2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 圆 单元复习同步练习题（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 圆 单元复习同步练习题（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 372.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 08:25:56 | ||
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文档简介
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章
圆
单元复习同步练习题
一、选择题
1、如图，AB，CD是⊙O的直径，＝.若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是(
)
A．32°
B．60°
C．68°
D．64°
2、如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为(
)
A.
B.
C．2
D．2
3、如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AC的长为(
)
A．3
B．2
C.
D．3
4、一根水平放置的圆柱形输水管的横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是(
)
A．8米
B．6米
C．5米
D．4米
5、如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠ABE＋∠ECD的度数为(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6、如图，从一块直径为2
m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(
)
A.
m2
B.π
m2
C．π
m2
D．2π
m2
7、如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC.P为⊙O上任意一点，连接PA，PB.若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为(
)
A．1
B.
C.
D.
8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E.若CD＝，则图中阴影部分面积为(
)
A．4－
B．2－
C．2－π
D．1－
二、填空题
9、如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE.若AE＝4，则四边形ABCD的面积为______．
10、如图，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠COD的度数是______．
11、如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为______．
12、如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是______．
13、如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为______．
三、解答题
14、如图，△ABE内接于⊙O，过直径AB上的点G作弦CD⊥AB，交AE于点F，连接AD，DE.
求证：
△ADF∽△AED.
15、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点P.求证：△ABD∽△DCP.
16、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE.
(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)当＝时，求tanE.
17、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，CE＝2，求的长度．(结果保留π)
18、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
19、如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E.
(1)求证：＝；
(2)若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点(点F在线段PQ上)，求PQ的长．
20、如图，AB为⊙O直径，C，D是⊙O上的点，连接CB并延长与AD所在直线交于点F，EF⊥AB，垂足为E，连接CE，且CE＝EF.
(1)证明：CE与⊙O相切；
(2)若AE＝8，tan∠BCE＝，求AD的长度．
21、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)求证：CG＝BG；
(3)若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．
22、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.
(1)求证：DP∥AB；
(2)试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；
(3)若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
参考答案
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章
圆
单元复习同步练习题
一、选择题
1、如图，AB，CD是⊙O的直径，＝.若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是(D)
A．32°
B．60°
C．68°
D．64°
2、如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为(A)
A.
B.
C．2
D．2
3、如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AC的长为(C)
A．3
B．2
C.
D．3
4、一根水平放置的圆柱形输水管的横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是(C)
A．8米
B．6米
C．5米
D．4米
5、如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠ABE＋∠ECD的度数为(B)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6、如图，从一块直径为2
m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A)
A.
m2
B.π
m2
C．π
m2
D．2π
m2
7、如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC.P为⊙O上任意一点，连接PA，PB.若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为(C)
A．1
B.
C.
D.
8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E.若CD＝，则图中阴影部分面积为(B)
A．4－
B．2－
C．2－π
D．1－
二、填空题
9、如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE.若AE＝4，则四边形ABCD的面积为8．
10、如图，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠COD的度数是120°．
11、如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为115°．
12、如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是28°．
13、如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为π－．
三、解答题
14、如图，△ABE内接于⊙O，过直径AB上的点G作弦CD⊥AB，交AE于点F，连接AD，DE.
求证：
△ADF∽△AED.
证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝.
∴∠ADF＝∠AED.
∵∠FAD＝∠DAE，
∴△ADF∽△AED.
15、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点P.求证：△ABD∽△DCP.
证明：
连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD.
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°.
∵DP为⊙O的切线，
∴PD⊥OD.
∴PD∥BC.
∴∠ACB＝∠P.
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P.
∵∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠DCP＝
180°，
∴∠ABD＝∠DCP.
∴△ABD∽△DCP.
16、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE.
(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)当＝时，求tanE.
解：(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°－∠DBC.
由题意知：DE是直径，
∴∠DBE＝90°.
∴∠E＝90°－∠BDE.
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDE.∴∠ABD＝∠E.
∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEB.
(2)∵AB∶BC＝4∶3，
∴设AB＝4a，BC＝3a，
∴AC＝＝5a.
∵BC＝CD＝3a，
∴AD＝AC－CD＝2a.
由(1)可知：△ABD∽△AEB，
∴＝.
在Rt△DBE中，
tanE＝＝＝＝.
17、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，CE＝2，求的长度．(结果保留π)
解：(1)连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO.
∴∠DAE＝∠ADO.∴OD∥AE.
∵AE⊥EF，∴OD⊥EF.
又∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
(2)作OG⊥AE于点G，连接BD，
则AG＝CG＝AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°.
∴四边形ODEG是矩形．
∴OA＝OB＝OD＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°.
∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，
∴△ADE∽△ABD.
∴＝，即＝.
∴AD＝4.
