9.4矩形、菱形、正方形尖子生训练卷（Word版 含解析）

9.4矩形、菱形、正方形尖子生训练卷
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形
2．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF等于（　　）
A． B． C． D．
3．如图，正方形ABCD的面积为16cm2，△AEF为等腰直角三角形，∠E＝90°，AE和BC交于点G，AF和CD交于点H，则△CGH的周长（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则OE的长度是（　　）
A． B．5 C．3 D．
5．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论：
①BE⊥CF；②AP＝a；③CP＝a
则上述结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，AB⊥AF，EF⊥AF，BE与AF交于点C，点D是BC的中点，∠AEB＝2∠B．若BC＝8，EF＝，则AF的长是（　　）
A． B． C．3 D．5
7．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
8．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，
④CF＝BD＝2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
9．如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若AO＝，AB＝4，则EF＝　 　．
10．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为　 　．
11．如图，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，分别以CD，DE为边在Rt△CDE外部作正方形ABCD和正方形DEFG，若S△ADG＝，S正方形ABCD＝6，则S正方形DEFG＝　 　．
12．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一动点P，作PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP＝，则BN的长为　 　．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，CE＝3，若点F在正方形的某一边上，满足CF＝BE，且CF与BE的交点为M，则CM＝　 　．
14．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，当点F是CD的中点时，若AB＝4，则BC＝　 　．
16．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠AEB＝　 　．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为　 　．
18．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②△ABE≌△AHD；③BH＝FH；④AB＝HF；⑤BC﹣CF＝2HE．其中正确的有　 　
19．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°
（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝　 　；
（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝　 　．
20．如图，在正方形ABCD中，点E是BD上一点，连接AE，过点C作CF∥AE，交BD于点F，连接AF．CE．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形；
（3）填空：若AB＝4，DE＝3，则菱形AECF的面积是　 　．
21．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
22．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，E是AD边上的动点，作∠BEF＝60°交CD于点F，在AB上取点G使AG＝AE，连接EG．
（1）求∠EGB的度数；
（2）求证：EF＝BE；
（3）若P是EF的中点，当AE为何值时，△EGP是等腰三角形．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）AF垂直平分线线段BO于点F，AC＝12，求BC的长．
24．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE＝AD，作DF⊥AE于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）连BF并延长交DE于G．
①求证：EG＝DG；
②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．
25．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，点E，F分别是垂足．
（1）求证：AP＝PC；
（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求PC的长．
26．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
参考答案
1．解：①由矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知，A正确；
②由菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知，B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④在平行四边形ABCD中，
∵∠DAB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，而不能判定其是正方形，故D错误；
