(共27张PPT)
HK版八年级下
第19章
四边形
19.2
平行四边形
第4课时
由对角线的关系判定平行四边形
4
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BO＝DO(答案不唯一)
D
C
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B
C
D
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
BO＝DO
(答案不唯一)
2．【中考·昆明】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
C
D
4.【中考·绵阳】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )
A．6
B．12
C．20
D．24
D
D
6．【中考·荆门】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①
AD∥BC；②
AD＝BC；③
OA＝OC；④
OB＝OD，
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
B
7.在四边形ABCD中，AC交BD于点O，且AB∥CD，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行
四边形；
③如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
其中正确的说法是( )
A．①②
B．①③④
C．②③
D．②③④
【答案】C
8．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线上的两点，给出下列4个条件：
①OE＝OF；
②DE＝BF；
③∠ADE＝∠CBF；
④∠ABE＝∠CDF.
其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】B
9．【中考·张家界】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．
10．如图所示，在?ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.
求证：∠EBF＝∠FDE.
11．【中考·大庆】如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BF＝BE.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
证明：∵三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.∵EG∥BC，DE∥AC，
∴四边形CDEG是平行四边形．∴∠DEG＝∠C.
∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC.∴∠DEG＝∠AEG.
∵BE＝BF，∴∠BEF＝∠F＝∠AEG.
∴∠F＝∠DEG.∴BF∥DE.
∴四边形BDEF为平行四边形．
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
12．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边三角形ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①)，求证：EF＝CD；
(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
(3)若点D是BC边上除B，C外的任意一点(如图②)，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出
证明；若不成立，请说明理由．
(1)若点D是BC边的中点(如图①)，求证：EF＝CD；
(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
解：△AEF和△ABC的面积比为1∶4.
(3)若点D是BC边上除B，C外的任意一点(如图②)，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－60°－(60°＋∠EDB)＝60°－∠EDB，∴∠BAD＝∠ACF.又∵∠B＝∠FAC＝60°，AB＝CA.
∴△ABD≌△CAF.∴AD＝CF.
∵AD＝ED，∴ED＝CF.
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝CD.(共20张PPT)
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第19章
四边形
19.1
多边形内角和
第2课时
多边形的外角和
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B
B
B
C
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A
A
C
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见习题
1．【中考·百色】多边形的外角和等于( )
A．180°
B．360°
C．720°
D．(n－2)·180°
B
2．【中考·福建】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( )
A．12
B．10
C．8
D．6
B
3.【中考·十堰】如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是( )
A．140米
B．150米
C．160米
D．240米
【答案】B
4．【中考·莱芜】如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是( )
A．10
B．11
C．12
D．13
C
5．【中考·咸宁】若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为( )
A．45°
B．60°
C．72°
D．90°
C
6.如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点．若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，则∠BOD的度数为( )
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【答案】B
7．可伸缩的遮阳篷是依据四边形的( )
A．不稳定性
B．稳定性
C．伸缩性
D．可变性
A
8．【中考·河北】下列图形具有稳定性的是( )
A
9．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1
350°.
(1)求此多边形的边数；
解：由(1)知此多边形必有一内角为180°－90°＝90°.
(2)此多边形必有一内角为多少度？
10．(1)如图①②，试研究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
(2)请你用文字描述上述的关系；
解：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．
(3)用你发现的结论解决下列问题：
如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．(共29张PPT)
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第19章
四边形
19.3
矩形、菱形、正方形
19．3.1 矩 形
第3课时
矩形的判定
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D
见习题
A
B
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见习题
C
B
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C
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见习题
12
见习题
见习题
13
见习题
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AC＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
A
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在BC边上，且BC＝3AD．
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
解:∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴DE＝AB，AF＝DC.∵AB＝DC，∴DE＝AF.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形．
(2)当AB＝DC时，求证：四边形AEFD是矩形．
4．【中考·上海】已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
B
5．【中考·十堰】已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
B
6．在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的是( )
①AC＝5；
②∠A＋∠C＝180°；
③AC⊥BD；
④AC＝BD．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
B
7．【中考·菏泽】如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( )
A．互相平分
B．相等
C．互相垂直
D．互相垂直平分
C
8.【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．
9．在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形( )
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
【答案】C
10．【中考·云南】如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAO＝∠ABO.∴∠ABO＝∠CDO.∵∠AOB:∠ODC＝4:3，
∴∠BAO:∠AOB:∠ABO＝3:4:3.
