安徽省宣城第二高级中学校2020-2021学年高二下学期第一次月考（3月）理科数学试题 Word版含答案解析

宣城二中2020—2021学年第二学期第一次月考
高二理科数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，3…1000，从这些新生中用系统抽样方法等距离抽取100名学生进行体质测验，若38号学生被抽到，则下面学生能被抽到的是（ ）
A．16号学生 B．49号学生 C．618号学生 D．815号学生
2．“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．在空间直角坐标系中，点false与点false的距离是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．设直线false、false的方向向量分别为false，false，若false，则false等于（ ）
A．－2 B．2 C．6 D．10
6．已知直线false:false与双曲线false:false(false，false)交于false，false两点，点false是弦false的中点，则双曲线false的离心率为（ ）
A．false B．2 C．false D．false
7．四棱锥false中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若false，则false等于（ ）
A．1 B．false C．false D．2
8．已知false，false，false，则false、false、false的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false

9．已知false分别是双曲线false的左、右焦点，false为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若false内切圆圆心为false，则圆心false到圆false上任意一点距离的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．若函数false有两个不同的极值点，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知椭圆false，圆false，过椭圆上任一与顶点不重合的点false引圆的两条切线，切点分别为false，直线false与false轴，false轴分别交于点false，则false（　　）
A．false B．false C．false D．false
12．已知函数false与false的图象上存在关于直线false对称的点，若点false，false分别在false，false的图象上，则当false取最大值时，false的最小值是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“false”的否定是___________.
14．已知函数false，曲线false在点false处的切线方程为______________．
15．已知点O为坐标原点，抛物线false与过焦点的直线交于A，B两点，则false等于___________.
16．已知函数false，若对于任意x∈false，不等式2f(x)≤－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤)
17．（本题10分）根据对某商品近5个月的调查数据进行统计，得到该商品的月销售单价x(单位：元/件)与月销售量y(单位：千件)之间有如下对应关系：
false
2
4
5
6
8
false
7
5
6
4
3
（1）建立y关于x的回归直线方程；
（2）根据（1）的结果，若该商品成本为3元/件，则月销售价x为何值时(x不超过12)，月利润预计值最大？(结果保留两位小数)
false，false
18．（本题12分）设false：关于false的不等式false有解，false：false.
（1）若false为真命题，求实数false的取值范围；
（2）若false为假命题，false为真命题，求实数false的取值范围.
19．（本题12分）如图，几何体ABCDEF中，四边形ABCD为梯形、ACFE为矩形，false，false，false，平面ACFE⊥平面ABCD.
（1）证明：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角B-EF-D的正弦值.
20．（本题12分）已知函数false，false是false的导函数，且false.
（1）求false的值；
（2）求函数false在区间false上的最值.
21．（本题12分）已知椭圆false的左右顶点分别为false，椭圆false上不同于false的任意一点false，直线false和false的斜率之积为false．
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）过椭圆false内一点false，作一条不垂直于false轴的直线交椭圆于false两点，点false和点false关于false轴对称，直线false交false轴于点false，证明：false为定值．
22．（本题12分）已知函数false. （1）若false，当false时，讨论false的单调性； （2）若false，false，且当false时，不等式false在区间false上有解，求实数a的取值范围.
宣城二中2022届2020—2021学年第二学期第一次月考
高二理科数学试卷参考答案
1．C
由题意，从1000名学生中抽取一个容量为100的样本，
所以系统抽样的分段间隔为false，
因为38号学生被抽到，
则根据系统抽样的性质可知，第一组抽取的一个号码为8，以后每个号码都必前一个号码增加10，所以号码数构成以8为首项，以10为公差的等差数列，
设其为数列false，可得false，
根据选项，令false，解得false，所以false被抽到.
故选：C.
2．A
充分性：若false，则false，则false，故充分性成立；
必要性：若false，则可能false，此时false无意义，故必要性不成立，
即“false”是“false”的充分不必要条件.
故选：A.
3．A
false的一个原函数为false，
故false，
故选：A.
4．C
false点false，点false，
falsefalse，
则false．
5．D
直线false、false的方向向量分别为false，false，且false，
falsefalse，
解得false．
故选：D．
6．D
设false，
因为false是弦false的中点，根据中点坐标公式，可得false，
又由直线false:false的斜率为false，所以false.
因为false两点在双曲线上，可得false，
两式相减并化简得false，
所以false，所以false.
故选：D
7．B
因为false，
所以false，所以false，所以false ，
解得false，所以false，
故选：B.
8．B
构造函数false，则false，
当false时，false，所以，函数false在区间false上为减函数，
false，则false，即false.
故选：B.
