18.1平行四边形 同步训练题（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 18.1平行四边形 同步训练题（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 424.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-27 13:42:55 | ||
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文档简介
18.1平行四边形 同步训练题
1．已知在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝5，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜4 B．1＜MN≤4 C．2＜MN＜8 D．2＜MN≤8
2．如图，?ABCD的周长为16cm，AB≠AD，AC和BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长是（ ）
A．10cm B．8m C．6m D．4cm
3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
4．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CF⊥AD于点F，AC＝5，AB＝13，则EF的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
6．平行四边形ABCD的一边长为10，则它的两条对角线长可以是（ ）
A．10和12 B．12和32 C．6和8 D．8和10
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AB＝2BC，BM＝1，AM＝2，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BF＝BE＝8，过点C作CE的垂线交BE于点G，若CE恰好平分∠BEF，则BG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
11．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ ．
12．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为 ．
13．平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线将AD边分成的两部分的长分别为2和3，则平行四边形ABCD的周长是
．
14．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，同时，点F在DE上，且∠AFB＝90°，已知AB＝5，BC＝8，那么EF的长为 ．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，若AC＝6，BC＝8，则MN＝ ．
16．已知A（1，1），B（4，3），C（6，﹣2），在平面直角坐标找一点D，使以A、B、C、D四点的四边形为平行四边形，则D点的坐标是 ．
17．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝1，则AB的长是 ．
18．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于G，AB＝6，则AG＝ ．
19．如图，△ABC中，AB＝7，AC＝11，AD平分∠BAC，BD⊥AD，E是BC的中点，那么DE＝
20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝
21．如图，在?ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
22．证明：（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE、CD为邻边作?CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G．连接BG、DE．
①∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由．
②求证：△BCG≌△DCE．
（2）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
①试说明AC＝EF；
②求证：四边形ADFE是平行四边形．
23．如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别在AD，BC上，AN和BM交于点E，CM和DN交于点F，连接EF．
（1）当M，N分别为AD，BC的中点时，试判断四边形MENF的形状，并说明理由；
（2）试探求：
①当AM，BN满足什么条件时，一定有EFAD？并说明理由；
②当AM，BN满足什么条件时，一定有四边形MENF为平行四边形？并说明理由．
24．如图，平行四边形ADBC中，∠C＝60°，AC＝BC，点E、F分别在BC、AC上，BE＝CF，AE＝BF交于点G．
（1）求∠EGB的度数；
（2）连接DG，求证：DG＝AG+BG．
25．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE＝EC，过点E作GH⊥AD分别交AC和AD、AB的延长线于点H、F、G．求证：AC﹣AB＝2BG．
26．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K，H．求证：∠BKE＝∠CHE．
27．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
参考答案
1．解：连接BD，过M作MG∥AB交BD于G，连接NG．如图所示：
∵M是边AD的中点，AB＝3，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，
∴BG＝GD，MG＝AB＝，
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝5，
∴NG是△BCD的中位线，
∴NG＝CD＝，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，
即＜MN＜，
∴1＜MN＜4，
当MN＝MG+NG，即MN＝4时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是1＜MN≤4．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
又∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE，
∴AE+ED＝AE+BE，
∵?ABCD的周长为16cm，
∴AB+AD＝8cm，
∴△ABE的周长＝AB+AD＝AB+AE+BE＝8cm，
故选：B．
3．解：如图，连接AC与BD相交于O，
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
D、由∠BAE＝∠DCF，从而推出△DFC≌△BEA，然后得出∠DFC＝∠BEA，∴∠CFE＝∠AEF，∴FC∥AE，由全等可知FC＝AE，所以四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：B．
4．解：延长CF交AB于G，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
在△AGF和△ACF中，，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝5，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝13﹣5＝8．
又∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝4．
故选：D．
5．解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE＝DE，
在△AEB和△KED中，，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，
∴EG＝BC，
又FG为△ACD的中位线，
∴FG＝AD，
∴EG+GF＝（AD+BC），
∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，
∴EG+GF＝6，FE＝3，
∴△EFG的周长是6+3＝9．
故选：B．
6．解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
A、∵AC＝10，BD＝12，
∴OA＝5，OD＝6，
∵6﹣5＜10＜6+5，
∴此时能组成三角形，故本选项符合题意；
B、∵AC＝12，BD＝32，
∴OA＝6，OD＝16，
∵16﹣6＝10，
∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵AC＝6，BD＝8，
∴OA＝3，OD＝4，
∵3+4＜10，
∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、∵AC＝8，BD＝10，
∴OA＝4，OD＝5，
∵4+5＜10，
∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．解：∵M为CD中点，
∴CM＝DM＝CD＝AB＝BC＝AD，
∴∠DAM＝∠DMA，∠CBM＝∠CMB，
∵∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝2∠DMA，∠D＝2∠CMB
∴∠DMA+∠CMB＝（∠C+∠D）＝90°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠DMA+∠CMB）＝90°，
即△MAB为直角三角形，
∵BM＝1，AM＝2，
∴CD＝AB＝，
故选：D．
8．解：如图，延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP∥EF交BC于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，
∵BF＝BE＝8，
∴CF＝BF﹣BC＝2，
∵CE平分∠BEF，
∴∠GEC＝∠HEC，
∵CE⊥GC，
∴∠ECG＝∠ECH＝90°，
在△ECG和△ECH中，
，
∴△ECG≌△ECH（ASA），
∴CG＝CH，
∵GP∥EF，
∴∠PGC＝∠FHC，
在△PCG和△FCH中，
，
∴△PCG≌△FCH（ASA），
∴CP＝CF＝2，
∴BP＝BF﹣PF＝8﹣4＝4，
∵BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵GP∥EF，
∴∠BGP＝∠BEF，∠BPG＝∠BFE，
∴∠BGP＝∠BPG，
∴BG＝BP＝4．
故选：C．
9．解：根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
10．解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF?DG＝××4＝2．
故答案为：2．
11．解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠BEC，
∴CB＝CE．
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF＝AE，
∵AE＝4，
∴GF＝2．
故答案为2．
12．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝．
故答案是：．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵∠ABC的平分线分对边AD为2和3两部分，
如果AE＝2，则四边形周长为14；
如果AE＝3，则AB＝AC＝3，AD＝BC＝5，
∴?ABCD的周长为16；
∴?ABCD的周长为14或16．
故答案为：14或16．
14．解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，
∴DF＝AB＝2.5，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2.5＝1.5．
故答案为：1.5．
15．解：延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
在△BMC和△BMG中，
，
∴△BMC≌△BMG，
∴BG＝BC＝8，CM＝MG，
∴AG＝2，
同理，AH＝AC＝6，CN＝NH，
∴GH＝4，
∴MN＝GH＝2，
故答案为：2．
16．解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴可以分以下三种情况分别求出D点的坐标：
①当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（9，0）；
②当AD∥BC，AC∥BD时，D点的坐标为（﹣1，6）；
③当AB∥CD，AD∥BC时，D点的坐标为（3，﹣4）．
故D点坐标为（9，0）或（﹣1，6）或（3，﹣4）；
