(共39张PPT)
HS版八年级下
19．2 菱 形
第19章
矩形、菱形与正方形
19．2.1 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
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1．如图，若要使?ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝AC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
C
2．【中考·河北】如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( )
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
D
【点拨】如图，取AD的中点M′，连结M′N，M′P，易知MP＝M′P.MP＋PN的最小值为线段M′N的长，等于菱形的边长1.故选B.
【答案】B
4．【中考·贵阳】如图，菱形ABCD的周长是4
cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
A
【点拨】∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝4，AB∥CD.
∵∠BAD＝120°，∴∠ADC＝60°.
∴∠ADB＝∠CDB＝30°.
∵O是对角线BD的中点，
∴AO⊥BD.
【答案】B
6．【中考?无锡】下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
C
7．【2020·黑龙江龙东地区】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为( )
A．72
B．24
C．48
D．96
【点拨】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，
∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，
【答案】C
【答案】C
【答案】D
10．【中考·怀化】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10
cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间
的最短距离为________cm.
【点拨】如图，连结BD，AC，在菱形ABCD中，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10
cm，
易得∠BAD＝∠BCD＝60°.
∴△ABD，△BCD都是等边三角形．
①若以边BC为底，则BC的垂直平分线上(在菱形的边上及其内部)的点满足题意，此时就转化为“直线外一点与直线上所有点连结的线段中，垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值为10
cm；
11．【中考·百色】如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠CBF.
∵BE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°.
∴△AEB≌△BFC(A.A.S.)．∴AE＝BF.
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的长．
解：∵E是AD的中点，
且BE⊥AD，
∴直线BE为AD的垂直平分线，
∴BD＝AB＝2.
12．【中考·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连结AP，点E，F是AP上的两点，连结DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，
∠ABF＝∠BPF.
求证：
(1)△ABF≌△DAE；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC.∴∠BPA＝∠DAE.
∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE.
∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(A.S.A.)．
(2)DE＝BF＋EF.
解：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，AF＝DE.
∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF，
∴DE＝BF＋EF.
13．【2020·北京】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO.
又∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形．
∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°.
∴四边形OEFG是矩形；
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°.
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5.
∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°.
14．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.
(1)求证：AE＝EC.
证明：如图，连结AC.
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴线段BD所在直线是线段AC的垂直平分线．
∵E是线段BD上一点，∴AE＝EC.
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时
，点F在线段BC的什么位置？并说明理由．
解：点F在线段BC的中点位置．
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.
∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，
∴∠BAE＝∠EAC＝30°.
∴AF是△ABC的角平分线，∴BF＝CF.
即点F在线段BC的中点位置．(共23张PPT)
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19．2 菱 形
第19章
矩形、菱形与正方形
19．2.1 菱形的性质
第2课时 菱形性质的应用
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1．【中考·宁波】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证BG＝DE；
证明：在矩形EFGH中，EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF.
∵∠BFG＝180°－∠GFH，
∠DHE＝180°－∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE.
(2)若E为AD的中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
解：连结EG，由(1)知，BG＝DE，∴G为BC中点．
在矩形EFGH中，HF＝EG＝2，∴AB＝CD＝2.
∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8.
2．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE.
(1)求证△DCE≌△BCE；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE.
(2)求证∠AFD＝∠EBC；
证明：∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠EBC.
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠AFD.
∴∠AFD＝∠EBC.
(3)若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．
解：点F在AB之间时，由(2)知，∠AFD＝∠EBC.
又∵∠EBC＋∠EBF＝90°，∠FEB＝∠FBE，∠AFD＝∠FEB＋∠FBE，∴∠AFD＝∠EBC＝60°，∠FEB＝∠FBE＝30°.
∴∠EFB＝180°－60°＝120°.
点F在AB延长线上时由(2)知，∠AFD＝∠EBC，
又∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∠ABE＝∠BEF＋∠BFE，∠BEF＝∠BFE，∴∠ABE＝60°，∠AFD＝∠EBC＝30°.
即∠EFB＝30°.
3．如图，在?ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得到△GFC.
(1)求证：BE＝DG；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC.
∵AE是BC边上的高，
且CG是由AE沿BC方向平移得到的．
∴CG⊥BC.∴∠GCF＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠CGD＝∠GCF＝90°.
∴∠AEB＝∠CGD＝90°.
∴Rt△ABE≌Rt△CDG(H.L.)．
∴BE＝DG.
