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阶段核心方法
判定平行四边形的五种常用方法
第18章
平行四边形
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1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连结AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝BF，∴DE
BF.
∴四边形BFDE为平行四边形．
∴BE∥DF.同理，AF∥CE.
∴四边形FMEN为平行四边形．
2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，
∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，AF＝AC，
∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，
即∠ABC＝∠DBE.
∴△ABC≌△DBE(S.A.S.)．
∴AC＝DE.∴AF＝DE.
同理，可证△ABC≌△FEC，
∴AB＝FE.∴AD＝EF.
∴四边形ADEF是平行四边形．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：
四边形ACEF是平行四边形．
证明：过A作AM⊥DF于M.
∵∠ACB＝90°，ED⊥BC，∴DF∥AC.∴AM＝DC.
又∵AF＝CE，
∴四边形ACEF是平行四边形．
4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
解：四边形BFDE是平行四边形．理由如下：在?ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，
∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED.
∴四边形BFDE是平行四边形．
5．【中考·哈尔滨】如图①，?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连结EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.
∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形．
(四边形AGHD除外)
解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH.(共41张PPT)
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18．1 平行四边形的性质
第18章
平行四边形
第1课时 平行四边形及其边角性质
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1．如图，?ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( )
A．13
B．14
C．15
D．18
【点拨】此题易错在平行四边形数不全．避免出错的技巧是有序思维，即在思考问题时一定要有顺序．
【答案】D
C
2．若以A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．【2020·邵阳】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是( )
A．AE＝CF
B．∠AEB＝∠CFD
C．∠EAB＝∠FCD
D．BE＝DF
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.
∵∠ABE＋∠ABD＝∠BDC＋∠CDF＝180°，
∴∠ABE＝∠CDF.
若添加AE＝CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；
若添加∠AEB＝∠CFD，则运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；
若添加∠EAB＝∠FCD，则运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；
若添加BE＝DF，则运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D不符合题意．
【答案】A
【点拨】∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD.
∴∠BEC＝∠DCE.∴∠BEC＝∠BCE.
∴BC＝BE＝5.∴AD＝5.
在△AED中，EA2＋ED2＝32＋42＝25，
AD2＝52＝25，∴EA2＋ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°.∴∠EDC＝90°.
∵AB＝EA＋EB＝3＋5＝8，∴CD＝AB＝8.
【答案】C
5．【2020·温州】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作?BCDE，则∠E的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
D
6.如图，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连结DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠E＝∠CDF
B．EF＝DF
C．AD＝2BF
D．BE＝2CF
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E.
∵BE＝AB，∴CD＝BE，
∴△DCF≌△EBF，
∴CF＝BF，DF＝EF，∴BC＝2BF，
∴AD＝2BF.
只有D选项不一定成立．
【答案】D
7．【2020·铜仁】设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12
cm，EF与CD的距离是5
cm，则AB与EF的距离等于________
cm.
【点拨】分两种情况：
(1)当EF在AB，CD之间时，如图①.
∵AB与CD的距离是12
cm，EF与CD的距离是5
cm，
∴EF与AB的距离为12－5＝7(cm)．
(2)当EF在AB，CD同侧时，如图②.
∵AB与CD的距离是12
cm，EF与CD的距离是5
cm，
∴EF与AB的距离为12＋5＝17(cm)．
综上所述，EF与AB的距离为7
cm
或17
cm.
【答案】7或17
8．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，下列说法错误的是( )
A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B．CE＝FG
C．线段CD的长度就是
l1与l2之间的距离
D．AC＝BD
C
9．在?ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3
cm和4
cm两部分，则?ABCD的周长为( )
A．20
cm
B．22
cm
C．10
cm
D．20
cm或22
cm
【点拨】情况一，如图①，BE＝3
cm，CE＝4
cm.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝3
cm，
∴平行四边形ABCD的周长＝(3＋3＋4)×2＝20(cm)．
情况二，如图②，BE＝4
cm，CE＝3
cm.
同理可得AB＝BE＝4
cm，
∴平行四边形ABCD的周长＝(4＋4＋3)×2＝22(cm)．
本题利用了分类讨论思想，AE把BC分成3
cm和4
cm两部分，没有明确哪部分是3
cm，哪部分是4
cm，所以分两种情况．
【答案】D
10．【2020·孝感】如图，在?ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF，连接EF，分别与BC，AD相交于点G，H.
