2020-2021学年北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程 单元测试题(含答案）

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第五章
分式与分式方程
单元测试题
(时间：120分钟，满分：150分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是(
)
A．x＝－1
B．x＝3
C．x≠－1
D．x≠3
2．在，，，，，x＋x－1中，分式有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．计算－，结果正确的是(
)
A．1
B．x
C.
D.
4．方程＝的解是(
)
A．x＝－
B．x＝
C．x＝－
D．x＝
5．如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值(
)
A．不变
B．扩大3倍
C．缩小到原来的
D．扩大9倍
6．一项工程，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙两人一起完成这项工程所需时间为(
)
A.小时
B.小时
C．(a＋b)小时
D.小时
7．化简(a＋)(－1)的结果等于(
)
A．－a－2
B.
C．a＋2
D.
8．若关于x的分式方程＝1的解为正数，则m的取值范围是(
)
A．m＞3
B．m≠－2
C．m＞－3且m≠1
D．m＞－3且m≠－2
9．张老师和李老师同时从学校出发，去15千米外的县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是(
)
A.－＝
B.－＝
C.－＝
D.－＝
10．使关于x的不等式组有解，且关于x的方程＝的解为整数的所有整数a的和为(
)
A．5
B．6
C．7
D．10
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．若分式的值为0，则x的值为______.
12．约分：＝______.
13．化简：÷(－1)·a＝______.
14．对于实数a，b，定义一种新运算“?”：a?b＝，这里等式右边是实数运算，例如：1?3＝＝－，则方程x?(－2)＝－1的解是______.
三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．计算：
(1)(1－)÷；
(2)÷(a－)．
16．(8分)设A＝，B＝.
(1)求A与B的差；
(2)若A与B的值相等，求x的值．
17．（9分）老师在黑板上书写了一个正确的等式，随后用一张纸挡住了一个实数，其形式如下：□×÷＝.
(1)求被挡住的实数；
(2)若这个实数是方程＝＋m的根，求m的值．
18．（9分）先化简，再求值：÷＋，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值．
19．（10分）将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为(a＜b)，再往杯中加入c(c＞0)克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
(1)请用一个不等式表示这个现象：______.
(2)请你用所学的数学知识解释其中的道理．
20．(10分)
政铭老师每天要骑车到离家15千米的单位上班，若将速度提高原来的，则时间可缩短15分钟．
(1)求政铭老师原来的速度；
(2)政铭老师按照原来的速度骑车到途中的A地，发现公文包忘在家里，他立即提速1倍回到家里取公文包(其他时间忽略不计)，并且以返回时的速度赶往单位．若政铭老师到单位的时间不超过平时到校的时间，求A地距家最多多少千米．
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)
21．已知关于x的分式方程＋＝0有增根，且m≠0，则m＝______.
22．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad－bc.若＝1，则x＝______.
23．已知abc＝1，则＋＋的值是______.
24．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和(差)的形式，例如＝－，＝＋.类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如＝－，仿照上述方法，若分式可以拆分成＋的形式，则(B＋1)－(A＋1)＝______.
25．设A＝÷(a－)．当a＝3时，记A的值为f(3)；当a＝4时，记A的值为f(4)；…，则关于x的不等式－≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)的解集是______.
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(8分)已知a2＋4a＋1＝0，且＝3，求m的值．
27．(10分)自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16
000元采购A型商品的件数是用7
500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
28．(12分)已知关于x的分式方程－＝1.
(1)当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；
(2)当a＝1时，求b为何值时，分式方程－＝1无解？
(3)若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程－＝1的解为整数时，求b的值．
参考答案
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第五章
分式与分式方程
单元测试题
(时间：120分钟，满分：150分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
D
B
A
A
D
C
C
1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是(D)
A．x＝－1
B．x＝3
C．x≠－1
D．x≠3
2．在，，，，，x＋x－1中，分式有(C)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．计算－，结果正确的是(A)
A．1
B．x
C.
D.
4．方程＝的解是(D)
A．x＝－
B．x＝
C．x＝－
D．x＝
5．如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值(B)
A．不变
B．扩大3倍
C．缩小到原来的
D．扩大9倍
6．一项工程，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙两人一起完成这项工程所需时间为(A)
A.小时
B.小时
C．(a＋b)小时
D.小时
7．化简(a＋)(－1)的结果等于(A)
A．－a－2
B.
C．a＋2
D.
8．若关于x的分式方程＝1的解为正数，则m的取值范围是(D)
A．m＞3
B．m≠－2
C．m＞－3且m≠1
D．m＞－3且m≠－2
9．张老师和李老师同时从学校出发，去15千米外的县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是(C)
A.－＝
B.－＝
C.－＝
D.－＝
10．使关于x的不等式组有解，且关于x的方程＝的解为整数的所有整数a的和为(C)
A．5
B．6
C．7
D．10
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．若分式的值为0，则x的值为3．
12．约分：＝．
13．化简：÷(－1)·a＝－a－1．
14．对于实数a，b，定义一种新运算“?”：a?b＝，这里等式右边是实数运算，例如：1?3＝＝－，则方程x?(－2)＝－1的解是x＝5．
三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．计算：
(1)(1－)÷；
解：原式＝·
＝.
(2)÷(a－)．
解：原式＝÷
＝·
＝·＝＝.
16．(8分)设A＝，B＝.
(1)求A与B的差；
(2)若A与B的值相等，求x的值．
解：(1)A－B＝－＝＝＝.
(2)∵A＝B，∴＝.
去分母，得2(x＋1)＝x.
去括号，得2x＋2＝x.