故选：D．
2．解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：C．
3．解：延长CB至M，使BM＝DH，连接AM；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的面积为16cm2，
∴AB＝BC＝CD＝4cm，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝90°，
在△ABM和△ADH中，
，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AM＝AH，∠BAM＝∠DAH，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠HAG＝45°，
∴∠BAG+∠DAH＝45°，
∴∠MAG＝45°，
在△AMG和△AHG中，
，
∴△AMG≌△AHG（SAS），
∴GM＝GH，
∴△CGH的周长＝GH+CG+CH＝GM+CG+CH
＝BM+BG+CG+CH＝DH+BG+CG+CH＝BC+CD＝8．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝5，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：3，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝67.5°，
∴∠ODC＝∠OCD＝67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝45°，
∴OE＝DE，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（2DE）2＝OD2＝25，
∴DE＝，
故选：D．
5．解：在△CDF和△BCE中
∴△CDF≌△BCE（SAS）
∴∠CEB＝∠CFD
∵∠DCF+∠CFD＝90°
∴∠DCF+∠CEB＝90°
∴∠EPC＝90°
∴①正确；
如图延长CF交BA延长线于点M，
在△CFD和△MFA中
∴△CFD≌△MFA（ASA）
∴CD＝MA＝AB＝a，
∵BP⊥CF
∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即AP＝BM＝×2a＝a，
∴②正确；
∵CP⊥BE
∴CP×BE＝CE×BC＝
∵BE＝＝＝
∴CP＝＝＝
∴③正确
故选：D．
6．解：∵AB⊥AF，
∴∠FAB＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠DAB＝∠B，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∵∠AEB＝2∠B，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵BC＝8，
∴AE＝AD＝4，
∵EF＝，EF⊥AF，
∴AF＝＝＝3，
故选：C．
7．解：
连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故选：C．
8．解：①∵EF＝2，
∴OE＝4，
∵AO＝AB＝6，
∴AE＝AO+OE＝6+4＝10，故正确；
②∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；
③作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝2，
∴△COF的面积S△COF＝×6×2＝6，故正确；
④作DH⊥AB于H，
CF＝＝2，
BH＝6﹣2＝4，
DH＝6+2＝8，
BD＝＝4，故错误．
故选：A．
9．解：连接DF，
∵EF为矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线，AO＝，
∴BD＝2DO＝2AO＝，BF＝DF，∠DOF＝90°，
∴DO＝，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴BD2＝BC2+CD2，
即，
解得BC＝6，
∵DF2＝CF2+CD2，
∴DF2＝（6﹣DF）2+42，
解得DF＝，
∵EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，∠EOD＝∠BOF＝∠DOF＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴OE＝OF＝EF，
在Rt△DOF中，DF2＝OF2+OD2，
∴OF2+（）2＝（）2，
解得OF＝，
∴EF＝．
故答案为．
10．解：如图所示，连接BF，CD，
∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ADB，
又∵∠AHC＝∠OHD，
∴∠CAH＝∠DOH＝90°，
∴CF⊥BD，
∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，
∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
即BC2+DF2＝BF2+DC2，
又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，
∴BF2+DC2＝8+32＝40，
∴BC2+DF2＝40，
故答案为：40．
11．解：如图所示，过G作GH⊥AD，交AD的延长线于H，则∠H＝90°，
又∵∠DCE＝90°，
∴∠H＝∠DCE，
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠ADC＝∠CDH＝∠EDG＝90°，DG＝DE，
∴∠GDH＝∠EDC，
∴△DGH≌△DEC（AAS），
∴GH＝CE，
∵S正方形ABCD＝6，
∴CD＝，
∵S△ADG＝，
∴AD×GH＝，
又∵AD＝CD，
∴CD×CE＝，即×CE＝，
∴CE＝2，
∴Rt△CDE中，DE＝＝＝，
∴S正方形DEFG＝DE2＝10，
故答案为：10．
12．解：延长NP交AB于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC＝90°，AB∥CD，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP＝∠HPA＝45°，