在Rt△ABD中，cos∠BAD＝＝＝，
∴∠BAD＝30°.∴∠BOD＝60°.
则的长度为＝π.
18、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
解：(1)连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO.
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD.
∴∠ADO＝∠DAE.∴OD∥AE.
∵DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°.
∴∠ODE＝180°－∠E＝90°.
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)∵OF＝1，BF＝2，
∴OD＝OB＝3.
∵DF⊥AB，∴在Rt△ODF中，DF2＝CD2－OF2＝8.
在Rt△BDF中，BD＝＝2.
19、如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E.
(1)求证：＝；
(2)若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点(点F在线段PQ上)，求PQ的长．
解：(1)证明：∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD.
∴∠OBC＝∠CBD.∴＝.
(2)连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4.
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC.
又∵∠ACE＝∠ACB.
∴△ACE∽△BCA.∴＝.
∴AC2＝CB·CE＝4×1.∴AC＝2.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴AB＝＝2.
∴⊙O的半径为.
(3)过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°.
∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA.
∴△APC∽△CPB.
∴＝＝＝＝.
∴PC＝2PA，PC2＝PA·PB.
∴4PA2＝PA×(PA＋2)．
∴PA＝.
∴PO＝.
∵PQ∥BC，
∴∠CBA＝∠BPQ.
又∵∠PHO＝∠ACB＝90°.
∴△PHO∽△BCA.
∴＝＝，
即＝＝＝.
∴PH＝，OH＝.
∴HQ＝＝.
∴PQ＝PH＋HQ＝.
20、如图，AB为⊙O直径，C，D是⊙O上的点，连接CB并延长与AD所在直线交于点F，EF⊥AB，垂足为E，连接CE，且CE＝EF.
(1)证明：CE与⊙O相切；
(2)若AE＝8，tan∠BCE＝，求AD的长度．
解：(1)证明：连接OC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°.
∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°.
∴∠ACB＝∠AEF.
∵∠ABC＝∠EBF，∴∠CAB＝∠EFB.
∵CE＝EF，∴∠ECF＝∠EFC.
∴∠CAB＝∠ECF.
∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠ACO.
∴∠ACO＝∠ECF.
∴∠ACO＋∠BCO＝∠BCO＋∠ECF＝90°.
∴∠OCE＝90°.
又∵OC是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切．
(2)∵∠CAB＝∠BCE，
∴tan∠BCE＝tan∠CAB＝＝.
∵∠CEA＝∠AEC，∴△ACE∽△CBE.
∴＝＝.
∵AE＝8，∴CE＝4.
∴EF＝CE＝4.
∵∠EFB＝∠CAB，
∴在Rt△BEF中，BE＝EF·tan∠EFB＝2.
∴AB＝AE－BE＝6.
连接BD，
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°.
∴tan∠BAD＝＝＝.
设AD＝2k，BD＝k，
∴AB＝k＝6.∴k＝.
∴AD＝2k＝.
21、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)求证：CG＝BG；
(3)若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．
解：(1)证明：连接OC，
∵∠A＝∠CBD，
∴＝.
∴OC⊥BD.
∵CE∥BD，∴OC⊥CE.
又∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
(2)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠CFB＝90°.
∵∠ABC＝∠CBF，∴∠A＝∠BCF.
∵∠A＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD.
∴CG＝BG.
(3)连接AD，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
∵∠DBA＝30°，∴∠BAD＝60°.
∵＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°.
∴＝tan30°＝.
∵CE∥BD，∴∠E＝∠DBA＝30°.
∴AC＝CE.
∴＝.
∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝30°，
∴∠BCE＝30°.
∴BE＝BC.∴△CGB∽△CBE.
∴＝＝.
∵CG＝8，∴BC＝8.
∴BE＝8.
22、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.
(1)求证：DP∥AB；
(2)试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；
(3)若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
解：(1)证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°.
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°.
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，即∠ODP＝90°.
∴∠AOD＋∠ODP＝180°.
∴DP∥AB.
(2)BF－AE＝EF，证明如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°.
∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AED＝∠BFD＝90°.
∴∠FBD＋∠BDF＝90°.
∴∠FBD＝∠ADE.
∵∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.
在△ADE和△DBF中，
∴△ADE≌△DBF(AAS)．
∴BF＝DE，AE＝DF.
∴BF－AE＝DE－DF＝EF.
(3)在Rt△ACB中，AB＝＝10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝＝＝5.
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形．
∴AE＝CE＝＝＝3.
在Rt△AED中，DE＝＝(5)2－(3)2＝4，
∴CD＝CE＋DE＝3＋4＝7.
∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，
∴△PDA∽△PCD.
∴＝＝＝＝.
∴PA＝PD，PC＝PD.
