+BG＝6，
∴C（2，6），
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×6＝12；
（2）∵BD∥x轴，且B（0，2），
∴D（6，2），
∴BD＝6，
∴S△ABC＝BD?OB＝6；
（3）由（2）知，BD＝6，
∵EF＝BD，
∴EF＝3，
设E（m，2m+2）（0＜m＜2），
∴F（，2m+2），
∴EF＝﹣m＝3，
∴m＝﹣2﹣（舍）或m＝﹣2+，
∴F（+1，﹣2+2）．
22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D为该二次函数图象顶点．连接BC、AC及CD、BD．
（1）如图1，若点B的坐标（3，0），顶点D坐标（1，4）．
①求a的值，并说明∠DBA＝∠ACB；
②如图2，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
（2）若a＝﹣，点B（1，0），点A（﹣4，0），如图3，动点G在直线AC上方的二次函数图象上．过点G作GE⊥AC于点E，是否存在点G，使得△CGE中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求出点G的横坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①根据题意设y＝a（x﹣1）2+4，将B（3，0）代入求出a，于是得到结论；求出tan∠OCA＝．tan∠DBC＝，得出∠DBC＝∠OCA，则得出结论；
②先判断出△DEP为等腰三角形．再利用勾股定理建立方程（4﹣h）2＝[1﹣（﹣1）]2+h2即可得出结论；
（2）先求出二次函数解析式，进而判断出∠GCE＝2∠BAC或∠CGE＝2∠BAC，再分两种情况：
①若∠GCE＝2∠CAB，判断出y轴是PG的中垂线，即可得出结论；
②若∠EGC＝2∠CAB，先求出OH＝，再判断出tan∠CGE＝＝，再判断出GM＝3k，判断出△AOC∽△MNC，得出MN＝2CN，进而得出NG，即可得出结论．
解：（1）①设y＝a（x﹣1）2+4，
将B（3，0）代入得，0＝a（3﹣1）2+4，
解得a＝﹣1．
∴抛物线的解析式是：y＝﹣（x﹣1）2+4，
即y＝﹣x2+2x+3．
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），
∴OB＝OC＝3，
∴∠CBO＝∠OCB．
∴tan∠OCA＝．
∵BC＝3，DC＝，BD＝2，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC＝，
又∵∠DBC和∠OCA都是锐角，
∴∠DBC＝∠OCA．
∴∠DBA＝∠ACB；
②如图，设直线CD切⊙P于点E．连接PE、PA，作CF⊥DQ于点F．
∴PE⊥CD，PE＝PA．
由y＝﹣x2+2x+3，得
对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．
∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，
∴DF＝CF，
∴△DCF为等腰直角三角形．
∴∠CDF＝45°，
∴∠EDP＝∠EPD＝45°，
∴DE＝EP，
∴△DEP为等腰三角形．
设P（1，h），D（1，4）．
∴DP＝|h﹣4|，
∴EP＝|h﹣4|，
∴EP2＝（4﹣h）2．
在△APQ中，∠PQA＝90°，
∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+h2，
∴（4﹣h）2＝[1﹣（﹣1）]2+h2．
整理，得h2+8h﹣8＝0，
解得，h＝﹣4±2．
∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
（2）G的横坐标﹣2或﹣．
根据题意得，，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴C（0，2），
∵A（﹣4.0），
∴OA＝4，
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
在Rt△AOC中，tan∠BAC＝＝＝＜1，
∴∠BAC＜45°，
∵GE⊥AC，
∴∠CEG＝90°，
∵△CGE中的某个角恰好等于∠BAC的2倍，
∴∠GCE＝2∠BAC或∠CGE＝2∠BAC，
①若∠GCE＝2∠CAB，如图2，过点P作GP∥x轴交直线AC于P，
∴GP⊥y轴，
∴∠GCE＝2∠GPC，
∴∠CGP＝∠GPC，
∴CG＝CP，
∴y轴是PG的中垂线，
设点G的横坐标为m，则点P的横坐标为﹣m，
∴G（m，﹣m2﹣m+2），P（﹣m，﹣m+2），
∴﹣m2﹣m+2＝﹣m+2，
∴m1＝0，m2＝﹣2
∴m＝﹣2；
②若∠EGC＝2∠CAB，如图3，过点G作GM∥x交AC于M，交y轴于N，
在AO上取一点H，使AH＝CH，
则∠CHO＝2∠CAB，
根据勾股定理得，（4﹣AH）2+OC2＝AH2，
∴AH＝，
∴OH＝，
∴tan∠CHO＝＝，
∴tan∠CGE＝，
在Rt△CEG中，tan∠CGE＝＝，
设CE＝4k，GE＝3k，则GC＝5k，
∵∠GMC＝∠CAB，
∴tan∠GMC＝tan∠CAB＝，
∴，
∴EM＝2EG＝6k，
∴CM＝EM﹣CE＝2k，
根据勾股定理得，GM＝＝3k，
∵GM∥x轴，
∴∠CNM＝90°，
在Rt△CNM中，CN2+MN2＝CM2，
∵GM∥x轴，
∴△AOC∽△MNC，
∴，
∴，
∴MN＝2CN，
∴CN2+4CN2＝4k2，
∴CN＝k，MN＝k，
∴NG＝GM﹣MN＝3k，
设点G的坐标为（n，﹣n2﹣n+2），
∴﹣n＝k，﹣n2﹣n+2＝2+k，
∴n＝﹣或n＝0（舍），
即满足条件的点G的横坐标﹣2或﹣．