移项、合并同类项，得x＝－2.
经检验，x＝－2是原方程的解．
17．（9分）老师在黑板上书写了一个正确的等式，随后用一张纸挡住了一个实数，其形式如下：□×÷＝.
(1)求被挡住的实数；
(2)若这个实数是方程＝＋m的根，求m的值．
解：(1)×÷＝3÷＝3，∴被挡住的实数是3.
(2)当x＝3时，＝＋m化为＝＋m，∴m＝－＝－.
18．（9分）先化简，再求值：÷＋，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值．
解：原式＝·＋
＝＋
＝
＝.
解不等式组得－3＜x≤2，
∵x≠－2，0，1，∴当x＝－1时，原式＝＝－1；
当x＝2时，原式＝＝.
19．（10分）将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为(a＜b)，再往杯中加入c(c＞0)克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
(1)请用一个不等式表示这个现象：＞(a＜b，c>0)；
(2)请你用所学的数学知识解释其中的道理．
解：∵－＝＝＞0，
∴＞.
∴现在糖水的含糖量比原来高了．
20．(10分)
政铭老师每天要骑车到离家15千米的单位上班，若将速度提高原来的，则时间可缩短15分钟．
(1)求政铭老师原来的速度；
(2)政铭老师按照原来的速度骑车到途中的A地，发现公文包忘在家里，他立即提速1倍回到家里取公文包(其他时间忽略不计)，并且以返回时的速度赶往单位．若政铭老师到单位的时间不超过平时到校的时间，求A地距家最多多少千米．
解：(1)设政铭老师原来的速度为x千米/时，根据题意，得
－＝，解得x＝12.
经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意．
答：政铭老师原来的速度为12千米/时．
(2)设A地距家a千米，根据题意，得
＋≤，解得a≤5.
答：A地距家最多5千米．
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)
21．已知关于x的分式方程＋＝0有增根，且m≠0，则m＝－4．
22．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad－bc.若＝1，则x＝4．
23．已知abc＝1，则＋＋的值是1．
24．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和(差)的形式，例如＝－，＝＋.类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如＝－，仿照上述方法，若分式可以拆分成＋的形式，则(B＋1)－(A＋1)＝．
25．设A＝÷(a－)．当a＝3时，记A的值为f(3)；当a＝4时，记A的值为f(4)；…，则关于x的不等式－≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)的解集是x≤4．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(8分)已知a2＋4a＋1＝0，且＝3，求m的值．
解：∵a2＋4a＋1＝0，∴a2＋1＝－4a.∴(a2＋1)2＝16a2.
∴a4＋2a2＋1＝16a2，即a4＋1＝14a2.
∵＝3，
∴＝3.
整理，得14a2＋ma2＝－24a2＋3ma2.
∴(38－2m)a2＝0.
∵a≠0，∴38－2m＝0.
∴m＝19.
27．(10分)自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16
000元采购A型商品的件数是用7
500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
解：(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x＋10)元．由题意，得
＝×2.
解得x＝150.
经检验，x＝150是分式方程的解，且符合题意．
则x＋10＝160.
答：一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元．
(2)设该客商购进A型商品m件，则客商购进B型商品(250－m)件．由题意，得
v＝(240－160)m＋(220－150)(250－m)＝10m＋17
500.
∵m≤250－m，m≥80，
∴80≤m≤125.
(3)设收益为w元．则
w＝(240－160－a)m＋(220－150)(250－m)＝(10－a)m＋17
500.
①当10－a＞0时，即0＜a＜10时，w随m的增大而增大，
∴m＝125时，w最大，最大收益为(18
750－125a)元．
②当10－a＝0时，w＝17
500，最大收益为17
500元．
③当10－a＜0时，即10＜a≤80时，w随m的增大而减小，
∴m＝80时，w最大，最大收益为(18
300－80a)元．
28．(12分)已知关于x的分式方程－＝1.
(1)当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；
(2)当a＝1时，求b为何值时，分式方程－＝1无解？
(3)若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程－＝1的解为整数时，求b的值．
解：(1)把a＝1，b＝0代入分式方程－＝1，得－＝1.
方程两边同时乘(2x＋3)(x－5)，得(x－5)＋x(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)，
整理，得x－5＋2x2＋3x＝2x2－7x－15.
解得x＝－.
检验：当x＝－时，(2x＋3)(x－5)≠0，
∴原分式方程的解是x＝－.
(2)把a＝1代入分式方程－＝1，得－＝1.
方程两边同时乘(2x＋3)(x－5)，得
(x－5)－(b－x)(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)．
去括号，得x－5＋2x2＋3x－2bx－3b＝2x2－7x－15.
移项、合并同类项，得(11－2b)x＝3b－10.
①当11－2b＝0，即b＝时，方程无解；
②当11－2b≠0时，x＝.
当x＝－时，分式方程无解，即＝－，b不存在；
当x＝5时，分式方程无解，即＝5，b＝5.
综上所述，当b＝或5时，分式方程－＝1无解．
(3)把a＝3b代入分式方程－＝1，得＋＝1.
方程两边同时乘(2x＋3)(x－5)，得
3b(x－5)＋(x－b)(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)．
整理，得(10＋b)x＝18b－15.
∴x＝.
∵＝＝18－，且b为正整数，x为整数，
∴10＋b必为195的因数，10＋b≥11.
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1，3，5，13，15，39，65，195.
∵1，3，5小于11，不合题意，∴10＋b可以取13，15，39，65，195这五个数．
对应地，方程的解x为3，5，13，15，17.
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3，29，55，185.
∴满足条件的b的值为3，29，55，185.