∴AH＝PH，
设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，
在Rt△PBH中，PB2＝PH2+BH2，
∴，
解得x＝1或2，
当x＝1时，BH＝CN＝2，在Rt△BCN中，；
当x＝2时，BH＝CN＝1，在Rt△BCN中，．
故答案为或．
13．解：分两种情况：
①如图1所示，当点F在AD上时，
由CF＝BE，CD＝BC，∠BCE＝∠CDF＝90°可得，Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），
∴∠DCF＝∠CBE，
又∵∠BCF+∠DCF＝90°，
∴∠BCF+∠CBE＝90°，
∴∠BMC＝90°，即CF⊥BE，
∵BC＝4，CE＝3，∠BCE＝90°，
∴BE＝5，
∴CM＝＝；
②如图2所示，当点F在AB上时，
同理可得，Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），
∴BF＝CE，
又∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵∠BCE＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CM＝BE＝×5＝．
故答案为：或．
14．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
故答案为16
15．解：如图，连接BF，作FH⊥BE于H．作FM∥BE交BC于M．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠D＝∠C＝∠ABC＝90°，
∵F是CD中点，
∴DF＝FC＝2，
∵EF平分∠BED，FH⊥EB，FD⊥ED，
∴FH＝FD＝FC，
∵BF＝BF，
∴Rt△BFH≌Rt△BFC，
∴∠FBC＝∠FBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝45°，
∴∠FBC＝∠FBH＝22.5°，
∵FM∥BE，
∴∠FMC＝∠EBC＝45°，
∵∠FMC＝∠FBM+∠MFB，
∴∠MFB＝∠MBF＝22.5°，
∴FM＝BM，
∵∠FMC＝∠CFM＝45°，CF＝2，
∴FM＝BM＝2，
∴BC＝BM+CM＝2+2．
故答案为2+2．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD＝DE；∠ADE＝90°+60°＝150°，
∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
同理可得∠CEB＝15°，
∴∠AEB＝∠DEC﹣∠DEA﹣∠CEB＝30°．
故答案为：30°．
17．解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴GF＝BG＝5，则AF＝13﹣5＝8，AC＝2×5＝10，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即82+CF2＝102，
解得：CF＝6．
故答案是：6．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAH＝45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，AD＝AH，
∵AD＝AB＝AH，
∴AD＝AE，AB＝AH＝DH＝DC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝∠CED，
∴①正确；
在△ABE和△AHD中，，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；
∴BE＝DH，
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠OHE＝∠AHB＝67.5°，
∴∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，故③正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④错误；
过H作HK⊥BC于K，
可知KC＝BC，HK＝KE，
由上知HE＝EC，
∴BC＝KE十EC，
又KE＝HK＝FC，HE＝EC，
故BC＝HK+HE，BC＝2HK+2HE＝FC+2HE
∴⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
19．解：（1）如图甲所示：
∵EA＝EF，
∴△AEF是等腰直角形，∠EAF＝∠EFA，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EFA＝45°，
又∵在△AEF中，∠EAF+∠EFA+∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
又∵△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，
∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△ABE和△ECF中
，
∴△ABE≌△ECF（AAS）
∴AB＝EC，BE＝CF，
又∵AB＝3，BC＝4，
∴EC＝3，CF＝1，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
＝＝
故答案为．
（2）如图乙所示：
作DM＝DF，BN＝BE，分别交AD，AB于点M和点N，设MD＝x，
∵四边形ABCDA是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴∠BNE＝45°，∠DMF＝90°，
又∵∠BNE+∠ENA＝180°，∠FMD+∠FMA＝180°，
∴∠ENA＝135°，∠FMA＝135°，
又∵∠EAF＝45°，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠FAD＝90°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∵∠BAE+∠NEA＝45°，
在△ANE和△FMA中
，