(2)若四边形ABFG是菱形，且∠B＝60°，求AB：BC的值．
∵四边形ABFG是菱形，∴AB＝BF.
4．如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE＋CF＝m.
(1)证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，AB＝DB.
又∵AE＋CF＝m，CF＋DF＝m，
∴AE＝DF.
又∵∠ABE＋∠EBD＝∠ABD＝60°，
∴∠EBF＝∠DBF＋∠EBD＝∠ABD＝60°.
∴△BEF是等边三角形．
(2)求△BEF面积的最小值．
【点拨】作辅助线构造等边三角形和全等三角形，结合菱形的性质和等边三角形的性质求解．(共52张PPT)
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第19章
矩形、菱形与正方形
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1．如图，以△ABC(∠BAC≠60°)的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么特殊形状的四边形？说明理由；
解：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴AD＝BD＝BA，BC＝BE＝EC，
∠DBA＝∠EBC＝60°，
∴∠DBE＋∠EBA＝∠ABC＋∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC.
∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，∴DE＝AF.
同理可证AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
解：∵△ABD和△ACF都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠FAC＝60°.
∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF＝90°.
∴∠BAC＝360°－∠DAF－∠DAB－∠FAC＝
360°－90°－60°－60°＝150°.
∴当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．
(3)为什么题中有条件∠BAC≠60°？
解：当∠BAC＝60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
理由：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－60°－60°－60°＝180°.此时，A，D，F三点共线．
∴此时以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
2．【2020·娄底】如图，在?ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
解：四边形AECF是菱形，理由如下：
设AC，EF交于点O，如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠OAF＝∠OCE.
∵点E与点F关于AC对称，
∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF.
(2)求证AE⊥DE.
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BE＝EC＝AE.
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B＝∠AEB＝60°.
∴∠AEC＝120°.
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，
DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
解：DE⊥FG.理由如下：由题意，
得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠EDB＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，
∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.
(2)连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG.
∴CB∥GE，CB＝GE.
∴四边形CBEG是平行四边形．
∵∠ABC＝∠GEF＝90°，
∴四边形CBEG是矩形．
∵BC＝BE，
∴四边形CBEG是正方形．
4．【中考·怀化】如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°.
(2)求证：四边形AECF是矩形．
解：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°.
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
5．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.
求证：四边形CDEF是菱形．
证明：如图，连结CE，交AD于点O.
∵AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形．
∵AO平分∠CAE， ∴AO⊥CE，且OC＝OE.
∵EF∥CD，∴∠2＝∠1.
又∵∠DOC＝∠FOE＝90°，
∴△DOC≌△FOE(A.S.A.)．
∴OD＝OF.
即CE与DF互相垂直且平分，
∴四边形CDEF是菱形．
6．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点．
求证：FB⊥BH.
[提示：直角三角形中，斜边
上的中线等于斜边的一半]
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝45°，∠CBE＝90°.
又∵CF＝CF，∴△DCF≌△BCF.∴∠CDF＝∠CBF.
∵∠CDG＋∠CGD＝90°，∠CGD＝∠HGB＝∠HBG，
∴∠FBG＋∠HBG＝90°，
即∠FBH＝90°，∴FB⊥BH.
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．
【点拨】要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．
解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，∴A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为
(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)
＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB
＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB
＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝10＋(FD＋FC)＋10
＝10＋10＋10＝30.
8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶
点O转动，两个正方形重叠部分
的面积大小有什么规律？请说明
理由．
∵四边形A′B′C′O是正方形，
∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC.
∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，
即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.
∴S△BOE＝S△COF.
∴两个正方形重叠部分的面积等于S△BOC.
9．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，
OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．
解：OE＋OF的值发生变化，
OE，OF之间的数量关系为
OE－OF＝9.6.
10．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF.
【点拨】本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过用等式的传递性证明两条线段相等．
证明：如图，连结PC.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.
∴四边形PECF是矩形．
∴PC＝EF.
[运用]
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；
(2，1.5)
(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
解：设点D的坐标为(x，y)．
若以点A，B，C，D为顶点构
成的四边形是平行四边形，(共40张PPT)
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19．3 正方形
第19章
矩形、菱形与正方形
第1课时 正方形及其性质
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AC＝BD
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B
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1．【中考·兰州】?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________，使得?ABCD为正方形．
【点拨】判定一个菱形是正方形，只需一个角是90°或对角线相等即可．答案不唯一．
【答案】AC＝BD
2．【中考·临沂】如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法中正确的数量是( )
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
3．【中考?北京】把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②、图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为_______．
12
4.【2020·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( )
A．(6，3)
B．(3，6)
C．(0，6)
D．(6，6)
D
【点拨】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°.∴∠BEF＝∠EFD＝60°.