故答案为：（9，0）或（﹣1，6）或（3，﹣4）．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF＝2，
∴AB＝1；
故答案为：1．
18．解：过E作EM∥AB与GC交于点M，
∴△EMF≌△DGF，
∴EM＝GD，
∵DE是中位线，
∴CE＝AC，
又∵EM∥AG，
∴△CME∽△CGA，
∴EM：AG＝CE：AC＝1：2，
又∵EM＝GD，
∴AG：GD＝2：1．
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴AG＝，
故答案为：2
19．解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝7，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝4，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴DE＝CH＝2，
故答案为：2．
20．解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，
综上所述，t＝或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或
21．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠BAE＝50°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝75°．
22．证明：（1）①∠ACB＝∠GCD．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CG∥AB，
∴∠ABC＝∠GCD，
∴∠ACB＝∠GCD；
②∵四边形CDFE是平行四边形，
∴∠CEG＝∠ACB，∠CGE＝∠GCD，
∴∠CEG＝∠CGE，
∴CE＝CG，
∵∠ACB+∠ECG＝∠ECG+∠GCD，
即∠BCG＝∠ECD，
在△BCG和△DCE中，
∵，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；
（2）①∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF＝30°
∴AE＝2AF，且AB＝2AF，
∴AF＝CB，
而∠ACB＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
②由①知道AC＝EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°
∴EF＝AC＝AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
23．（1）解：四边形MENF是平行四边形．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∵M，N分别为AD，BC的中点，
∴AM＝AD，CN＝BC，
∴AM＝CN，
又∵AD∥BC，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AN∥CM，
同理可得BM∥DN，
∴四边形MENF是平行四边形；
（2）解：①当AM＝BN时，一定有EFAD．
理由如下：∵AM＝BN，
∴DM＝NC，
在△AEM和△NEB中
∵，
∴△AEM≌△NEB（ASA），
∴ME＝BE，
同理可得出：DF＝NF，
∴EF是△AND的中位线，
∴EFAD；
②当AM+BN＝AD时，四边形MENF为平行四边形．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∵AM+BN＝AD，BN+CN＝BC，
∴AM＝CN，
又∵AD∥BC，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AN∥CM，
同理可得BM∥DN，
∴四边形MENF是平行四边形．
24．（1）解：∠C＝60°，AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠FBC，
∴∠BGE＝∠ABG+∠BAE＝∠ABG+∠FBC＝∠ABC＝60°；
（2）证明：延长GE至点H，使GH＝GB，如图，
∵∠BGE＝60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°，
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵∠ABH＝∠GBH+∠ABG，∠DBG＝∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH＝∠DBG，
∵在△DBG和△ABH中，
，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG＝AH，
而AH＝AG+GH，
∴DG＝AG+BG．
25．证明：作EM∥AG，BN∥AC，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
∵GH⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFH，
在△AGF与△AHF中，
，
∴△AGF≌△AHF（ASA），
∴AG＝AH，∠G＝∠AHF，
∵EM∥AG，BE＝EC，
∴AM＝MC，∠G＝∠MEH，
∴∠MEH＝∠AHF，
∴EM＝HM，
∵EM是△ABC的中位线，
∴EM＝AB，
∴HM＝AB，
∵MC﹣MH＝HC，
∴AC﹣AB＝HC，
∴AC﹣AB＝2HC，
∵BN∥AC，
∴∠NBE＝∠ECH，∠BNG＝∠AHG，
在△BEN与△CEH中，
，
∴△BEN≌△CEH（AAS），
∴BN＝CH，
∵∠BNG＝∠AHG，
∴∠G＝∠BNG，
∴BG＝BN，
∴BG＝CH，
∴AC﹣AB＝2BG．
26．证明：连接BD，取BD的中点I，连接IE，IF，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴IE，IF分别是△ABD，△BDC的中位线，
∴IE∥CD，IE＝CD，IF∥AB，IF＝AB，
∵AB＝CD，
∴IE＝IF，
∵IE∥CD，IF∥AB，
∴∠IFE＝∠BKE，∠IEF＝∠CHE，
∵IF＝IE，
∴∠IFE＝∠IEF，
∴∠BKE＝∠CHE．
27．解：（1）证明：延长BD交AC于E，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
在△BAD和△EAD中，
，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴AB＝AE，BD＝DE，
