广西钦州第四高级中学校2020-2021学年高一下学期3月第四周周测数学试题 Word版含答案

广西钦州市第四中学2021年春季学期高一数学第四周周测试卷一．选择题
1．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2．下列命题中正确的是（　　）
A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥α
D．若a、b、c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a、b、c共面
3．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面．
①若m?α，α⊥β，则m⊥β；②若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；
③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
⑤若α∥β，m?α，n?β，则m∥n．
则以上说法正确的是（　　）
A．①⑤ B．②③④ C．②③ D．①②④⑤
4．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，∠ABC＝∠DCB＝90°，∠PBC＝30°，AB＝2PC＝4CD，E是PA的中点，则异面直线BE与AD所成的角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，且AB＝AA1＝AC，点E，F分别为AD，CD的中点，则异面直线EF，BC1所成角的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．已知两条异面直线的方向向量分别是＝（3，1，﹣2），＝（3，2，1），则这两条异面直线所成的角θ满足（　　）
A．sinθ＝ B．sinθ＝ C．cosθ＝ D．cosθ＝
8．在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，已知点P是正方形AA'D'D内部（不含边界）的一个动点，若直线AP与平面AA'B'B所成角的正弦值和异面直线AP与DC'所成角的余弦值相等，则线段DP长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m⊥n，n?α，则m⊥α
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
10．正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，则直线PQ与直线RS异面的图形是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是（　　）
A．与AC，MN均垂直 B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与AC不垂直，与MN垂直 D．与AC，MN均不垂直
12．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，A，B为棱l上不同两点，C，D分别在半平面α，β内，AC，BD均垂直于棱l，AC＝BD＝2AB＝2，则异面直线CD与AB所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
13．三个不相交的平面把空间分成　 　部分．
14．设＝（2，2，﹣），＝（0，﹣1，）分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成角的余弦值为　 　．
15．已知直线m∥平面α，直线n在α内，则m与n所有可能的位置关系是　 　．
16．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为　 　．
三．解答题
17．如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）
18．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，A1D＝4．
（1）求该正四棱柱的表面积和体积；
（2）求异面直线A1D与AC所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．
19．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2，底面半径为2．
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）设OA、OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的正切值，
20．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A处乘Ⅰ到达二楼的点B处后，沿着二楼面上的圆弧BM逆时针步行至点C处，且C为弧BM的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O、O1、O2，半径为8米，相邻楼层的间距AM＝4米，两部电梯与楼面所成角的大小均为．
（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；
（2）求异面直线AB和CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
参考答案
一．选择题
1．C
2．D
3．C
4．D
5．C
6．C
7．C
8．C
9．D
10．B
11．A
12．B
二．填空题
13．4
14．．
15．平行或异面．
16．．
三．解答题
17．解：（1）∵，
∴V＝S△ABC?A1A＝×4＝2．
（2）∵BC∥B1C1，
∴∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角，
在△MBC中，BM＝CM＝，BC＝，
由余弦定理得，cos∠MBC＝＝，
∴∠MBC＝arccos，
故异面直线BM与B1C1所成的角为．
18．解：（1）由题意，得＝，
则该正四棱柱的表面积为＝8+16，
该正四棱柱的体积为V＝＝8．
（2）连接A1C1，DC1，则AC∥A1C1，
∴直线A1D，A1C1所成角就是异面直线A1D，AC所成角，
在△A1DC1中，A1D＝DC1＝2，A1C1＝2，
由余弦定理得cos∠DA1C1＝
＝＝．
∴异面直线A1D与AC所成的角的大小为arccos．
19．解：（1）由题意知，h＝，r＝2，
∴圆锥的母线l＝＝4，
∴圆锥的侧面积S＝l?2πr＝×4×2π×2＝8π．
（2）取OA的中点N，连接MN，PN，
∵M为AB的中点，
∴MN∥OB，
∴∠PMN或其补角即为直线PM与直线OB所成的角，
∵OB⊥OA，OB⊥OP，OA∩OP＝O，OA、OP?平面POA，
∴OB⊥平面POA，
∴MN⊥平面POA，∴MN⊥PN，
在Rt△PMN中，PN＝＝，MN＝OB＝1，
∴tan∠PMN＝＝，
故直线PM与直线OB所成的角的正切值为．
20．解：（1）过点B作1楼面的垂线，垂足是B′，
则B′落在圆柱底面圆上，连接B′A，
则B′A即为BA在圆柱下底面上的射影，
故∠BAB′即为BA与楼面所成的角，即∠BAB′＝arcsin，
BB′＝AM＝4，可得AB＝8，△AOB中，OA＝OB′＝8，
故△AOB′是等腰直角三角形，故∠BO1M＝∠AOB′＝，
∵AB＝CD，故弧BC的长为8×＝2π，
故此顾客在二楼面上步行的路程为2π米；
（2）由（1）可知OA，OB′，OO2两两互相垂直相交，
于是以O为坐标原点，以射线OB′，OA，OO2分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图示：
则B（8，0，4），A（0，8，0），C（4，4，4），D（﹣4，4，8），
故＝（8，﹣8，4），＝（﹣8，0，4），
设异面直线AB和CD所成角的大小为θ，
则cosθ＝＝＞0，
即θ＝arccos，
故异面直线AB和CD所成角的大小为arccos．