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上的点B′处，
∴∠BEF＝∠FEB′＝60°，BE＝B′E.
∴∠AEB′＝180°－∠BEF－∠FEB′＝60°.
∴∠AB′E＝30°.∴B′E＝2AE.
设BE＝x，则B′E＝x，AE＝3－x，
∴2(3－x)＝x，解得x＝2.
即BE的长度为2.
【答案】D
6．【中考·河池】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的数量是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】根据正方形的性质，利用S.A.S.即可证明△ABE≌△BCF，再根据全等三角形的性质可得∠BFC＝∠AEB，又易得∠DAE＝∠AEB，∠BFC＝∠ABF，从而求解．
【答案】C
7．【中考·仙桃】如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG折叠至△AFG处，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
C
【点拨】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质、勾股定理．
【答案】D
9．【2020·恩施州】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【点拨】如图，连接ED交AC于点F′，连接BF′.
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称．∴BF′＝DF′.
∴△BF′E的周长为BF′＋EF′＋BE＝
DF′＋EF′＋BE＝DE＋BE，
易知当F在F′处时，△BFE的周长最小．
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°.
【答案】B
10．【2020·武威】如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证△AEM≌△ANM；
证明：∵把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
∴△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE，AN＝AE.
由题易知E在CB的延长线上．
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°.
∴∠MAE＝∠MAN.
又∵MA＝MA，AN＝AE，∴△AEM≌△ANM.
(2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2，
∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN.
∵BE＝DN，
∴MN＝EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝5.
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2＋CN2.
即52＝(x－3)2＋(x－2)2，
解得x＝6或－1(舍去)，
∴正方形ABCD的边长为6.
11．【2020·呼和浩特】如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.
(1)求证：AF－BF＝EF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAF＋∠DAE＝90°.
∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°，
∠DAE＋∠ADE＝90°.∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝∠DEG＝90°＝∠AED
∴△ABF≌△DAE(AAS)．
∴AF＝DE，AE＝BF.
∴AF－BF＝AF－AE＝EF
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．
解：不可能．理由如下：
如图，连接BE，DF，AC，
若要使四边形BFDE是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，
四边形BFDE为平行四边形．
由(1)可知DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°.
又易知∠BAC＝45°.
∴点G与点C重合．
与题中点G不与点C重合矛盾，
∴四边形BFDE不可能是平行四边形．
12．【中考·天门】如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG
于点G，连结GF，求证：
(1)AE⊥BF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°.
∵EG∥BF，
∴∠CBF＝∠CEG.∴∠BAE＝∠CEG.
∵∠BAE＋∠BEA＝90°，
∴∠CEG＋∠BEA＝90°，
∴AE⊥EG，∴AE⊥BF.
(2)四边形BEGF是平行四边形．
解：延长AB至点P，使BP＝BE，连结EP，如图所示．
则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°.
∵CG为正方形ABCD外角的平分线，
∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG.
∵AE＝BF，∴EG＝BF，
∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．
13．【中考·泰州】如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连结DE.
(1)求证：△ABE≌△DAF；
证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠DAF＝90°.
∵BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，
∴∠AEB＝∠DFA＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE≌△DAF.
(2)若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
解：∵△ABE≌△DAF，∴BE＝AF＝1，AE＝DF，
∴(x－3)(x＋4)＝0.
∴x－3＝0或x＋4＝0，
∴x＝3或x＝－4(舍去)．
∴AE＝3，∴EF＝AE－AF＝2.(共39张PPT)
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19．2 菱 形
第19章
矩形、菱形与正方形
19．2.2 菱形的判定
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1．【2020·南通】下列条件中，能判定?ABCD是菱形的是( )
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
C．AD＝BD
D．AC⊥BD
D
2．【2020·泰安】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：
①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；
④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAN＝∠BCM.
∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC.
∴∠DNA＝∠BMC＝90°.
由∠DAN＝∠BCM，∠DNA＝∠BMC，AD＝BC，
可证△DNA≌△BMC(AAS)．
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确．
由∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
可证△ADE≌△CBF(ASA)．
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确．
∴DE－DN＝BF－BM，即NE＝MF.
∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形．
∴EM∥FN，故②正确．
∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．
∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD.
∴△AOD是等边三角形．
∴∠ADO＝60°.∴∠ABD＝90°－∠ADO＝30°.
∵DE⊥AC，∴∠ADN＝∠ODN＝30°.
∴∠ODN＝∠ABD.∴DE＝BE.
∴四边形DEBF是菱形，故④正确．
【答案】D
【点拨】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB.∴∠DAE＝∠BEA.
∴∠BAE＝∠BEA.∴AB＝BE.
∵AF＝AB，∴AF＝BE.
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
又∵AF＝AB，∴四边形ABEF是菱形．
∴EA平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，
故选项A，C正确．
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确．
【答案】D
4．【中考·永州】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为( )
A．40
B．24
C．20
D．15
B
5.【2020·咸宁】如图，在?ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF＝BE.连接EF.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE.
∵AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形．
∵BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形．
(2)请用无刻度的直尺在?ABCD内找一点P，使∠APB＝90°.(标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示，点P即为所求，
?
?
?
?
?
?
6．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件____________________，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
OA＝OC(答案不唯一)
【点拨】由作图知AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ACBD是菱形．
∴AB平分∠CAD，CD平分∠ACB，AB⊥CD，
但不能判断AB＝CD.
【答案】D
8．【中考?大庆】下列说法中不正确的是( )
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
【点拨】菱形对角线不一定相等，故选C.
【答案】C
9．【2020·新疆】如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.
(1)求证AE＝CF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF.
∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE.∴∠AED＝∠CFB.
∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴AE＝CF.
(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
证明：由(1)知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．
10．【2020·扬州】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F，连接AF，CE.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO＝CO.∴∠FCO＝∠EAO.
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：四边形AECF是菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
11．【2020·青岛】如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证△ADE≌△CBF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC.
∴∠ADB＝∠DBC.∴∠ADE＝∠CBF.
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
解：如图，当BD平分∠ABC时，
四边形AFCE是菱形．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD.即AC⊥EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵DE＝BF，∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
12．【2020·娄底】如图，在?ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
解：四边形AECF是菱形．
理由如下：设AC，EF交于点O，如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠OAF＝∠OCE.
∵点E与点F关于AC对称，
∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，
(2)求证AE⊥DE.
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BE＝EC＝AE.
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B＝∠AEB＝60°.
∴∠AEC＝120°.(共20张PPT)
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19．3 正方形
第19章
矩形、菱形与正方形
第3课时 正方形的性质与判定的
综合应用
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1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，并延长AE交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.
∴∠AOE＝∠DOF＝90°.
∵DE＝CF，∴OE＝OF.
∴△AOE≌△DOF.
∴∠OAE＝∠ODF.
∵∠DOF＝90°，
∴∠DFO＋∠ODF＝90°.
∴∠DFO＋∠FAE＝90°.
∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.
2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.
(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，
请说明理由．
解：仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：
过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E,
易证△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.
又∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，
∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.
∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN
.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请
写出你的猜想，并说明理由．
解：DN－BM＝MN.理由如下：
如图，在DN上截取DE＝BM，连结AE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.
又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.
∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.
∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.
∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.
又∵AM＝AE，AN＝AN，
∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.
∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.
∴DN－BM＝MN.
3．如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，且AF＝AE，连结BF，BE，DE.
(1)求证：BF＝DE.
证明：由题意知AB＝AD，∠BAD＝90°.
∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°，∴∠BAF＝∠EAD.
(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是正方形吗？请说明理由．
解：当点E运动到AC的中点时，
四边形AFBE是正方形．
∵AF＝AE，∴BE＝AF，
∴四边形AFBE为平行四边形．
又∵∠FAE＝90°，AF＝AE，
∴平行四边形AFBE是正方形．
4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别
是B，C，D，A.
(1)求证：不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
又∵AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.
∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴四边形PQRS是菱形．
又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴四边形PQRS是正方形．即不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．
(2)在什么时候四边形PQRS的面积最大？
解：当P，Q，R，S在出发时或到达终点时四边形PQRS的面积最大，此时的面积等于正方形ABCD的面积．
(3)在什么时候四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半？
解：当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形ABCD四边中点时，四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半．(共39张PPT)
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19．1 矩 形
第19章
矩形、菱形与正方形
19．1.1 矩形的性质
第1课时 矩形的性质
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见习题
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见习题
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见习题
1．下列说法不正确的是( )
A．矩形是平行四边形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
B
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
D
3．【2020?湖州】七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图①所示．分别用这两副七巧板试拼如图②中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( )
A．1和1
B．1和2
C．2和1
D．2和2
【点拨】中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示．
【答案】D
4．【2020·黔东南州】如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于( )
A．25°
B．30°
C．50°
D．60°
C
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠AOB＝60°，则OB的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B
6．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE为( )
A．36°
B．9°
C．27°
D．18°
D
7．【2020·怀化】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
【点拨】由题易知S△AOD＝S△BOC＝S△COD＝S△AOB＝2.
∴S矩形ABCD＝4S△AOB＝8.
【答案】C
∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，
∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，∵OE2＋CE2＝OC2，∴(2x)2＋52＝(3x)2，
【答案】A
【答案】B
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝__________．
【点拨】根据矩形的性质求出∠BAE＝∠BEA＝45°，求出∠BAO＝∠BAE＋∠1＝60°，推出△AOB为等边三角形，∠OBE＝30°，由AB＝OB＝BE，求出∠BEO＝75°，即可求得答案．
【答案】30°
11．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.∴∠DFO＝∠BEO.
∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE(A.A.S.)．∴DF＝BE.
又∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)当DE＝DF时，求EF的长．
解：∵DE＝DF，四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF.
设AE＝x，则DE＝BE＝8－x.
12．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，连结CE并延长与BA的延长线交于点F，连结AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA.
又∵CD∥FA，∴四边形ACDF是平行四边形．
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
解：BC＝2CD.理由如下：
∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.
∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，∴AD＝2DE，
∴AD＝2CD.
∵AD＝BC，∴BC＝2CD.
13．【中考·哈尔滨】已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
(1)如图①，求证AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
解：△ABE，△CDF，△BCE，△ADF.
14．如图①，在矩形ABCD(AB(1)如图②，若EF与AD的延长线交于点F，证明EA＝EF仍然成立；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC.
又∵AB＝BE，
∴∠FAE＝∠AEB＝45°.
∵∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝180°－90°－45°＝45°.
∴∠FAE＝∠AFE，
∴EA＝EF.
(2)如图③，若四边形ABCD是平行四边形(AB＜BC)，在BC边上取一点E，使BE＝AB，作∠AEF＝∠ABE，交AD于点F，则EA＝EF是否成立？若成立，请说明理由．
解：EA＝EF成立．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ABE＋∠BAD＝180°，∠AEB＝∠FAE.
∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠AEB＝∠FAE.
∵∠AEF＝∠ABE，
∠AEB＋∠AEF＋∠FEC＝180°，
∠ABE＋∠BAE＋∠FAE＝180°，
∴∠FEC＝∠FAE.
∵AD∥BC，∴∠FEC＝∠AFE，
∴∠FAE＝∠AFE，∴EA＝EF.(共33张PPT)
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19．1 矩 形
第19章
矩形、菱形与正方形
19．1.2 矩形的判定
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见习题
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见习题
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见习题
1．如图，要使平行四边形ABCD为矩形，可以添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90°
D．∠1＝∠2
C
2．【中考·上海】已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
B
3．【2020·十堰】已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
B
4．在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的是( )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
B
5.【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连结MN，则线段MN的最小值为
________．
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°.
∴四边形AMDN是矩形．
∴MN＝AD.
6．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
A
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：
①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；
④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.
则不能使四边形ABCD为矩形的是( )
A．①②③
B．①②④
C．②⑤⑥
D．④⑤⑥
【点拨】选项C，虽然OA＝OC，OB＝OD，可判定是平行四边形，但是加AB＝DC不能判定是矩形．
【答案】C
9．在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形( )
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
【点拨】此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形．
【答案】C
10．【中考·云南】如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO.∴AO＝DO.∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
(2)若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OA＝OB.
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠ABO.
∴∠BAO＝∠ODC.
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADO＝90°－54°＝36°.
11．【中考·怀化】已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°.
(2)求证：四边形AECF是矩形．
解：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°.
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
12．【2020·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证△BDE≌△FAE；
证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE；
(2)求证：四边形ADCF为矩形．
解：∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.
又∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
∴四边形ADCF为矩形．
13．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连结DE，EF.请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．
解：四边形ADEF是平行四边形．
理由如下：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°.