求证EG＝FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA.
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F.
11．【2020·重庆B】如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF.
∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°.
∴∠ABC＝180°－120°＝60°.
(2)求证BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB.
∴∠ABE＝∠CDF.
12．【中考·永州】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BA＝CD.∴∠DAE＝∠E.
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE.∴∠BAE＝∠E.
∴BA＝BE，∴BE＝CD.
(2)连结BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积．
解：∵∠BEA＝60°，BA＝BE，
∴△ABE为等边三角形．∴AE＝AB＝4.
∵BF⊥AE，∴F为AE的中点，
∴AF＝EF＝2.
13．【中考·安徽】如图，点E在?ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
(1)求证：△BCE≌△ADF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵AF∥BE，
∴∠EBA＋∠BAF＝180°.
∴∠CBE＝∠DAF.
同理，得∠BCE＝∠ADF.
解：∵点E在?ABCD内部，
∴S△BEC＋S△AED＝S?ABCD.
由(1)知△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF.(共16张PPT)
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第18章
平行四边形
4
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B
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1．如图，E，F分别为平行四边形ABCD两对边AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，连结GH，则图中平行四边形的个数为( )
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
B
2．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并说明理由．
解：线段CD与线段AE平行且相等．
理由：∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO.
又∵OA＝OC，∠AOD＝∠COE，
∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE.
又∵OA＝OC，∴四边形ADCE为平行四边形，
∴CD与AE平行且相等．
3．如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE.求证：四边形DEBF是平行四边形．
证明：∵BE∥DF，∴∠AFD＝∠CEB.
又∵∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE(A.A.S.)．∴DF＝BE.
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
4．【中考·遂宁】如图，在?ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.
求证：(1)AE＝CF；
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠ABE＝∠CDF.
(2)四边形AECF是平行四边形．
解：如图，连结AC，与BD交于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
又∵BE＝DF，∴EO＝FO.
∴四边形AECF是平行四边形．
5．如图，已知四边形ABCD为平行四边形．
求证：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∴AC2＝AE2＋CE2＝
AB2－BE2＋(BC－BE)2＝AB2＋BC2－2BE·BC，
BD2＝DF2＋BF2＝
(CD2－CF2)＋(BC＋CF)2＝CD2＋BC2＋2BC·CF.
∴AC2＋BD2＝
AB2＋CD2＋BC2＋BC2＋2BC·CF－2BE·BC.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝DC，DA＝BC.
∴∠ABE＝∠DCF.
∵∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴△ABE≌△DCF.∴BE＝CF.
∴AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
6．如图，已知点E，F分别在?ABCD的边DC和CB上，且AE＝AF，DG⊥AF，BH⊥AE，点G，H是垂足．
求证：DG＝BH.
【点拨】这里运用了转化思想．将线段相等的问题转化为面积相等的问题，使问题迎刃而解．(共35张PPT)
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18．2 平行四边形的判定
第18章
平行四边形
第2课时 由对角线的关系判定
平行四边形
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1．【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
【点拨】因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以添加条件BO＝DO，可判定四边形ABCD是平行四边形．
【答案】BO＝DO(答案不唯一)
2．【中考·昆明】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
B
3．【2020·衡阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
C
4．【中考·绵阳】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )
A．6
B．12
C．20
D．24
D
5．【中考·湘西州】下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D
6．【中考·荆门】四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①
AD∥BC；②
AD＝BC；③
OA＝OC；④
OB＝OD，
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
B
7.在四边形ABCD中，AC交BD于点O，且AB∥CD，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
其中正确的说法是( )
A．①②
B．①③④
C．②③
D．②③④
【点拨】②和③都能够通过两个三角形全等证明AB＝CD，从而证明四边形ABCD是平行四边形；而①和④不能．
【答案】C
8．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线上的两点，给出下列4个条件：
①OE＝OF；②DE＝BF；
③∠ADE＝∠CBF；
④∠ABE＝∠CDF.
其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【点拨】给出条件①OE＝OF，由四边形ABCD是平行四边形，可得OD＝OB.
又∵OE＝OF，∴四边形DEBF为平行四边形．故给出条件①可判定四边形DEBF为平行四边形；
给出条件③∠ADE＝∠CBF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠DAE＝∠BCF.