又∵PC＝PA＋AC，
∴PD＋6＝PD，解得PD＝.
圆
单元复习同步练习题
一、选择题
1、如图，AB，CD是⊙O的直径，＝.若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是(
)
A．32°
B．60°
C．68°
D．64°
2、如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为(
)
A.
B.
C．2
D．2
3、如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AC的长为(
)
A．3
B．2
C.
D．3
4、一根水平放置的圆柱形输水管的横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是(
)
A．8米
B．6米
C．5米
D．4米
5、如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠ABE＋∠ECD的度数为(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6、如图，从一块直径为2
m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(
)
A.
m2
B.π
m2
C．π
m2
D．2π
m2
7、如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC.P为⊙O上任意一点，连接PA，PB.若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为(
)
A．1
B.
C.
D.
8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E.若CD＝，则图中阴影部分面积为(
)
A．4－
B．2－
C．2－π
D．1－
二、填空题
9、如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE.若AE＝4，则四边形ABCD的面积为______．
10、如图，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠COD的度数是______．
11、如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为______．
12、如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是______．
13、如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为______．
三、解答题
14、如图，△ABE内接于⊙O，过直径AB上的点G作弦CD⊥AB，交AE于点F，连接AD，DE.
求证：
△ADF∽△AED.
15、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点P.求证：△ABD∽△DCP.
16、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE.
(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)当＝时，求tanE.
17、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，CE＝2，求的长度．(结果保留π)
18、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
19、如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E.
(1)求证：＝；
(2)若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点(点F在线段PQ上)，求PQ的长．
20、如图，AB为⊙O直径，C，D是⊙O上的点，连接CB并延长与AD所在直线交于点F，EF⊥AB，垂足为E，连接CE，且CE＝EF.
(1)证明：CE与⊙O相切；
(2)若AE＝8，tan∠BCE＝，求AD的长度．
21、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)求证：CG＝BG；
(3)若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．
22、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.
(1)求证：DP∥AB；
(2)试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；
(3)若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
参考答案
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章
圆
单元复习同步练习题
一、选择题
1、如图，AB，CD是⊙O的直径，＝.若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是(D)
A．32°
B．60°
C．68°
D．64°
2、如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为(A)
A.
B.
C．2
D．2
3、如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AC的长为(C)
A．3
B．2
C.
D．3
4、一根水平放置的圆柱形输水管的横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是(C)
A．8米
B．6米
C．5米
D．4米
5、如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是上任意一点，则∠ABE＋∠ECD的度数为(B)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6、如图，从一块直径为2
m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A)
A.
m2
B.π
m2
C．π
m2
D．2π
m2
7、如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC.P为⊙O上任意一点，连接PA，PB.若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为(C)
A．1
B.
C.
D.
8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E.若CD＝，则图中阴影部分面积为(B)
A．4－
B．2－
C．2－π
D．1－
二、填空题
9、如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE.若AE＝4，则四边形ABCD的面积为8．
10、如图，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠COD的度数是120°．
11、如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为115°．
12、如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是28°．
13、如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为π－．
三、解答题
14、如图，△ABE内接于⊙O，过直径AB上的点G作弦CD⊥AB，交AE于点F，连接AD，DE.
求证：
△ADF∽△AED.
证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝.
∴∠ADF＝∠AED.
∵∠FAD＝∠DAE，
∴△ADF∽△AED.
15、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点P.求证：△ABD∽△DCP.
证明：
连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD.
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°.
∵DP为⊙O的切线，
∴PD⊥OD.
∴PD∥BC.
∴∠ACB＝∠P.
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P.
∵∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠DCP＝
180°，
∴∠ABD＝∠DCP.
∴△ABD∽△DCP.
16、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE.
(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)当＝时，求tanE.
解：(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°－∠DBC.
由题意知：DE是直径，
∴∠DBE＝90°.
∴∠E＝90°－∠BDE.
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDE.∴∠ABD＝∠E.
∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEB.
(2)∵AB∶BC＝4∶3，
∴设AB＝4a，BC＝3a，
∴AC＝＝5a.
∵BC＝CD＝3a，
∴AD＝AC－CD＝2a.
由(1)可知：△ABD∽△AEB，
∴＝.
在Rt△DBE中，
tanE＝＝＝＝.
17、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，CE＝2，求的长度．(结果保留π)
解：(1)连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO.
∴∠DAE＝∠ADO.∴OD∥AE.
∵AE⊥EF，∴OD⊥EF.
又∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
(2)作OG⊥AE于点G，连接BD，
则AG＝CG＝AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°.
∴四边形ODEG是矩形．
∴OA＝OB＝OD＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°.
∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，
∴△ADE∽△ABD.
∴＝，即＝.
∴AD＝4.