9．C
设false的内切圆分别与false切于点false，与false切于点false，则false，false．又点false在双曲线右支上，
false，即false，
false ①，
又false ②，
由①＋②，解得false，
又false，则false，
因为双曲线false的false，
所以内切圆圆心false与在直线false上，设false，
设圆false的圆心为false，则false，
所以false，当false时，false，
此时圆false上任意一点的距离最小值为false．
故选： C．
10．D
解：因为false有两个不同的极值点，
所以false在false有2个不同的零点，
所以false在false有2个不同的零点，
所以false，
解可得，false．
故选：false．
11．D
解：设false，则
切线false的方程为false，切线false的方程为false，
因为点false在切线false上，
所以false，false，
所以直线false的方程为false，
所以false，
因为点false在椭圆false上，
所以false，
所以false，
故选：D
12．D
由题可知，曲线false与false有公共点，即方程false有实数解，即false有实数解，令false，则false，所以当false时，false；当false时，false，故false时，false取得极大值false，也是最大值，所以false，所以false，即false的最大值为false，
此时false，设直线false与函数false的图象相切于点false，如图，因为false，所以false，所以false，解得false，所以切线方程为false，易求得平行线false与
false之间的距离为false，即false的最小值为false.
故选：D.
.13．false
命题“false”的否定是“false”
故答案为：false
14．false
false，false，
false，即切线斜率为false，
又false，
false切线方程为false，即false.
故答案为：false.
15．false
设false，false，
当直线false斜率不存在时，false，
所以falsefalse.
当直线false斜率存在时，设方程为false，
与抛物线联立方程得：false
所以false，
∴falsefalse.
故答案为：false.
16．false
对于任意 false 不等式 false 恒成立，即
false 恒成立,
则 false 对于任意x∈false恒成立,
令false
则 false
false
当false时，false 单调递减
当false时，false 单调递增.
由 false,
false
false
可得false
false 当false时 false的最大值为false
false
false 实数false的取值范围为 false
故答案为： false
17．（1）false；（2）月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大.
（1）false，false.
false
2
4
5
6
8
false
7
5
6
4
3
false
false
false
0
1
3
false
2
0
1
false
false
false，
false，∴false，
false，
所以y关于x的回归直线方程为false－—————6分
（2）依题意得利润false，
当false时，false最大，
所以月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大.－—————10分
18．（1）false；（2）false.
（1）false为真命题时，false，解得false
所以false的取值范围是false－—————4分
（2）false为真命题时，即false，解得false
所以false为假命题时false或false
由（1）知，false为假时false
因为false为假命题，false为真命题，所以false为一真一假，
①false真false假，即false，解得false
②false假false真，即false，解得false
综上：false的取值范围是false．－—————12分
19．（1）见解析；（2）false
解：（1）false，
false四边形false为等腰梯形，
又false，
false，
在false中，由余弦定理得：
false，
故false，
在false中，
由余弦定理得：
false，
即false，
化简得：false，
又false,
解得：false，
false，
故false，
又false平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFEfalse平面false，
false，
falseBC⊥平面ACFE；－—————4分
（2）建立如图所示的空间直角坐标系：
则false，
作false的中点false，则false，
false，false，
false，
则false，
设平面false的法向量为false，平面false的法向量为false，
则false，
即false，令false，则false，
false，
即false，令false，则false，
则false，
设二面角B-EF-D的平面角为false，
则false，
故二面角B-EF-D的正弦值为false.－—————12分
20．（1）false；（2）false的最大值为false，最小值为false
（1）falsefalse，
false，
falsefalse，false．－—————4分
（2）由false可得：false，
令false，解得false．列出表格如下：
false
false
false
false
2
false
false
false
0
false
0
false
false
false
极大值false
false
极小值false
false
又falsefalse．
所以函数false在区间false，false上的最大值为false，最小值为false．－—————12分
21．（1）false；（2）证明见解析.
（1）由题可知：false，
令false，所以false，
所以椭圆false的标准方程为false－—————4分
（2）显然直线false的斜率存在，设直线false的方程为false，
联立false，消false得：false
设false，根据韦达定理得：false
直线false，
令false，则false
false
false
所以false（定值）.－—————12分
22．（1）答案见解析；（2）false.
解：（1）因为false
所以函数false的定义域为false.
由false，得false，
则false，
当false时，false，函数false在false上单调递减；
当false时，false或false，false，
所以false在false，false上单调递减，在false上单调递增；
当false时，false或false，false，
所以false在false，false上单调递减，在false上单调递增.————6分
（2）当false时，false，false，
则false.
①当false，即false时，false，
所以false在false上单调递增，
所以false.
②当false，即false时，设false的两根分别为false，false，
则false，false，
∴false，false，
所以在区间false上，false，
所以false在false上单调递增，
所以false.
综上，当false时，false在区间false上的最大值为false，
∴false，
所以实数a的取值范围是false.－—————12分