∵∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE＝AC.
∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF.∴DE＝AF.
同理可得△ABC≌△FEC，∴EF＝BA＝DA.
∵DE＝AF，DA＝EF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
【点拨】先假设四边形ADEF为矩形，推出所满足的条件即∠DAF＝90°，然后推出∠BAC＝150°.
解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.
∵∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150°.
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．(共41张PPT)
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19．3 正方形
第19章
矩形、菱形与正方形
第2课时 正方形的判定
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B
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1．【2020?绵阳】如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有( )
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
B
B
【点拨】如图，过点E作EO⊥CD于点O，EH⊥BC于点H，显然四边形EHCO为正方形，
∴EH＝EO，∠HEO＝90°.
∵∠GEF＝∠HEO＝90°，
∴∠OEN＝∠MEH.
又∵∠EHM＝∠EON＝90°，∴△EHM≌△EON.
∴S△EHM＝S△EON.∴S四边形EMCN＝S正方形EHCO.
【答案】D
4.【中考?台州】小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )
A．1次
B．2次
C．3次
D．4次
【点拨】先沿对角线对折，看两侧的三角形是否重合，再沿四边形一组对边的中点连线对折，看两个四边形是否重合，如果两次对折后都能重合，那么四边形丝巾的形状是正方形．故选B.
【答案】B
5．【中考?巴中】下列命题是真命题的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．四边相等的平行四边形是正方形
C
6．【2020?台州】下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是( )
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②
D．由①推出③，由③推出②
A
7．【2020·绍兴】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】B
8．【2020·襄阳】已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
B
9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下列条件：①AB＝AD； ②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO； ④四边形ABCD为矩形；
⑤四边形ABCD为菱形； ⑥四边形ABCD为正方形．
则下列推理不成立的是( )
A．①④?⑥
B．①③?⑤
C．①②?⑥
D．②③?④
【点拨】本题易将特殊四边形的判定相混淆导致出错，选项C的四边形可以是一个如图所示的梯形，不一定是正方形．
【答案】C
10．如图，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连结CF.
(1)求证：∠HEA＝∠CGF.
证明：连结GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠CGE.
∵四边形EFGH是菱形，∴GF∥HE，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEG－∠HEG＝∠CGE－∠FGE，
∴∠HEA＝∠CGF.
(2)当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.
又∵∠DHG＋∠DGH＝90°，
∴∠DHG＋∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH为正方形．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD.
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形．
由(1)知，△BED≌△CFD，
∴DE＝DF.∴四边形DFAE是正方形．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD.
∴平行四边形ABCD是矩形．
(2)若H是边AB上一点(H与A，B不重合)，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2.当AB＝2时，求AH的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠CBG＝90°，
AB＝AD＝BC＝2.
∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°.
∴四边形BGEF是矩形．
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE.
又∵∠DAB＝90°，
∴∠ADH＋∠AHD＝∠AHD＋∠EHG＝90°.
∴∠ADH＝∠EHG.
又∵∠DAH＝∠G＝90°，DH＝HE，
∴△ADH≌△GHE.∴AD＝HG，AH＝EG.
∵AB＝AD，∴AB＝HG.
∴AH＝BG.∴BG＝EG.
∴四边形BGEF是正方形．
13．【中考?天水】如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
解：四边形ABCD是垂美四边形．
理由：连结BD，AC.∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是垂美四边形．
(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝
∠BOC＝∠COD＝90°.
由勾股定理，得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，
AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，
求GE的长．
解：如图，连结CG，BE，设CE与AB交于点M.
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE.
又∵∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMC，
∴∠ABG＋∠BMC＝90°，
∴CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形．
由(2)得CG2＋BE2＝CB2＋GE2.(共30张PPT)
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19．1 矩 形
第19章
矩形、菱形与正方形
19．1.1 矩形的性质
第2课时 矩形性质的应用
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1．如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连结CF，且CF＝AF，过点A作AE⊥FC于点E，连结CA.
(1)求证AD＝AE；
证明：∵CF＝AF.∴∠FCA＝∠CAF.
∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB.
∴∠DCA＝∠CAF.∴∠FCA＝∠DCA.
∵AE⊥FC，∴∠CEA＝90°.
∴∠D＝∠CEA＝90°.
(2)若∠DCA＝70°，求∠CAE的度数．
解：由(1)知△ADC≌△AEC，∴∠CAE＝∠CAD.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.
