9.4矩形、菱形、正方形同步培优卷（Word版 含解析）

9.4矩形、菱形、正方形同步培优卷
1．如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　）
A．10° B．15° C．30° D．22.5°
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（　　）
A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5
3．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行
4．如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①DE平分∠AEC；②△ADE为等腰三角形；③AF＝AB；
④AE＝BE+EF．其中正确的结论有多少个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
6．如图，ABCD是正方形，E是边CD上（除端点外）任意一点，AM⊥BE于点M，CN⊥BE于点N，下列结论一定成立的有（　　）个．
①△ABM≌△BCN；②△BCN≌△CEN；③AM﹣CN＝MN；④M有可能是线段BE的中点．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的角平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝（　　）
A．2+ B．2﹣2 C．4﹣2 D．2+2
8．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC
9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
10．如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值为（　　）
A． B．2 C． D．
11．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．过点A作AG⊥BD于G，则BG等于　 　．
13．如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点．已知B（﹣3，3），D（0，1），当AD＝CE时，点E坐标为　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为　 　．
15．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为　 　．
16．矩形一个角的角平分线分矩形一边为1和3两部分，则这个矩形的面积为　 　．
17．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的纵坐标是　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP＝　 　．
19．已知矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交矩形的边于点E，若∠CAE＝10°，则∠AOB的度数为　 　．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝　 　．
21．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．
23．如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF∥AE，AF与CD相交于点G．
（1）如图1，当∠AEC＝120°，AE＝4时，求FG的长；
（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH＝AE，DH与AF、AE，分别交于点M、N，求证：AE＝AH+DG．
24．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
（1）若点F是AD的中点，求证：MD＝MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
25．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD，
（1）求证：AO＝EO；
（2）当△ABC满足什么条件时四边形ABED是正方形？请说明理由．
26．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．
（1）如图1，若PB＝a，AB＝3a，求线段MN的长度；
（2）用等式表示ME、EF、NF之间的数量关系并证明．
27．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°＝∠ADB，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝67.5°，
∴∠EDA＝∠BDE﹣∠ADB＝22.5°，
故选：D．
2．解：如图，当点M在BC上时，
∵△ABM′和△DCE全等，
∴BM＝CE，
由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，
所以t＝3.5（秒）；
当点M在AD上时，
∵△ABM″和△CDE全等，
∴AM″＝CE，
由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，
解得t＝6.5（秒）．
所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．
故选：D．
3．解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意；
B．因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意；
C．因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；
D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠FED＝∠CED，
∴DE平分∠AEC；
故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△AFD中，
，
∴△ABE≌△AFD（AAS），
∴AE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形；
故②正确；
∵△ABE≌△DFA，
∴不存在AF＝AB，
故③错误；
∵△ABE≌△DFA，
∴BE＝FA，
∴AE＝AF+EF＝BE+EF．
故④正确．
故正确的结论有①②④，三个．
故选：C．
5．解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；
∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，
∴∠AOE＝∠DOF；
在△AOE与△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF（设为λ）；
∴△EOF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
EF2＝OE2+OF2＝2λ2；
∴EF＝OE＝λ，
∵正方形ABCD的边长是4，
∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），