11．【中考·怀化】已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是矩形．
解：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°.
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
12．【中考·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证△BDE≌△FAE；
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE.
又∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE；
(2)求证：四边形ADCF为矩形．
解：∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.
又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.∴四边形ADCF为矩形．
13．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
(1)四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．
解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.
∵∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150°.
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？(共19张PPT)
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第19章
四边形
阶段核心应用
特殊平行四边形间的关系的综合应用
4
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4．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明．
(2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由．
(3)连接AE，AF，当点O在AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．
(4)在(3)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
ED
B
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P
A
E
B
包12
D
AE
M
B
F
N
B
D(共18张PPT)
HK版八年级下
阶段核心方法
活用多边形的内角和与外角和的五种方法
第19章
四边形
4
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B
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见习题
见习题
见习题
5
300°
1．【中考·孝感】已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是( )
A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
B
【点拨】设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.
2．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为________．
8
3．已知两个多边形的内角总和是900°，且边数之比是1：2，求这两个多边形的边数．
解：设这两个多边形的边数分别是n，2n，则(n－2)×180°＋(2n－2)×180°＝900°，解得n＝3，所以2n＝6.
所以这两个多边形的边数分别是3，6.
4．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2
∶3
∶4
∶3，则∠D等于( )
A．60°
B．75°
C．90°
D．120°
C
5．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．
【答案】300°
6．如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．
解：如图，连接AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.因为AB⊥BC，所以∠B＝90°.又因为∠C＝120°，所以∠BAD＋∠ADC＝150°.因为CD∥AF，所以∠CDA＝∠DAF，所以∠BAF＝150°.又因为∠CDE＝∠BAF，所以∠CDE＝150°.所以在六边
形ABCDEF中，∠F＝720°－∠BAF－
∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°
－90°－120°－150°－80°＝130°.
7．一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2
570°，求：
(1)这个多边形的边数；
(2)除去的那个内角的度数．
(1)这个多边形的边数；
(2)除去的那个内角的度数．
解：除去的那个内角的度数为(17－2)·180°－2
570°＝130°.
8．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
解：如图，连接GF.因为∠A＋∠B＋∠AHB＝180°，∠HFG＋∠HGF＋∠GHF＝180°，∠AHB＝∠GHF，所以∠A＋∠B＝∠HFG＋∠HGF.因为∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠FGC＝540°，∠EFG＝∠EFH＋∠HFG，
∠FGC＝∠HGC＋∠HGF，所以∠C＋∠D＋
∠E＋∠EFH＋∠HFG＋∠HGC＋∠HGF＝540°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠HGC＝540°.
9．一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是2
700°，那么原多边形的边数是多少？
分析：设截成的多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得关于n的方程，从而求得n的值．一个多边形截去一个角后，会出现三种情况，以四边形为例：(1)边数减少1，如图①；
(2)边数不变，如图②；
(3)边数增加1，如图③.
解：设新截成的多边形的边数是n，根据多边形的内角和公式，得(n－2)·180°＝2
700°，解得n＝17.把一个多边形的一个角截去后，所得新多边形边数可能不变，可能减少1，也可能增加1.所以原多边形的边数为16或17或18.(共28张PPT)
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第19章
四边形
19.3.2
菱形
第3课时
菱形的判定
4
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3
5
OA＝OC(答案不唯一)
D
C
B
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见习题
C
D
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见习题
10
11
见习题
见习题
1．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
OA＝OC
(答案不唯一)
2.如图，在?ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝13，AC＝24，DB＝10，则四边形ABCD是( )
A．一般的平行四边形
B．长方形
C．菱形
D．形状不能确定
C
3．【中考·南通】下列条件中，能判定?ABCD是菱形的是( )
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
C．AD＝BD
D．AC⊥BD
D
4．【中考·泰安】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；
④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
由∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
可证△ADE≌△CBF(ASA)．∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确．
∴DE－DN＝BF－BM，即NE＝MF.
∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形．∴EM∥FN，故②正确．
∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD.∴△AOD是等边三角形．
∴∠ADO＝60°.∴∠ABD＝90°－∠ADO＝30°.∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°.∴∠ODN＝∠ABD.