又∵∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEO＝∠BFO，∴DE∥BF，∴四边形DEBF为平行四边形；
给出条件④∠ABE＝∠CDF，理由同③，亦可判定四边形DEBF为平行四边形；
只有给出条件②无法判定四边形DEBF为平行四边形．故选B.本题易错选A.
【答案】B
9．【2020·淮安】如图，在?ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
(1)求证△AOF≌△COE；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠OAF＝∠OCE.
(2)连接AE，CF，则四边形AECF________(填“是”或“不是”)平行四边形．
是
10．如图所示，在?ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠FDE.
证明：如图，连结BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴∠EBF＝∠FDE.
11．如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BF＝BE.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
证明：∵三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴四边形CDEG是平行四边形．
∴∠DEG＝∠C.
∵EG∥BC，
∴∠AEG＝∠ABC.∴∠DEG＝∠AEG.
∵BE＝BF，∴∠BEF＝∠F＝∠AEG.
∴∠F＝∠DEG.∴BF∥DE.
∴四边形BDEF为平行四边形．
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
解：∵∠C＝45°，
∴∠BDE＝∠ABC＝∠BEF＝∠BFE＝45°.
∴△BDE，△BEF是等腰直角三角形．
12．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边三角形ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①)，求证：EF＝CD.
∵△AED是等边三角形，
∴AD＝ED，∠ADE＝60°.
∴∠EDB＝90°－∠ADE＝90°－60°＝30°.
∵ED∥CF，∴∠FCB＝∠EDB＝30°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝30°.∴∠BAD＝∠ACF.
又∵∠B＝∠FAC＝60°，AB＝CA，
∴△ABD≌△CAF.∴AD＝CF.
∵AD＝ED，∴ED＝CF.
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形．
∴EF＝CD.
(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比．
解：△AEF和△ABC的面积比为1∶4.
(3)若点D是BC边上除B，C外的任意一点(如图②)，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：成立．证明：∵ED∥CF，∴∠EDB＝∠FCB.
∴∠ACF＝∠ACB－∠FCB＝
60°－∠FCB＝60°－∠EDB.
在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－60°－(60°＋∠EDB)＝60°－∠EDB，
∴∠BAD＝∠ACF.
又∵∠B＝∠FAC＝60°，AB＝CA.
∴△ABD≌△CAF.∴AD＝CF.
∵AD＝ED，∴ED＝CF.
又∵ED∥CF.
∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝CD.(共35张PPT)
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18．2 平行四边形的判定
第18章
平行四边形
第3课时 平行四边形的性质
和判定的应用
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1．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH.
(1)若AC＝6，BD＝8，试求AD的取值范围；
(2)求证：四边形EHFG是平行四边形．
证明：在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∵BG＝DH，∴OB－BG＝OD－DH，即OG＝OH.
∴四边形EHFG是平行四边形．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF，连结AF，BF，DE，CE，分别相交于H，G，连接HG.求证：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
(1)四边形AECF是平行四边形；
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
解：由(1)得四边形AECF是平行四边形∴AF∥CE.
(2)EF与GH互相平分．
∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，
∴BE∥DF，BE＝DF.
∴四边形BFDE是平行四边形．∴BF∥DE.
∴四边形EGFH是平行四边形．∴EF与GH互相平分．
3．如图，?ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10.
(1)求证：AE⊥BD；
证明：过D作DF∥AE交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∴EF＝AD＝10，DF＝AE＝9.
又∵DF∥AE，∴AE⊥BD.
(2)求?ABCD的面积．
4．【中考·扬州】如图，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE.
(1)求证：四边形BCED′是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠CBA，DC∥AB，AD∥BC.
∵将?ABCD沿过点A的直线l折叠，
使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE＝∠D′AE，∠D＝∠AD′E.
∴∠AD′E＝∠CBA.∴ED′∥CB.
∵EC∥D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形．
(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA.
∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°.
∴∠AEB＝90°.∴AB2＝AE2＋BE2.
5．【中考·巴中】如图，在?ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N.
(1)求证：四边形BMDN是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.
∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形．
(2)已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM＝BN.
∵CD＝AB，CD∥AB，
∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF.
∵∠CEM＝∠AFN＝90°，
∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝5.
6．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.
(1)当点D在边BC上时，如图①，
求证：DE＋DF＝AC.