∵M为BC的中点，
∴DM＝CE＝（AC﹣AB）；
（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，
∴由勾股定理得：AE＝AB＝＝10，
∵DM＝2，DM＝CE，
∴CE＝4，
∴AC＝10+4＝14．
1．已知在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝5，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜4 B．1＜MN≤4 C．2＜MN＜8 D．2＜MN≤8
2．如图，?ABCD的周长为16cm，AB≠AD，AC和BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长是（ ）
A．10cm B．8m C．6m D．4cm
3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
4．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CF⊥AD于点F，AC＝5，AB＝13，则EF的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
6．平行四边形ABCD的一边长为10，则它的两条对角线长可以是（ ）
A．10和12 B．12和32 C．6和8 D．8和10
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AB＝2BC，BM＝1，AM＝2，则CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BF＝BE＝8，过点C作CE的垂线交BE于点G，若CE恰好平分∠BEF，则BG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
11．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ ．
12．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为 ．
13．平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线将AD边分成的两部分的长分别为2和3，则平行四边形ABCD的周长是
．
14．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，同时，点F在DE上，且∠AFB＝90°，已知AB＝5，BC＝8，那么EF的长为 ．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，若AC＝6，BC＝8，则MN＝ ．
16．已知A（1，1），B（4，3），C（6，﹣2），在平面直角坐标找一点D，使以A、B、C、D四点的四边形为平行四边形，则D点的坐标是 ．
17．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝1，则AB的长是 ．
18．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于G，AB＝6，则AG＝ ．
19．如图，△ABC中，AB＝7，AC＝11，AD平分∠BAC，BD⊥AD，E是BC的中点，那么DE＝
20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝
21．如图，在?ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
22．证明：（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE、CD为邻边作?CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G．连接BG、DE．
①∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由．
②求证：△BCG≌△DCE．
（2）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
①试说明AC＝EF；
②求证：四边形ADFE是平行四边形．
23．如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别在AD，BC上，AN和BM交于点E，CM和DN交于点F，连接EF．
（1）当M，N分别为AD，BC的中点时，试判断四边形MENF的形状，并说明理由；
（2）试探求：
①当AM，BN满足什么条件时，一定有EFAD？并说明理由；
②当AM，BN满足什么条件时，一定有四边形MENF为平行四边形？并说明理由．
24．如图，平行四边形ADBC中，∠C＝60°，AC＝BC，点E、F分别在BC、AC上，BE＝CF，AE＝BF交于点G．
（1）求∠EGB的度数；
（2）连接DG，求证：DG＝AG+BG．
25．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE＝EC，过点E作GH⊥AD分别交AC和AD、AB的延长线于点H、F、G．求证：AC﹣AB＝2BG．
26．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K，H．求证：∠BKE＝∠CHE．
27．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
参考答案
1．解：连接BD，过M作MG∥AB交BD于G，连接NG．如图所示：
∵M是边AD的中点，AB＝3，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，
∴BG＝GD，MG＝AB＝，
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝5，
∴NG是△BCD的中位线，
∴NG＝CD＝，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，
即＜MN＜，
∴1＜MN＜4，
当MN＝MG+NG，即MN＝4时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是1＜MN≤4．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
又∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE，
∴AE+ED＝AE+BE，
∵?ABCD的周长为16cm，
∴AB+AD＝8cm，
∴△ABE的周长＝AB+AD＝AB+AE+BE＝8cm，
