人教高中数学选修2-3第二章2.3.1离散型随机变量的均值 教案

2．3离散型随机变量的均值与方差
2．3．1离散型随机变量的均值
教学重难点：
重点：排列数公式的理解与运用，排列应用题常用的方法离散型随机变量的均值或期望的概念。
难点：根据离散型随机变量的分布求出均值或期望。
教学过程：
一、讲解新课：
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望
根据射手射击所得环数ξ的分布列，
我们可以估计，在n次射击中，预计大约有　　
　　次得4环；
　　　　次得5环；
…………
　　次得10环．
故在n次射击的总环数大约为
，
从而，预计n次射击的平均环数约为
．
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．
对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:
…．
1.
均值或数学期望:
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称
……
为ξ的均值或数学期望，简称期望．
　　2.
均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3.
平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4.
均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是……
＝……)……)
＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
5.若ξB（n,p），则Eξ=np
证明如下：
∵　，
∴　0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．
又∵
，
∴
＋＋…＋＋…＋．
故　　若ξ～B(n，p)，则np．
二、讲解范例：
例1.
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
解：因为，
所以
例2.
一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分
学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~
B（20,0.9）,,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5
所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
例3.
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.
01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60
000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3
种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3
800
元．
方案2：建保护围墙，建设费为2
000
元．但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
解：用X1
、X2和X3分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3
800
元，即
X1
=
3
800
.
采用第2
种方案，遇到大洪水时，损失2
000
+
60
000=62
000
元；没有大洪水时，损失2
000
元，即
同样，采用第
3
种方案，有
于是，
EX1＝3
800
,
EX2＝62
000×P
(X2
=
62
000
)
+
2
00000×P
(X2
=
2
000
)
=
62000×0.
01
+
2000×(1-0.01)
=
2
600
,
EX3
=
60000×P
(X3
=
60000)
+
10
000×P(X3
=10
000
)
+
0×P
(X3
=0)
=
60
000×0.01
+
10000×0.25=3100
.
采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2
.
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案
2
将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案
2
也不一定是最好的．
例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
解：∵，
=3.5
例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）
解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：
（=1，2，…，10）
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.15
0.1275
0.1084
0.092
0.0783
0.0666
0.0566
0.0481
0.0409
0.2316
根据以上的概率分布，可得的期望
例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以
1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
ξ
15
16
17
18
P
0.1
0.5
0.3
0.1
求所收租车费η的数学期望．
(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
解：(Ⅰ)依题意得　η=2(ξ-4)十10，即　η=2ξ+2；
(Ⅱ)
∵
η=2ξ+2
∴
2Eξ+2=34.8
（元）
故所收租车费η的数学期望为34.8元．
　　(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15
　　所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟
四、课堂练习：
1.
口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（
）
A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75
答案：C
2.
篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；
⑵他罚球2次的得分η的数学期望；
⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．
解：⑴因为，，所以
1×＋0×
⑵η的概率分布为
η
0
1
2
P
所以
0×＋1×＋2×＝1.4．
⑶ξ的概率分布为
ξ
０
１
2
3
P
　　　所以
0×＋1×＋2×＝2.1.
3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．
分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.
　　解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=．
　　　　∴　P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）．
　　∴　ξ～B(n,)，故　Eξ
=n×=
三、课后作业：P64-65练习1,2,3,4
P69
A组1,2,3
1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是
（用数字作答）
解：令取取黄球个数
(=0、1、2)则的要布列为
0
1
2
p
于是
E（）=0×+1×+2×=0.8
故知红球个数的数学期望为1.2
2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数
①求的概率分布列
②求的数学期望
解：①依题意的取值为0、1、2、3、4
=0时，取2黑
p(=0)=
=1时，取1黑1白
p(=1)=
=2时，取2白或1红1黑p(=2)=
+
=3时，取1白1红，概率p(=3)=
=4时，取2红，概率p(=4)=
0
1
2
3
4
p
∴分布列为
（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=
3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望
解：设表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障（i=1、2、3）
表示第i台仪器不出现故障，则：
p(=1)=p(A1··)+
p(·A2·)+
p(··A3)
=p1(1－p2)
(1－p3)+
p2(1－p1)
(1－p3)+
p3(1－p1)
(1－p2)
=
p1+
p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3
p(=2)=p(A1·
A2·)+
p(A1··)+
p(·A2·A3)
=
p1p2
(1－p3)+
p1p3(1－p2)+
p2p3(1－p1)
=
p1p2+
p1p3+
p2p3－3p1p2p3
p(=3)=p(A1·
A2·A3)=
p1p2p3
∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)=
p1+p2+p3
注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望
4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是
1.2
解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为
0
1
2
P
5.
、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
B队队员胜的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，
（1）求，的概率分布；
（2）求，
解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0
根据题意知，所以
（Ⅱ）；
因为,所以