广西钦州第四高级中学校2020-2021学年高一下学期3月第三周周测数学试题 Word版含答案

广西钦州市第四中学2021年春季学期高一数学第三周周测试卷
一．选择题
1．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，cos∠BSC＝，S△BSC＝，若SC＝1．则该三棱锥的外接球的体积为（　　）
A．π B．π C．π D．π
2．已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝6，BC＝2，PC＝PB＝2，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，其外接球的表面积等于（　　）
A． B．50π C．100π D．96π
3．已知四面体ABCD内接于半径为R的球O内，BC＝AB＝3，∠BAC＝，若球心O到平面ABC的距离为，则四面体ABCD体积的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
4．在底面为等腰梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝3，BC＝6，PA＝8，PA⊥平面ABCD，若该四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，则球O的体积与四棱锥P﹣ABCD的体积的比值为（　　）
A． B． C． D．
5．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（　　）
A．π B．π C．π D．π
6．已知正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且正四棱锥P﹣ABCD的底面积为6，侧面积为6，则球O的体积为（　　）
A．π B．π C．π D．π
7．在底面为等腰梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝3，BC＝6，PA＝8，PA⊥平面ABCD，该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）
A． B．10π C．25π D．100π
8．已知四面体ABCD内接于半径为R的球O，BC＝AB＝3，∠BAC＝，若球心O到平面ABC的距离为，则四面体ABCD体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB、PD于点E、F（可与端点重合），则四棱锥P﹣AEMF的体积的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为6cm，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为6cm，则圆锥底面圆的半径等于（　　）cm．
A．1 B． C．2 D．
11．一个球的表面积是36π，那么这个球的体积为（　　）
A． B． C．36π D．24π
12．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心O的距离等于球半径的一半，AB＝2，∠ACB＝45°，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
13．已知三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝BC＝2，PB⊥PC，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥的外接球的体积为　 　．
14．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，在底面ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积等于　 　．
15．正三棱锥S﹣ABC中，底面ABC边长为2，∠ASB+∠BSC＝，点D，E分别在线段SC，SB上，且D为SC的中点，若AE+ED的最小值为，则该三棱锥的外接球表面积等于　 　．
16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为BC的中点，则三棱锥A1﹣BMD的外接球的体积为　 　．
三．解答题
17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1＝2，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点．
（Ⅰ）证明：AA1∥平面PMN；
（Ⅱ）若Q为AA1上的动点，试判断三棱锥P﹣QMN的体积是否为定值？并说明理由．
18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M，N分别为棱AD，BC的中点，SA＝SD，SA⊥SD，P，Q为侧棱SD上的三等分点（点P靠近点S）．
（1）求证：PN∥平面MQC；
（2）求多面体MPQCN的体积．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，已知AD＝2BC＝4，∠BAD＝60°．
（Ⅰ）若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．已知在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠ADC＝，如图，DE∥CF，且DE＝3，CF＝4，∠DCF＝，且平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面CDEF；
（Ⅱ）求四棱锥F﹣ABCD的体积．
参考答案
一．选择题
1．A2．C3．D4．D5．A6．A7．D8．B9．D10．B11．C12．A．
二．填空题
13．π．14．．15．6π．16．．
三．解答题
17．（Ⅰ）证明：∵点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，∴PN∥CC1，
又∵AA1∥CC1，∴AA1∥PN，
∵AA1?平面PMN，PN?平面PMN，
∴AA1∥平面PMN；
（Ⅱ）解：如图，连接AN，AP，
根据等体积法可知，VP﹣QMN＝VQ﹣PMN，
由（Ⅰ）可知，AA1∥平面PMN，
又Q为AA1上的动点，∴VQ﹣PMN＝VA﹣PMN＝VP﹣AMN，
，
即VP﹣QMN＝VQ﹣PMN＝VA﹣PMN＝VP﹣AMN＝．
∴若Q为AA1上的动点，则三棱锥P﹣QMN的体积定值．
18．证明：（1）如图，连接ND交CM于点R，连接QR，
在正方形ABCD中，∵M，N分别为AD，BC的中点，∴四边形MNCD为矩形，
得R为ND的中点，
又Q为PD的中点，∴PN∥QR，
∵QR?平面MQC，PN?平面MQC，
∴PN∥平面MQC；
解：（2）连接SM，∵M为AD的中点，SA＝SD，SA⊥SD，
∴SM⊥AD，且SM＝AD＝1，
又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，
∴SM⊥平面ABCD．
∴＝．
∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面SAD．
又在Rt△SMD中，，SP＝PQ＝QD，
∴，
∴＝＝．
∴多面体MPQCN的体积V＝．
19．证明：（Ⅰ）如图，取PD的中点F，连接EF，CF，
则EF∥AD，且EF＝AD，
由已知可得BC∥AD，且BC＝AD，
∴EF∥BC且EF＝BC，得四边形BCEF为平行四边形，则BE∥CF，
又BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD；
解：（Ⅱ）如图，取AD的中点O，连接PO，OB，OC，
∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，
∴PO⊥平面ABCD，得PO＝2，OB＝，
又∵底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝4，
∴，
∴＝．
20．解：（Ⅰ）证明：由题知在△ACD中，，
则由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC＝，
则AC2+CD2＝AD2，
∴AC⊥CD，
又∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面CDEF；
（Ⅱ）由于平面ABCD⊥平面CDEF，又，且CF?平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，
∴CF⊥平面ABCD，
∵，
∴四棱锥F﹣ABCD的体积为．