∴∠CAD＝90°－∠DCA＝90°－70°＝20°.
∴∠CAE＝20°.
2．【中考·湘西州】如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连结DE，CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
解：由(1)知△ADE≌△BCE，∴DE＝CE.
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝12
cm，BC＝6
cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2
cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1
cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t
s表示移动的
时间(0≤t≤6)．
(1)当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
解：由DQ＝t
cm，得AQ＝(6－t)cm，AP＝2t
cm.
若△QAP为等腰三角形，则只能是AQ＝AP，
∴6－t＝2t.∴t＝2.
故当t＝2时，△QAP为等腰三角形．
(2)求四边形QAPC的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．
4．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE.求证：
(1)BF＝DF；
证明：∵△BED是由△BCD沿对角线BD折叠得到的，
∴∠CBD＝∠EBD.
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB.
∴∠ADB＝∠EBD.∴BF＝DF.
(2)AE∥BD.
解：由折叠可知BC＝BE.
在矩形ABCD中，AD＝BC，∴AD＝BE.
由(1)知BF＝DF，
∴AD－DF＝BE－BF，即AF＝EF.∴∠EAF＝∠AEF.
∵∠AFE＝∠DFB，∠ADB＝∠EBD，
∴∠AEB＝∠EBD(或∠EAD＝∠ADB)．
∴AE∥BD.
5．如图①，四边形ABCD是矩形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
(1)求证：AM＝AD＋MC；
证明：如图①，延长AE交BC的延长线于点F.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CF.∴∠DAE＝∠F.
又∵AE平分∠DAM，
∴∠MAE＝∠DAE＝∠F.
∴AM＝MF.
∵E为DC的中点，∴DE＝CE.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？并说明理由．
解：中的结论成立．理由如下：
如图②，延长AE交BC的延长线于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF.∴∠DAE＝∠F.
又∵AE平分∠DAM，
∴∠MAE＝∠DAE＝∠F.
∴AM＝MF.
∵E为DC的中点，
∴DE＝CE.
6．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于点F.求证EF＝DF.
证明：由折叠和矩形的性质可知∠D＝∠B＝∠E，AE＝AB＝CD.
7．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CF折叠，使点D与AB的中点E重合，求AF?FD的值．
8．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕．
(1)求证△FGC≌△EBC；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC，∠D＝∠B＝90°.
∴∠CFE＝∠FEA.
易得∠CEF＝∠FEA，
∴∠CEF＝∠CFE.∴EC＝FC.
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．(共27张PPT)
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阶段核心应用
特殊平行四边形间的关系的综合应用
第19章
矩形、菱形与正方形
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1．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连结BP，EQ.
(1)求证：四边形BPEQ是菱形．
证明：∵PQ垂直平分BE，∴QB＝QE，OB＝OE.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QBO.
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形．
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形．
(2)若AB＝6，AE＋BE＝18，求PQ的长．
2．【中考·海南】如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A，D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q.
(1)求证：△PDE≌△QCE.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠ECQ＝90°＝∠D.
∵E是CD的中点，∴DE＝CE.
又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE.
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时．
①求证：四边形AFEP是平行四边形．
∵EF∥BC，∴∠1＝∠PBC，∠2＝∠Q.
又∵AD∥BC，EF∥BC，
∴AD∥EF，∴∠1＝∠4，∴∠2＝∠3.
又∵PF＝FP，∴△APF≌△EFP，∴AP＝EF.
又∵AP∥EF，
∴四边形AFEP是平行四边形．
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
解：四边形AFEP不是菱形，理由如下：
设PD＝x，则AP＝1－x.
由(1)可知△PDE≌△QCE，
∴CQ＝PD＝x，
∴BQ＝BC＋CQ＝1＋x.
3．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F，判断四边形MEBF的形状，并证明你的结论．
解：四边形MEBF是正方形．
证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.
∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB＝∠MFB＝90°.
∴四边形MEBF是矩形．
又∵BM是∠ABC的平分线，
∴ME＝MF.∴矩形MEBF是正方形．
4．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明．
解：OE＝OF.证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.
(2)连结BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由．
若四边形BCFE是菱形，
则BF⊥EC，在△GFC中，不可能存在两个角为90°，
∴四边形BCFE不可能为菱形．
(3)连结AE，AF，当点O在AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO.
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
(4)在(3)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
解：当点O运动到AC的中点，且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，
四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，
∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．