在Rt△ABD中，cos∠BAD＝＝＝，
∴∠BAD＝30°.∴∠BOD＝60°.
则的长度为＝π.
18、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
解：(1)连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO.
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD.
∴∠ADO＝∠DAE.∴OD∥AE.
∵DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°.
∴∠ODE＝180°－∠E＝90°.
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)∵OF＝1，BF＝2，
∴OD＝OB＝3.
∵DF⊥AB，∴在Rt△ODF中，DF2＝CD2－OF2＝8.
在Rt△BDF中，BD＝＝2.
19、如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E.
(1)求证：＝；
(2)若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点(点F在线段PQ上)，求PQ的长．
解：(1)证明：∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD.
∴∠OBC＝∠CBD.∴＝.
(2)连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4.
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC.
又∵∠ACE＝∠ACB.
∴△ACE∽△BCA.∴＝.
∴AC2＝CB·CE＝4×1.∴AC＝2.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴AB＝＝2.
∴⊙O的半径为.
(3)过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°.
∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA.
∴△APC∽△CPB.
∴＝＝＝＝.
∴PC＝2PA，PC2＝PA·PB.
∴4PA2＝PA×(PA＋2)．
∴PA＝.
∴PO＝.
∵PQ∥BC，
∴∠CBA＝∠BPQ.
又∵∠PHO＝∠ACB＝90°.
∴△PHO∽△BCA.
∴＝＝，
即＝＝＝.
∴PH＝，OH＝.
∴HQ＝＝.
∴PQ＝PH＋HQ＝.
20、如图，AB为⊙O直径，C，D是⊙O上的点，连接CB并延长与AD所在直线交于点F，EF⊥AB，垂足为E，连接CE，且CE＝EF.
(1)证明：CE与⊙O相切；
(2)若AE＝8，tan∠BCE＝，求AD的长度．
解：(1)证明：连接OC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°.
∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°.
∴∠ACB＝∠AEF.
∵∠ABC＝∠EBF，∴∠CAB＝∠EFB.
∵CE＝EF，∴∠ECF＝∠EFC.
∴∠CAB＝∠ECF.
∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠ACO.
∴∠ACO＝∠ECF.
∴∠ACO＋∠BCO＝∠BCO＋∠ECF＝90°.
∴∠OCE＝90°.
又∵OC是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切．
(2)∵∠CAB＝∠BCE，
∴tan∠BCE＝tan∠CAB＝＝.
∵∠CEA＝∠AEC，∴△ACE∽△CBE.
∴＝＝.
∵AE＝8，∴CE＝4.
∴EF＝CE＝4.
∵∠EFB＝∠CAB，
∴在Rt△BEF中，BE＝EF·tan∠EFB＝2.
∴AB＝AE－BE＝6.
连接BD，
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°.
∴tan∠BAD＝＝＝.
设AD＝2k，BD＝k，
∴AB＝k＝6.∴k＝.
∴AD＝2k＝.
21、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)求证：CG＝BG；
(3)若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．
解：(1)证明：连接OC，
∵∠A＝∠CBD，
∴＝.
∴OC⊥BD.
∵CE∥BD，∴OC⊥CE.
又∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
(2)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠CFB＝90°.
∵∠ABC＝∠CBF，∴∠A＝∠BCF.
∵∠A＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD.
∴CG＝BG.
(3)连接AD，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
∵∠DBA＝30°，∴∠BAD＝60°.
∵＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°.
∴＝tan30°＝.
∵CE∥BD，∴∠E＝∠DBA＝30°.
∴AC＝CE.
∴＝.
∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝30°，
∴∠BCE＝30°.
∴BE＝BC.∴△CGB∽△CBE.
∴＝＝.
∵CG＝8，∴BC＝8.
∴BE＝8.
22、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.
(1)求证：DP∥AB；
(2)试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；
(3)若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
解：(1)证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°.
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°.
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，即∠ODP＝90°.
∴∠AOD＋∠ODP＝180°.
∴DP∥AB.
(2)BF－AE＝EF，证明如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°.
∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AED＝∠BFD＝90°.
∴∠FBD＋∠BDF＝90°.
∴∠FBD＝∠ADE.
∵∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.
在△ADE和△DBF中，
∴△ADE≌△DBF(AAS)．
∴BF＝DE，AE＝DF.
∴BF－AE＝DE－DF＝EF.
(3)在Rt△ACB中，AB＝＝10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝＝＝5.
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形．
∴AE＝CE＝＝＝3.
在Rt△AED中，DE＝＝(5)2－(3)2＝4，
∴CD＝CE＋DE＝3＋4＝7.
∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，
∴△PDA∽△PCD.
∴＝＝＝＝.
∴PA＝PD，PC＝PD.
又∵PC＝PA＋AC，
∴PD＋6＝PD，解得PD＝.