∴DE＝BE.∴四边形DEBF是菱形，故④正确．
【答案】D
5.【中考·永州】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为( )
A．40
B．24
C．20
D．15
【答案】B
6.【中考·咸宁】如图，在?ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF＝BE.连接EF.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE.∵AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形．
解：如图所示，点P即为所求，
7．【中考·大庆】下列说法中不正确的是( )
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
【答案】C
8．【中考·新疆】如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.
(1)求证AE＝CF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF.
∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE.
∴∠AED＝∠CFB.
∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴AE＝CF.
(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
解：由(1)知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．
9．【中考·吉林】图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A，B，C，D均在格点上．按下列要求画图：
(1)在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F均在格点上；
解：答案不唯一．
如图①，菱形AEBF即为所求．
(2)在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H均在格点上，∠CGD＝∠CHD＝90°.
解：如图②，四边形CGDH即为所求．
10．【中考·青岛】如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证△ADE≌△CBF.
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
解：如图，当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形．
理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.
∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD.即AC⊥EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵DE＝BF，∴OE＝OF.∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．
11．【中考·娄底】如图，在?ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)求证AE⊥DE.(共30张PPT)
HK版八年级下
第19章
四边形
19.3.2
菱形
第1课时
菱形及其性质
4
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C
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见习题
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见习题
12
见习题
见习题
13
见习题
1．如图，若要使?ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝AC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
C
2．【中考·河北】如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( )
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
D
3．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：
①S△ADE＝S△EOD；
②四边形BFDE是中心对称图形；
③△DEF是轴对称图形；
④∠ADE＝∠EDO.其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
4．【中考·贵阳】如图，菱形ABCD的周长是4
cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
A
5．【中考·无锡】下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
C
6．【中考·黑龙江龙东地区】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为( )
A．72
B．24
C．48
D．96
【答案】C
【答案】D
C
9．【中考·怀化】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10
cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为__________cm.
10．【中考·百色】如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF.
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的长．
解：∵E是AD的中点，
且BE⊥AD，
∴直线BE为AD的垂直平分线，
∴BD＝AB＝2.
11．【中考·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.
求证：(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝BF＋EF.
解：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，AF＝DE.
∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF，
∴DE＝BF＋EF.
12．【中考·北京】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
13．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．
(1)求证：AE＝EC．
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时
，点F在线段BC的什么位置？并说明理由．(共33张PPT)
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第19章
四边形
19.3.3
正方形
第2课时
正方形的判定
4
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6
7
1
2
3
5
B
D
B
C
A
8
B
B
B
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10
11
12
9
见习题
见习题
见习题
13
见习题
C
1．【中考·绵阳】如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有( )
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
B
B
【答案】D
4.【中考·台州】小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )
A．1次
B．2次
C．3次
D．4次
B
5．【中考·巴中】下列命题是真命题的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．四边相等的平行四边形是正方形
C
A
6．【中考·台州】下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是( )
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②
D．由①推出③，由③推出②
7．【中考·日照】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
B
8．【中考·襄阳】已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
B
9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下列条件：①AB＝AD;
②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO;
④四边形ABCD为矩形；
⑤四边形ABCD为菱形；
⑥四边形ABCD为正方形．
C
则下列推理不成立的是( )
A．①④?⑥
B．①③?⑤
C．①②?⑥
D．②③?④
10．【中考·青岛】如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF.
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD．
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
(2)若H是边AB上一点(H与A，B不重合)，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2.当AB＝2时，求AH的长．
13．【中考·天水】如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．(共31张PPT)
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第19章
四边形
19.3
矩形、菱形、正方形
19．3.1 矩 形
第1课时
矩形及其性质
4
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6
7
1
2
3
5
B
A
D
C
A
8
B
B
C
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9
D
10
11
30°
12
见习题
见习题
13
见习题
14
见习题
1．下列说法不正确的是( )
A．矩形是平行四边形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
B
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
D
3．如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( )
A．△AOB≌△BOC
B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD
D．△AOD≌△BOC
【答案】A
4．【中考·黔东南州】如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于( )
A．25°
B．30°
C．50°
D．60°
C
5．【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
C
【答案】A
B
8．【中考·黄石】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【答案】D
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝________.
【点拨】根据矩形的性质求出∠BAE＝
∠BEA＝45°，即∠BAO＝∠BAE＋∠1＝60°，得出△AOB为等边三角形，∠OBE＝30°，由AB＝OB＝BE，求出∠BEO＝75°，即可求得答案．
30°
11．【中考·连云港】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．
(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；
(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．
13．【中考·哈尔滨】已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
(1)如图①，求证：AE＝CF.