故选：B．
3．解：如图，连接AC与BD相交于O，
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
D、由∠BAE＝∠DCF，从而推出△DFC≌△BEA，然后得出∠DFC＝∠BEA，∴∠CFE＝∠AEF，∴FC∥AE，由全等可知FC＝AE，所以四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：B．
4．解：延长CF交AB于G，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
在△AGF和△ACF中，，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝5，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝13﹣5＝8．
又∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝4．
故选：D．
5．解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE＝DE，
在△AEB和△KED中，，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，
∴EG＝BC，
又FG为△ACD的中位线，
∴FG＝AD，
∴EG+GF＝（AD+BC），
∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，
∴EG+GF＝6，FE＝3，
∴△EFG的周长是6+3＝9．
故选：B．
6．解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
A、∵AC＝10，BD＝12，
∴OA＝5，OD＝6，
∵6﹣5＜10＜6+5，
∴此时能组成三角形，故本选项符合题意；
B、∵AC＝12，BD＝32，
∴OA＝6，OD＝16，
∵16﹣6＝10，
∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵AC＝6，BD＝8，
∴OA＝3，OD＝4，
∵3+4＜10，
∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、∵AC＝8，BD＝10，
∴OA＝4，OD＝5，
∵4+5＜10，
∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．解：∵M为CD中点，
∴CM＝DM＝CD＝AB＝BC＝AD，
∴∠DAM＝∠DMA，∠CBM＝∠CMB，
∵∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝2∠DMA，∠D＝2∠CMB
∴∠DMA+∠CMB＝（∠C+∠D）＝90°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠DMA+∠CMB）＝90°，
即△MAB为直角三角形，
∵BM＝1，AM＝2，
∴CD＝AB＝，
故选：D．
8．解：如图，延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP∥EF交BC于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，
∵BF＝BE＝8，
∴CF＝BF﹣BC＝2，
∵CE平分∠BEF，
∴∠GEC＝∠HEC，
∵CE⊥GC，
∴∠ECG＝∠ECH＝90°，
在△ECG和△ECH中，
，
∴△ECG≌△ECH（ASA），
∴CG＝CH，
∵GP∥EF，
∴∠PGC＝∠FHC，
在△PCG和△FCH中，
，
∴△PCG≌△FCH（ASA），
∴CP＝CF＝2，
∴BP＝BF﹣PF＝8﹣4＝4，
∵BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵GP∥EF，
∴∠BGP＝∠BEF，∠BPG＝∠BFE，
∴∠BGP＝∠BPG，
∴BG＝BP＝4．
故选：C．
9．解：根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
10．解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF?DG＝××4＝2．
故答案为：2．
11．解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠BEC，
∴CB＝CE．
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF＝AE，
∵AE＝4，
∴GF＝2．
故答案为2．
12．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝．
故答案是：．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵∠ABC的平分线分对边AD为2和3两部分，
如果AE＝2，则四边形周长为14；
如果AE＝3，则AB＝AC＝3，AD＝BC＝5，
∴?ABCD的周长为16；
∴?ABCD的周长为14或16．
故答案为：14或16．
14．解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，
∴DF＝AB＝2.5，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2.5＝1.5．
故答案为：1.5．
15．解：延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
在△BMC和△BMG中，
，
∴△BMC≌△BMG，
∴BG＝BC＝8，CM＝MG，
∴AG＝2，
同理，AH＝AC＝6，CN＝NH，
∴GH＝4，
∴MN＝GH＝2，
故答案为：2．
16．解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴可以分以下三种情况分别求出D点的坐标：
①当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（9，0）；
②当AD∥BC，AC∥BD时，D点的坐标为（﹣1，6）；
③当AB∥CD，AD∥BC时，D点的坐标为（3，﹣4）．
故D点坐标为（9，0）或（﹣1，6）或（3，﹣4）；
故答案为：（9，0）或（﹣1，6）或（3，﹣4）．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF＝2，
∴AB＝1；
故答案为：1．
18．解：过E作EM∥AB与GC交于点M，
∴△EMF≌△DGF，
∴EM＝GD，