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B，四边形AEDF是平行四边形．
∴DE＝AF.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴∠FDC＝∠C，∴DF＝FC.
∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③.请分别写出图②，图③中DE，DF，AC之间的数
量关系，不需要证明．
解：当点D在边BC的延长线上时，DE－DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，DF－DE＝AC.
(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝________.
2或10
7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝18
cm，CD＝15
cm，AD＝10
cm，AB＝12
cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2
cm/s的速度由A向D运动，点Q以3
cm/s的速度由C向B
运动(当其中一个点停止运动时，
另一个点也随之停止运动)．
(1)几秒后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长；
解：设x
s后，四边形ABQP为平行四边形，由题意易得2x＝18－3x，解得x＝3.6，
即3.6
s后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2＋12×2＝38.4(cm)．
(2)几秒后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．
解：设y
s后，四边形PDCQ为平行四边形．由题意易得10－2y＝3y，解得y＝2，即2
s后，四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3×2×2＋15×2＝42(cm)．
8．如图，△ABC为等边三角形，D，F分别为BC，AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE.
(1)求证：△ACD≌△CBF；
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠FBC＝∠DCA＝60°，
(2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°，请说明理由．
解：当D是线段BC的中点时，四边形CDEF为平行四边形且∠DEF＝30°.
如图，连结BE，由题易知AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°.
∴∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝60°，
即∠EAB＝∠DAC，
∴△AEB≌△ADC.
又∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB.
∴EB＝DC＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60°.
∴△EFB为等边三角形．
∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°.
又∵∠ABC＝60°，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°，∴EF∥BC，
又∵EF＝CD，
∴四边形CDEF为平行四边形．(共43张PPT)
HS版八年级下
18．1 平行四边形的性质
第18章
平行四边形
第2课时 平行四边形的对角线性质
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A
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见习题
见习题
13
见习题
见习题
见习题
1．如图，在?ABCD中，全等三角形的对数共有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OD＝OB，OA＝OC.
∵OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB(S.A.S.)；
同理可得△AOB≌△COD(S.A.S.)．
∵AD＝CB，AB＝CD，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB(S.S.S.)；
同理可得△ACD≌△CAB(S.S.S.)，
因此本题共有4对全等三角形．
【答案】C
2．【2020·益阳】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( )
A．10
B．8
C．7
D．6
D
3．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；
④图中共有4对全等三角形．
其中正确结论的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD.∴∠CDF＝∠ABE.
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°.
∴△CFD≌△AEB(A.A.S.)．
∴DF＝BE，CF＝AE(①正确)；
∴DF＋EF＝BE＋EF，即DE＝BF(③正确)．
又∵OB＝OD，
∴DE－OD＝BF－OB，即OE＝OF(②正确)．
易得出△CDO≌△ABO，△CDE≌△ABF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△BOC等(④错误)．
故正确的有3个．故选B.
【答案】B
【答案】D
5．【中考·遂宁】如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE.若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
A．28
B．24
C．21
D．14
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵?ABCD的周长为28，∴AB＋AD＝14.
∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的垂直平分线．
∴BE＝ED.
∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋ED＋AE＝
AB＋AD＝14.
【答案】D
【点拨】如图，设AC，PQ交于点O，
∵四边形CPAQ是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∴PQ最短时，PO最短，
过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形．
【答案】D
7．如图，若?ABCD的周长为36
cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4
cm，DF＝5
cm，?ABCD的面积为( )
A．40
cm2
B．32
cm2
C．36
cm2
D．50
cm2
【点拨】∵?ABCD的周长为36
cm，
∴AB＋BC＝18
cm①.
∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，
且DE＝4
cm，DF＝5
cm，
∴4AB＝5BC②，
由①②得AB＝10
cm，BC＝8
cm，
∴?ABCD的面积为AB·DE＝10×4＝40(cm2)，故选A.
【答案】A
8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3
B．6
C．12
D．24
C
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.
求证：OE＝OF.
错证：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC.∵OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
诊断：错解误认为已知E，O，F三点共线，从而得到∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个条件．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.
∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AOE≌△COF(A.A.S.)，∴OE＝OF.
10．【2020·重庆A】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.
∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°.
(2)求证AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴AE＝CF.
11．【中考·本溪】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别
相交于点E，F，连结EC.
(1)求证：OE＝OF；
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB.