由题意可得：2≤λ≤2，
∴2≤EF≤4．
所以线段EF的最小值为2．
故选：D．
6．解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠NBC＝90°，
∵AM⊥BE于点M，CN⊥BE于点N，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，
∴∠NBC＝∠BAM，
∴△ABM≌△BCN；
故①正确；
②∵∠BCE＝∠CNE＝90°，∠CEN＝∠CEB，
∵CE≠BE，
∴△BCN∽△CEN，
故②不正确；
③∵△ABM≌△BCN，
∴AM＝BN，BM＝CN，
∴MN＝BN﹣BM＝AM﹣CN，
故③正确；
④当M是线段BE的中点时，E在点D处，而已知中E是边CD上（除端点外）任意一点，
所以M不可能是线段BE的中点．
故④不正确；
所以正确的有：①③2个，
故选：B．
7．解：如图，作FH∥BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，
∴AB＝BC＝OB＝2+．
故选：A．
8．解：A选项：若AB＝CD，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
B选项：当AD∥BC时，又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
C选项：当BC＝CD时，△ABC≌△ACD（SAS），
∴∠A＝∠C．
∵AB∥CD，
∴∠C+∠ABC＝180°．
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC．
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
D选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形．
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，
又∵AB＝AE，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
10．解：如图，连接ME，
∵MN垂直平分PE，
∴MP＝ME，
当MP∥BC时，四边形BCPM是矩形，
∴BC＝MP＝5，
∴ME＝5，
又∵AE＝3，
∴AM＝4＝DP，
∴t＝4÷2＝2（s），
故选：B．
11．解：在正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，
设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理x2+62＝（2x）2，
解得：x＝2（负值舍去），
∴AE＝4，
∵点F为AE的中点，
∴AF＝EF＝2，
分两种情况：
①过M作MG⊥BC，G为垂足，则MG＝DC＝AD，
在Rt△MGN和Rt△ADE中，
，
∴Rt△MGN≌Rt△ADE（HL），
∴∠NMG＝∠EAD，
∴∠NMG+∠AMF＝90°，
∴∠EAD+∠AMF＝90°，
∴∠AFM＝90°，
在Rt△AFM中，∠DAE＝30°，AF＝2，
设MF＝m，则AM＝2m，
由勾股定理，得
4m2﹣m2＝12，
解得m＝2（负值舍去），则AM＝4；
②如图，过N作NG⊥AD于G，过M作MH⊥AE于H，
则NG＝CD＝AD，
在Rt△ADE和Rt△NGM中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△NGM（HL），
∴∠GNM＝∠DAE＝30°，
∴∠GMN＝60°，
△AMF中，∠GMN＝∠MAF+∠AFM，
∴∠AFM＝∠DAE＝30°，
∴AM＝MF，
∵MH⊥AF，
∴AH＝FH，
设MH＝x，则AM＝2x，AH＝FH＝x，
∵F是AE的中点，
∴AE＝2AF＝4AH＝4x，
Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝AE＝2x，AD＝DE＝6x，
∵AD＝6，即6x＝6，
x＝1，即AM＝2x＝2；
故答案为：4或2．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝5，
由三角形的面积公式得，BD?AG＝AB?AD，
∴AG＝＝＝，
∴BG＝＝＝，
故答案为：．
13．解：如图，符合条件的点有两个，当点E在边AB和边OA上时，设为点E′和点E″，
∵B（﹣3，3），D（0，1），
∴AB＝OA＝3，OD＝1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，∠B＝∠AOD＝90°，
∵AD＝CE′＝CE″，
在Rt△BCE′和Rt△OAD中，
，
∴Rt△BCE′≌Rt△OAD（HL），
∴BE′＝OD＝1，
∴AE′＝AB﹣BE′＝2，
∴E′（﹣3，2）；
同理Rt△OCE′≌Rt△OAD（HL），
∴OE″＝OD＝1，
∴E′（﹣1，0）．
所以点E坐标为（﹣3，2）或（﹣1，0）．
故答案为：（﹣3，2）或（﹣1，0）．
14．解：当点P在AD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边AD中点，
∴PE＝AB＝2；
当点P在CD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边CD中点，
∴PE＝＝＝．
所以PE的长为：2或．
故答案为：2或．
15．解：如图，过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．
∵∠CFB＝45°
∴CH＝HF，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，
∴∠BAG＝∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，
∴△AGB≌△BHC（AAS），
∴AG＝BH，BG＝CH，
∵BH＝BG+GH，
∴BH＝HF+GH＝FG，
∴AG＝FG；
∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
∵BM＝5，
∴BG＝，GM＝2，
∴AG＝2，AB＝5，
∴HF＝，
∴CF＝×＝，
∴CM＝，
∵CK＝CM＝CF＝，
∴BK＝，
∵在△BKC和△CQD中，
∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD，
∴△BKC≌△CQD（AAS），
∴CQ＝BK＝，
DQ＝CK＝，
∴QF＝CQ﹣CF＝﹣＝，
∴DQ＝QF＝，
∴DF＝×＝．
故答案为．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
①如图，当AE＝3时，AB＝3，AD＝1+3＝4，
此时矩形的面积是：3×4＝12；
②同理可得，当AE＝1时，AB＝1，AD＝4，
此时矩形的面积是1×4＝4；
故答案为：4或12．
17．解：如图，
过点A作AD⊥x轴于点D，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，
则AF⊥CF，
延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CHO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB（AAS），
∴CF＝BE＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