∵DE是中位线，
∴CE＝AC，
又∵EM∥AG，
∴△CME∽△CGA，
∴EM：AG＝CE：AC＝1：2，
又∵EM＝GD，
∴AG：GD＝2：1．
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴AG＝，
故答案为：2
19．解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝7，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝4，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴DE＝CH＝2，
故答案为：2．
20．解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，
综上所述，t＝或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或
21．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠BAE＝50°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝75°．
22．证明：（1）①∠ACB＝∠GCD．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CG∥AB，
∴∠ABC＝∠GCD，
∴∠ACB＝∠GCD；
②∵四边形CDFE是平行四边形，
∴∠CEG＝∠ACB，∠CGE＝∠GCD，
∴∠CEG＝∠CGE，
∴CE＝CG，
∵∠ACB+∠ECG＝∠ECG+∠GCD，
即∠BCG＝∠ECD，
在△BCG和△DCE中，
∵，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；
（2）①∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF＝30°
∴AE＝2AF，且AB＝2AF，
∴AF＝CB，
而∠ACB＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
②由①知道AC＝EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°
∴EF＝AC＝AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
23．（1）解：四边形MENF是平行四边形．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∵M，N分别为AD，BC的中点，
∴AM＝AD，CN＝BC，
∴AM＝CN，
又∵AD∥BC，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AN∥CM，
同理可得BM∥DN，
∴四边形MENF是平行四边形；
（2）解：①当AM＝BN时，一定有EFAD．
理由如下：∵AM＝BN，
∴DM＝NC，
在△AEM和△NEB中
∵，
∴△AEM≌△NEB（ASA），
∴ME＝BE，
同理可得出：DF＝NF，
∴EF是△AND的中位线，
∴EFAD；
②当AM+BN＝AD时，四边形MENF为平行四边形．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∵AM+BN＝AD，BN+CN＝BC，
∴AM＝CN，
又∵AD∥BC，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AN∥CM，
同理可得BM∥DN，
∴四边形MENF是平行四边形．
24．（1）解：∠C＝60°，AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠FBC，
∴∠BGE＝∠ABG+∠BAE＝∠ABG+∠FBC＝∠ABC＝60°；
（2）证明：延长GE至点H，使GH＝GB，如图，
∵∠BGE＝60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°，
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵∠ABH＝∠GBH+∠ABG，∠DBG＝∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH＝∠DBG，
∵在△DBG和△ABH中，
，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG＝AH，
而AH＝AG+GH，
∴DG＝AG+BG．
25．证明：作EM∥AG，BN∥AC，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
∵GH⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFH，
在△AGF与△AHF中，
，
∴△AGF≌△AHF（ASA），
∴AG＝AH，∠G＝∠AHF，
∵EM∥AG，BE＝EC，
∴AM＝MC，∠G＝∠MEH，
∴∠MEH＝∠AHF，
∴EM＝HM，
∵EM是△ABC的中位线，
∴EM＝AB，
∴HM＝AB，
∵MC﹣MH＝HC，
∴AC﹣AB＝HC，
∴AC﹣AB＝2HC，
∵BN∥AC，
∴∠NBE＝∠ECH，∠BNG＝∠AHG，
在△BEN与△CEH中，
，
∴△BEN≌△CEH（AAS），
∴BN＝CH，
∵∠BNG＝∠AHG，
∴∠G＝∠BNG，
∴BG＝BN，
∴BG＝CH，
∴AC﹣AB＝2BG．
26．证明：连接BD，取BD的中点I，连接IE，IF，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴IE，IF分别是△ABD，△BDC的中位线，
∴IE∥CD，IE＝CD，IF∥AB，IF＝AB，
∵AB＝CD，
∴IE＝IF，
∵IE∥CD，IF∥AB，
∴∠IFE＝∠BKE，∠IEF＝∠CHE，
∵IF＝IE，
∴∠IFE＝∠IEF，
∴∠BKE＝∠CHE．
27．解：（1）证明：延长BD交AC于E，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
在△BAD和△EAD中，
，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴AB＝AE，BD＝DE，
∵M为BC的中点，
∴DM＝CE＝（AC﹣AB）；
（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，
∴由勾股定理得：AE＝AB＝＝10，
∵DM＝2，DM＝CE，
∴CE＝4，
∴AC＝10+4＝14．