解：△ABE，△CDF，△BCE，△ADF.
14．如图①，在矩形ABCD(AB(1)如图②，若EF与AD的延长线交于点F，证明EA＝EF仍然成立；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC.∴∠FAE＝∠AEB.
∵AB＝BE，∴∠FAE＝∠AEB＝∠BAE＝45°.
∵∠AEF＝90°，∴∠AFE＝180°－90°－45°＝45°.
∴∠FAE＝∠AFE，∴EA＝EF.
(2)如图③，若四边形ABCD是平行四边形(AB＜BC)，在BC边上取一点E，使BE＝AB，作∠AEF＝∠ABE，交AD于点F，则EA＝EF是否成立？若成立，请说明理由．(共30张PPT)
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第19章
四边形
19.2
平行四边形
第5课时
三角形的中位线
4
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6
7
1
2
3
5
6；3
AC；AD
中位
B
A
8
B
16
C
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10
11
12
9
见习题
4
B
见习题
13
14
见习题
见习题
1．如图，在△ABC中，C1，C2，C3四等分AC，B1，B2，B3四等分AB，BC＝12，则B2C2＝__________，B1C1＝________.
6
3
2．过△ABC的边AB的中点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F，则EF是△ABC的________线．
中位
AC
AD
C
5．【中考·广州】在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE.若∠C＝68°，则∠AED＝( )
A．22°
B．68°
C．96°
D．112°
B
【答案】A
7．【中考·凉山州】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则?ABCD的周长等于________．
【答案】16
8．【中考·河池】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( )
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
B
9.【中考·沈阳】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为________．
4
10．如图，△ABC(纸片)中，AB＝BC>AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的有( )
①△BDF是等腰直角三角形；
②∠DFE＝∠CFE；
③DE是△ABC的中位线；
④BF＋CE＝DF＋DE.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
11．【中考·湖州】如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB.
∴四边形BEFD是平行四边形．
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
12．如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝DC，AB∥DE，又∵CE＝DC，∴AB＝CE.
∴四边形ABEC是平行四边形．∴BF＝CF.
13．(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N.求证：∠BME＝∠CNE；
(2)如图②，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G.若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求EF的长．
(2)若BD，CE是△ABC的内角平分线，(1)中的其余条件不变(如图②)，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．(共28张PPT)
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第19章
四边形
19.2
平行四边形
第1课时
平行四边形及其边、角性质
4
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6
7
1
2
3
5
D
A
C
B
D
8
C
7或17
C
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10
11
12
9
13
D
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，在?ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( )
A．13
B．14
C．15
D．18
D
2.若以A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C
3.【中考·邵阳】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是( )
A．AE＝CF
B．∠AEB＝∠CFD
C．∠EAB＝∠FCD
D．BE＝DF
【答案】A
【答案】C
5．【中考·温州】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作?BCDE，则∠E的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
B
6.如图，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠E＝∠CDF
B．EF＝DF
C．AD＝2BF
D．BE＝2CF
【答案】D
7．【中考·铜仁】设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12
cm，EF与CD的距离是5
cm，则AB与EF的距离等于________
cm.
【答案】7或17
8．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，下列说法错误的是( )
A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B．CE＝FG
C．线段CD的长度就是l1与l2之间的距离
D．AC＝BD
C
9．在?ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3
cm和4
cm两部分，则?ABCD的周长为( )
A．20
cm
B．22
cm
C．10
cm
D．20
cm或22
cm
【答案】D
10．【中考·孝感】如图，在?ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF，连接EF，分别与BC，AD相交于点G，H.
求证EG＝FH.
11．【中考·重庆B】如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
(2)求证BE＝DF.