18．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∠CBF＝∠CDP＝∠BCF+∠FCD＝90°，
又∵CF⊥CP，
∴∠DCP+∠FCD＝90°，
∴∠BCF＝∠DCP，
在△BCF和△DCP中，
∴△BCF≌△DCP（AAS），
∴BF＝DP，
∵AC＝3，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴2AB2＝AC2＝32＝9
∴AB＝，
∴AD＝，
∵3DP＝AB，
∴DP＝，
∴BF＝DP＝，
∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝，
AP＝AD+DP＝+＝2，
在Rt△AFP中，
FP＝＝＝．
故答案为：．
19．解：由题得，画出如下示意图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB＝OD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝10°，
由图（1）得：∠BAO＝∠BAE+∠EAC＝45°+10°＝55°，
又∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
由图（2）得：∠DAO＝∠DAE+∠EAC＝45°+10°＝55°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝55°，
∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝110°，
综上所述：∠AOB的值为：70°、110°，
故答案为：70°、110°．
20．解：∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3＝BC，
∴Rt△ACD中，AC＝＝5，
又∵AQ＝AD＝3，AD∥CP，
∴CQ＝5﹣3＝2，∠CQP＝∠AQD＝∠ADQ＝∠CPQ，
∴CP＝CQ＝2，
∴BP＝3﹣2＝1，
∴Rt△ABP中，AP＝＝＝，
故答案为：．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DO＝BO，
∴∠EDO＝∠FBO，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得：，
∴，
∴四边形BFDE的周长＝．
22．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴CE＝AE，
过点E用EH垂直于AC于点H，
∴CH＝AH
∵AC＝6，
∴CE＝2
答：CE的长为2；
（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，
AF＝AF，CF＝GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∴四边形CEGF是菱形
23．解：（1）∵∠AEC＝120°，
∴∠AEB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴∠BAE＝30°，∠DAE＝∠AEB＝60°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF＝30°，
Rt△ABE中，AE＝4，∠BAE＝30°，
∴BE＝2，AB＝AD＝2，
Rt△ADG中，∠DAG＝30°，
∴DG＝2，
∵DF∥AE，
∴∠F＝∠EAF＝30°，
∵∠AGD＝60°，
∴∠GDF＝∠F＝30°，
∴GF＝DG＝2；
（2）由（1）知：∠F＝∠DAF，
∴AD＝DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠B＝90°，
∵AE＝DH，
∴Rt△DAH≌Rt△ABE（HL），
∴∠BAE＝∠ADH，
∵∠BAE+∠DAE＝∠ADH+∠DAE＝90°，
∴∠AND＝90°，
∵DF∥AE，
∴∠HDF＝∠HNE＝90°，
∴∠MDG+∠GDF＝∠ADM+∠MDG＝90°，
∴∠ADM＝∠GDF，
∴△ADM≌△FDG（ASA），
∴DM＝DG，
∴∠DMG＝∠DGM，
∵AH∥DG，
∴∠HAM＝∠DGM，
∵∠AMH＝∠DMG，
∴∠HAM＝∠AMH，
∴AH＝HM，
∴DH＝HM+DM＝AH+DG＝AE．
24．解：（1）如图，取AD的中点F，连接FM．
∵∠FDM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠FDM＝∠BMN，
∵AF＝AD＝AB＝AM＝MB＝DF，
∵BN平分∠CBE，即∠NBE＝∠CBE＝45°，
又∵AM＝AF，
∴∠AFM＝45°，
∴∠DFM＝∠MBN＝135°．
∵DF＝MB，
在△DFM和△MBN中
，
∴△DFM≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．
（2）结论“DM＝MN”仍成立．
证明如下：如图，在AD上截取AF'＝AM，连接F'M．
∵DF'＝AD﹣AF'，MB＝AB﹣AM，AD＝AB，AF'＝AM，
∴DF'＝MB．
∵∠F'DM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠F'DM＝∠BMN．
又∠DF'M＝∠MBN＝135°，
在△DF'M和△MBN中
，
∴△DF'M≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．
25．解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
又∵AE⊥BD，
∴BO＝DO，
又∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD≌△EOB，
∴AO＝EO；
（2）当△ABC满足∠ABC＝90°时，四边形AECD是正方形．理由：
∵△AOD≌△EOB，
∴AD＝BE，
又∵AD∥BE，AE⊥BD，
∴四边形ABED是菱形，
∴当∠ABC＝90°时，菱形ABED是正方形，
即当△ABC满足∠ABC＝90°时，四边形AECD是正方形．
26．解：（1）如图所示，过N作NG⊥AB，交AB于点G． 则四边形AGND是矩形，所以NG＝AD＝AB＝3a，
∵MN⊥AP∴∠MNG＝∠PAB 且∠PBA＝∠NGMAB＝NG∴△ABP≌△NGM
∴MN＝AP＝＝
（2）如图所示，过P作PH∥AB，过F作ST∥AB，连接AF，PF
∵NM垂直平分AP，则AE＝PE，∠AEM＝∠PEH＝90°，
∵PH∥AB∴∠PHE＝∠MEA，∠HPE＝∠MAE
∴△AME≌△PHE
∴ME＝HE
∠TDF＝∠FBP＝45°
∴TD＝TF，FS＝BS
∵BS＝AT＝FS
∵点F在线段AP的垂直平分线上，
∴FP＝FA
∴Rt△FPS≌Rt△ATF
∴PS＝TF＝TD＝SC＝PS
∵PH∥TS∥CD
∴HF＝FN
∴ME+NF＝EF
27．（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，
∴∠GAD＝∠EAB，
在△GAD和△EAB中，
∴△GAD≌△EAB，
∴EB＝GD；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝5，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝，
∵AG＝2，
∴OG＝OA+AG＝，
由勾股定理得，GD＝＝，
∴EB＝．