∴∠FDO＝∠EBO.
(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求?ABCD的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∵△BEC的周长是10，
∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.
∴?ABCD的周长＝2(BC＋AB)＝20.
12．如图，点O为?ABCD的对角线AC，BD的交点，∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，BD＝8，点E是OD上的一动点，点F是OB上的一动点(E，F不与端点重合)，且DE＝OF，连结AE，CF.
(1)求线段EF的长；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB.
(2)若△OAE的面积为S1，△OCF的面积为S2，S1＋S2的值是否发生变化？若不变，请说明理由并求出这个定值；若变化，请说明随着DE的增大，S1＋S2的值是如何发生变化的．
解：S1＋S2的值不变．
理由如下：连结AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC.∴S△AOF＝S△COF.
∵DE＝OF，∴S△ADE＝S△AOF＝S△COF，∴S1＋S2＝S△AEF＝S△AOD.
13．如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO.∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
(2)如图②，若过O点的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？
由此你能得到什么样的一般性结论？
解：能得到OE＝OF，方法同(1)．一般性结论：经过平行四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或对边的延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交点平分．(共37张PPT)
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18．2 平行四边形的判定
第18章
平行四边形
第1课时 由边的关系判定平行四边形
4
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见习题
见习题
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见习题
15
见习题
1．能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC
B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB＝AD，CB＝CD
C
2．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是( )
A．两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形
D．两个全等三角形
D
3．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )
A．任意四边形
B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线垂直的四边形
B
4．【中考·玉林】在四边形ABCD中：①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
B
5.如图，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3，1)
B．(4，1)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
【点拨】如图，以O，A，B为顶点构造平行四边形，有三种情况，故选A.
【答案】A
6．在四边形ABCD中，AD＝BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠D＝180°
C
7．如图，在?ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE是平行四边形，可以添加的条件是( )
①AF＝CF；②AE＝CE；
③BF＝DE；④AF∥CE
A．①或②
B．②或③
C．③或④
D．①或③
C
8．如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结DE，EF，BF，则图中平行四边形共有( )
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
【点拨】共有4个，分别为?ABCD，?ADFE，?EFCB，?DEBF.
【答案】B
9．【中考·威海】如图，在四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( )
A．AD＝BC
B．CD＝BF
C．∠A＝∠C
D．∠F＝∠CDE
【点拨】选择D选项，在题中可利用角角边证得△CED≌△BEF，∴CD＝BF，∠C＝∠EBF，
∴CD＝AB，CD∥AF，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【答案】D
10.顺次连结平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D4个条件中任取2个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种
B．4种
C．3种
D．1种
【点拨】当选①③时，四边形ABCD为平行四边形；当选①④时，四边形ABCD为平行四边形；当选③④时，四边形ABCD为平行四边形．故选C.
【答案】C
11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AB∥CD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
?
?
【点拨】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知A正确，不符合题意；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知B正确，不符合题意；
根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可知C不正确，符合题意；
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知D正确，不符合题意．
故选C.
【答案】C
12．【中考·河北】嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图①所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
(1)在方框中填空，补全已知和求证；
CD
平行
(2)如图②，按嘉淇的想法写出证明．
证明：如图，连结BD.
在△ABD和△CDB中，
∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴AB∥CD，AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形．
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为___________________
_____________.
平行四边形的两组
对边分别相等
13．【2020·陕西】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.
求证：AD＝BE.
证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC.
∴AB∥DE.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE.
14．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.
∵BE＝EC＝CF，∴BC＝EF.
解：四边形AECD是平行四边形．
(2)试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF.
∵∠ACB＝∠F，∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF.
∵EC＝CF，∴AD＝EC.
又∵AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形．
15．如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.
∴∠ADE＝∠DAB＝∠DCB＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△AED，△CFB是等边三角形．
∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAD＝∠FCB＝60°.
∴∠EAF＝∠FCE＝120°.
∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
解：上述结论还成立．
证明：∵?ABCD，∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD，∠BCD＝∠CBF，∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE＝AD，CB＝CF，
∴∠ADE＝∠AED，∠CBF＝∠CFB，
∴∠AED＝∠CFB，
又∵∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，
∴△ADE≌△CBF，∴ED＝BF，AE＝CF，
又∵DC＝AB，∴DC＋ED＝AB＋BF，即EC＝AF，
又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