12．【中考·永州】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积．
13．【中考·安徽】如图，点E在?ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
(1)求证：△BCE≌△ADF；(共30张PPT)
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第19章
四边形
19.4
综合与实践 多边形的镶嵌
4
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6
7
1
2
3
5
B
A
C
C
D
8
6
B
3
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10
11
12
9
A
B
见习题
13
见习题
B
14
15
见习题
见习题
16
见习题
1．一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中有两个正八边形，那么另一个是( )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
B
2．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2
023个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )
A．2
023
B．2
024
C．2
025
D．2
026
【答案】C
3.为了美化城市，建设中的某小广场准备用边长相等的正方形和正八边形两种地砖镶嵌地面，在每一个顶点周围，正方形，正八边形地砖的块数分别是( )
A．1，2
B．2，1
C．2，3
D．3，2
【答案】A
4.在地面上某一点周围，a个正三角形，b个正十二边形(a，b均不为0)恰能铺满地面，则a＋b＝________．
3
5．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是( )
A．正十边形
B．正八边形
C．正六边形
D．正五边形
C
6．【中考·六盘水】下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是( )
A．正三角形
B．正六边形
C．正方形
D．正五边形
D
7．某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有( )
A．4种
B．3种
C．2种
D．1种
B
8．用正三角形作平面镶嵌，同一顶点周围，正三角形的个数为________．
6
9．能够铺满地面的正多边形的组合是( )
(1)正三角形与正方形；
(2)正五边形与正十边形；
(3)正六边形与正三角形．
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(2)(3)
D．(1)(2)(3)
B
10．利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌(密铺)地面时，若在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(a，b都不为0)，则a＋b的值为( )
A．3或4
B．4或5
C．5或6
D．4
B
11．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖密铺，这样从里向外共铺了12层(不包括中央的正六边形)，每1层的外边界都围成1个多边形，若中央正六边形的地砖的边长为0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是多少？
12．下列图形中，能用来铺满地面的是( )
A
13．【中考·齐齐哈尔】如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接．称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360°＝kα(k为正整数)，则k关于边数n的函数是
________．(写出n的取值范围)
14．【中考·江西】将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x°，平行四边形中较大角为y°，则y与x的关系式是________.
15．某校研究性学习小组探究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形作平面密铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形或用4个正三角形和1个正六边形可以拼成1个无缝隙、不重叠的平面图形，如图①②③所示．请你依照此方法解决下面的问题：
(1)探究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，求出x和y的值；
(2)按图④中给出的2个边长相等的正方形和正三角形画出1个密铺后图形的示意图．
解：如图所示．(铺法不唯一)
16．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．
(1)请根据如图所示的图形，填写下表．
(2)如果限用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
解：若限用一种正多边形镶嵌，则正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形都能镶嵌成一个平面图形．
(3)在正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形的草图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形，说明你的理由．(共23张PPT)
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第19章
四边形
19.3
矩形、菱形、正方形
19．3.1 矩 形
第2课时
矩形的性质的应用
4
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6
7
1
2
3
5
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
8
见习题
见习题
见习题
1．如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连接CF，且CF＝AF，过点A作AE⊥FC于点E，连接CA．
(1)求证AD＝AE；
(2)若∠DCA＝70°，求∠CAE的度数．
解：由(1)知△ADC≌△AEC，∴∠CAE＝∠CAD.
∵∠D＝90°，∴∠CAD＝90°－∠DCA＝90°－70°＝20°.
∴∠CAE＝20°.
2．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.
(1)求证△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝12
cm，BC＝6
cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2
cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1
cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t
s表示移动的时间(0≤t≤6)．
(1)当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
4．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.求证：
(1)BF＝DF；
(2)AE∥BD．
5．如图①，四边形ABCD是矩形，M是BC边上的一点，E是CD边上的中点，AE平分∠DAM.
(1)求证：AM＝AD＋MC；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？并说明理由．
6．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于点F.求证EF＝DF.
7．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CF折叠，使点D与AB的中点E重合，求AF:FD的值．
8．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕．
(1)求证△FGC≌△EBC；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．(共54张PPT)
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第19章
四边形
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1．【中考·毕节】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6
cm，BC＝8
cm，则EF的长是( )
A．2.2
cm
B．2.3
cm
C．2.4
cm
D．2.5
cm
【答案】D
2．如果一个多边形的内角和等于1
260°，那么这个多边形的边数为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
C
3．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时：
(1)整个行走路线是什么图形？
解：正九边形
解：9×8＝72(米)
答：一共走了72米．
(2)一共走了多少米？
4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.同理可得EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形．
(2)∠DHF＝∠DEF.
5．【中考·广西北部湾经济区】如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
6．如图，在?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：△AOE≌△COF.
解：当AC＝EF时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．
(2)连接EC，AF，则当EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
7．【中考·娄底】如图，在?ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)求证AE⊥DE.