∴△ANE∽△FMA（AA）
∴；
又∵MD＝x，∴DF＝x，
∵CE＝CF，AB＝3，BC＝4，
∴FC＝EC＝3﹣x，BE＝AB＝x+1，AN＝2﹣x，
∴，
解得：2﹣4，或﹣2﹣4（舍去），
∴FC＝3﹣（）＝7﹣2，
∴EF＝FC＝（7﹣2）＝7﹣4．
故答案为7﹣4．
20．解：连接AC交BD于点O，如图所示：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠CBE＝∠CDF，
又∵CF∥AE，
∴∠AEF＝∠CFE，
又∵∠AEF+∠AEB＝180°，∠CFE+∠CFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△AEB≌△CFD（AAS）；
（2）∵△AEB≌△CFD，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
在△ABE和△CBE中
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴AE＝EC，
∴?AECF是菱形；
（3）∵AB＝4，AB＝BC＝CD，
∴在Rt△BCD中，由勾股定理得，
BD＝＝＝，
又∵BD＝BE+ED，DE＝3，
∴BE＝
又∵BE＝DF，
∴DF＝，EF＝，
又∵AC＝BD，
∴AC＝4，
∴＝＝8
故答案为8．
21．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
22．（1）解：∵∠A＝60°，AG＝AE，
∴△AGE是等边三角形，
∴∠AGE＝60°，
∴∠EGB＝120°；
（2）证明：由（1）知，∠EGB＝120°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝AD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠D＝120°，
∴∠DEF+∠DFE＝60°，
∴∠D＝∠EGB，
∵△AGE是等边三角形，
∴AE＝AG，∠AEG＝60°，
∴DE＝GB，
∵∠BEF＝60°，
∴∠DEF+∠GEB＝60°，
∴∠DFE＝∠GEB，
∴△DFE≌△GEB（ASA），
∴EF＝BE；
（3）解：∵△DFE≌△GEB，
∴DF＝GE，
当EG＝EP时，过E作EM⊥AB 垂足为M，
设AE＝x，
∵△AGE是等边三角形，
∴AM＝x，EM＝x，
∴BM＝4﹣x，
∵P为EF的中点，
∴EF＝2EP，
由（2）知EF＝BE，
∴EB＝2EG＝2AE＝2x，
在Rt△EBM中，EM2+BM2＝EB2，
即（x）2+（4﹣x）2＝（2x）2，
解得，（舍去），
即AE＝；
当EG＝GP时，过G作GQ⊥EF，垂足为Q，过B作BH⊥CD垂足为H，连接BF，设AE＝x，
∵△AGE是等边三角形，
∴EG＝x，
∵EF＝EB，∠BEF＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠EFB＝∠BEF＝60°，EF＝BF，
∵△BEG≌△EFD，
∴∠BEG＝∠EFD，DF＝EG，
∴∠GEQ＝∠BFH，CF＝4﹣x，
∵∠EQG＝∠FHB＝90°，
∴△EGQ∽△FBH，
∴EG：BF＝EQ：FH，
设△BEF的边长为a，
则BF＝EF＝a，
∵P为EF的中点，
∴EP＝a，
∵EG＝GP＝x，
∴EQ＝EP＝a，
在Rt△BCH中，BC＝AB＝4，∠C＝∠A＝60°，
∴CH＝2，
∴BH＝，
∴HF＝2﹣（4﹣x）＝x﹣2，
∵BF2＝BH2+HF2，
∴a2＝（）2+（x﹣2）2，
∵EG：BF＝EQ：FH，
∴，
即a2＝4x2﹣8x，
∴
解得，（舍去），
即AE＝；
当EP＝GP时，点P在EG的中垂线上，即P点AC上，
而运动期间P不可能位于线段AC上，
∴P在AC上不存在，
综上，AE＝或；
即当AE为或时，△EGP是等腰三角形．
23．证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝CO＝DO＝BO，
∴四边形OCED为菱形．
（2）过O作OE⊥BC，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OB，
∵AF垂直平分线线段BO于点F，
∴AB＝AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠OBE＝30°，∠OEB＝90°，
∴BE＝，
∴BC＝6．
24．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABE＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝EB，
∵DF⊥AC
∴∠AFD＝90°，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∵AE＝AD，
∴△ABE≌△AFD（AAS），
∴AB＝AF；
（2）①证明：∵AE＝AD，∠EAD＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝67.5°，
∴∠FDG＝22.5°，
∵AB＝AF，∠BAF＝45°，
∴∠AFB＝67.5°，
∴∠EFG＝67.5°，
∴∠EFG＝∠AED，
∴FG＝EG，∠DFG＝22.5°，
∴∠DFG＝∠FDG，
∴FG＝DG，
∴EG＝DG；
②解：∵EG＝1，
∴ED＝2，
设AB＝x，则AE＝，DF＝AF＝x，
∴EF＝﹣x，
∴（﹣x）2+x2＝22，
解得x2＝，
∴矩形ABCD的面积＝＝．
25．（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF＝PC，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP；
（2）解：∵由（1）知△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP＝60°，
∴∠PCE＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠PDE＝45°，
∵PE⊥CD，
∴DE＝PE，
∵PD＝，
∴PE＝1，
∴PC＝2PE＝2．
26．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．