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
9．如图，E，F分别是?ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
解：四边形MFNE是平行四边形．证明如下：
∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF.
又∵M，N分别是BE，DF的中点，∴ME＝FN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，
∴∠AEB＝∠FBE.∴∠CFD＝∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形．
(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．
10．【中考·日照】如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
【点拨】第(2)题答案不唯一．
(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
AD＝BC
证明：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.由(1)得△DCA≌△EAC，
∴∠D＝∠E＝90°.∴四边形ABCD为矩形．
证明：如图，连接CE，交AD于点O.
11．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.
求证：四边形CDEF是菱形．
∵AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形．
∵AO平分∠CAE， ∴AO⊥CE，且OC＝OE.
∵EF∥CD，∴∠2＝∠1.
又∵∠DOC＝∠FOE＝90°，
∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OD＝OF.
即CE与DF互相垂直且平分，
∴四边形CDEF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝45°，
∠CBE＝90°.
12．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点．
求证：FB⊥BH.
【点拨】本题是求折叠图形的周长，且为不规则图形，利用折叠前后两图形成轴对称图形，将各边拼合起来再求周长．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．
14．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．
15．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
证明：如图，连接AO并延长交BC于H.
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AH是BC的垂直平分线，即AH⊥BC.
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.∴四边形DEFG是平行四边形．∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴四边形DEFG是矩形．
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
证明：如图，连接PC.
17．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF.
(2，1.5)
解：设点D的坐标为(x，y)．
若以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，
(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．(共33张PPT)
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第19章
四边形
19.2
平行四边形
第2课时
平行四边形的对角线性质
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1．【中考·柳州】如图，在?ABCD中，全等三角形的对数共有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
【答案】C
2．【2020·益阳】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( )
A.10
B.8
C.7
D.6
D
3．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有4对全等三角形．
其中正确结论的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD.
∴∠CDF＝∠ABE.
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°.
∴△CFD≌△AEB(AAS)．
∴DF＝BE，CF＝AE(①正确)．
【答案】B
【答案】D
5.【2019·遂宁】如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
A.28
B.24
C.21
D.14
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵?ABCD的周长为28，∴AB＋AD＝14.
∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的垂直平分线．
∴BE＝ED.∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋ED＋AE＝AB＋AD＝14.
【答案】D
【答案】D
7．如图，若?ABCD的周长为36
cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4
cm，DF＝5
cm，?ABCD的面积为( )
A.40
cm2
B.32
cm2
C.36
cm2
D.50
cm2
【点拨】∵?ABCD的周长为36
cm，∴AB＋BC＝18
cm①.
∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4
cm，DF＝5
cm，∴4AB＝5BC②.
由①②得AB＝10
cm，BC＝8
cm，
∴?ABCD的面积为AB·DE＝10×4＝40(cm2)．
【答案】A
8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A.3
B.6
C.12
D.24
【点拨】本题运用了割补法，将分散的阴影部分通过割补转化为规则的几何图形，从而求出面积．
【答案】C
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.
求证：OE＝OF.
错解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC.∵OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
诊断：错解误认为已知E，O，F三点共线，从而得到∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个条件．
10．【2020·重庆A】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
11．【中考·本溪】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求?ABCD的周长．
12．如图，点O为?ABCD的对角线AC，BD的交点，∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，BD＝8，点E是OD上的一动点，点F是OB上的一动点(E，F不与端点重合)，且DE＝OF，连接AE，CF.
(1)求线段EF的长．
(2)若△OAE的面积为S1，△OCF的面积为S2，S1＋S2的值是否发生变化？若不变，求出这个定值；若变化，请说明随着DE的增大，S1＋S2的值是如何发生变化的．
解：S1＋S2的值不变．理由如下：连接AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC.
∴S△AOF＝S△COF.∵DE＝OF，
∴S△ADE＝S△AOF＝S△COF.
13．如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO.∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.(共19张PPT)
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第19章
四边形
19.3.2
菱形
第2课时
菱形性质的应用
4
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1．【中考·宁波】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．(1)求证：BG＝DE；
(2)若E为AD的中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
?
2．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.
(1)求证：△DCE≌△BCE；
(2)求证：∠AFD＝∠EBC；
证明：∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠EBC.
∵在菱形ABCD中，CD∥AB，
∴∠CDE＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠EBC.
(3)若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．
解：分两种情况：
①当F在AB的延长线上时，∵∠EBF为钝角，
∴只能是BE＝BF.设∠BEF＝∠BFE＝x°，
即90＋x＋x＋x＝180，解得x＝30，
∴∠EFB＝30°.
②当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE＝FB，设∠BEF＝∠EBF＝y°，则有∠AFD＝2y°.可证得∠AFD＝∠FDC＝∠CBF，即y＋2y＝90，解得y＝30，∴∠EFB＝120°.
综上，∠EFB的度数为120°或30°.
3．如图，在?ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得到△GFC．
(1)求证：BE＝DG；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD.
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移得到的，∴CG⊥BC，AE＝CG，∠AEB＝90°.
∴∠GCF＝90°.∴∠CGD＝∠GCF＝90°，
∴∠AEB＝∠CGD＝90°.
∵AE＝CG，AB＝CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL)．∴BE＝DG.
(2)若四边形ABFG是菱形，且∠B＝60°，求AB∶BC的值．
解：连接AF.由已知易得△ABF为等边三角形，
∵AE⊥BC，
4．如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE＋CF＝m.
(1)证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
(2)求△BEF面积的最小值．
(1)证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
(2)求△BEF面积的最小值．(共31张PPT)
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第19章
四边形
19.3.3
正方形
第1课时
正方形及其性质
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AC＝BD
D
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B
1．【中考·兰州】?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________，使得?ABCD为正方形．
AC＝BD
A
3．【中考·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( )
A．(6，3)
B．(3，6)
C．(0，6)
D．(6，6)
D
12
【答案】D
C
【答案】D
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，以斜边为一边向右上方作正方形ABDE，连接CD，则CD的长为________．
9．【中考·恩施州】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
12．【中考·天门】如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF，求证：
(1)AE⊥BF；(共13张PPT)
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阶段核心方法
判定平行四边形的四种常用方法
第19章
四边形
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5
1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．
求证：四边形FMEN为平行四边形．
证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，
∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，AF＝AC，∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，
即∠ABC＝∠DBE.
2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形．
4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
5．【中考·哈尔滨】如图①，在?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH.
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形．(四边形AGHD除外)(共28张PPT)
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第19章
四边形
19.1
多边形内角和
第1课时
多边形及其内角和
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见习题
1．下列图形中，属于多边形的是( )
A．线段
B．角
C．六边形
D．圆
C
2．下列图形中不是凸多边形的是( )
C
3．一个四边形截去一个角后，可以变成( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．以上都有可能
D
4．从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( )
A．4，3
B．3，3
C．3，4
D．4，4
C
5．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，观察探索凸十边形的对角线有( )
A．29条
B．32条
C．35条
D．38条
C
6．【中考·河北】下列图形为正多边形的是( )
D
7.如图，把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
8．【中考·枣庄】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE，图中∠BAC＝________度．
36
66
9．【中考·株洲】如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝________度．
10．【中考·广安】若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是( )
A．7
B．10
C．35
D．70
C
11．小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( )
B
12.【中考·铜仁】如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是( )
A．360°
B．540°
C．630°
D．720°
【答案】C
13．【中考·凉山州】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1
080°，那么原多边形的边数为( )
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或
【答案】D
14．有一根长为32
cm的铁丝，请你按下列要求，弯成一个长方形或正方形，并分别计算它们的面积：
(1)长为10
cm，宽为6
cm的长方形；
(2)长为9
cm，宽为7
cm的长方形；
(3)边长为8
cm的正方形．
你发现在长与宽的变化过程中，其面积有什么规律？根据这一规律，请将总长为100
m的篱笆围成一个面积尽可能大的长方形或正方形．
15．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．
16．【中考·河北】已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙两同学的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x的值．
17．【中考·河北】如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，求∠B的度数．(共28张PPT)
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第19章
四边形
19.2
平行四边形
第3课时
由边的关系判定平行四边形
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B
D
C
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见习题
C
C
C
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见习题
C
B
【答案】D
C
D
B
D
8．【中考·玉林】在四边形ABCD中：①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC．从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
B
9．点A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
C
【点拨】A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
C．不能判定四边形是平行四边形；
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
C
12．【中考·河北】嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
(1)在方框中填空，以补全已知和求证；
CD
平行
(2)按嘉淇的想法写出证明．
?
?
?
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为__________________________________________________.
平行四边形的两组对边分别相等
14．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
15．如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
