人教版版九年级上册第二十二章 一元二次方程全章学案
文档属性
| 名称 | 人教版版九年级上册第二十二章 一元二次方程全章学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 344.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-02-05 13:05:06 | ||
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文档简介
第二十二章 一元二次方程
第1课时 一元二次方程的概念
1、一元二次方程的概念:
方程的两边都是整式，只含有 未知数（一元），并且未知数的 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。
3、下列方程中是一元二次方程的有：_________(填序号)
①（x-1）(2x+1)=3 ② ③ ④
4、一元二次方程的一般式为_________________，其中二次项系数为_____，一次项系数为________，常数项为________。
5、若关于X的方程是一元二次方程，则的取值范围___________。
自主探究:
（一）探索一元二次方程的概念
问题1、一个长方形的长比宽多2，面积为100，求这个长方形的长。
分析：设长方形的长为x，则宽可以表示为 ，依据题意可以列方程 。
假如我们能解出这个方程，我们就可以解决这个实际问题了！
问题2、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要进行一场比赛。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：依据“赛程计划安排7天，每天安排4场比赛”这个条件，可知共有 场比赛。
若设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，依据“参赛的每两个队之间都要进行一场比赛”可知每个队要赛 场（用含x的式子表示），由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛用含x的式子表示共 场。于是可以列出方程为 。
假如我们能解出这个方程，我们就可以解决这个实际问题了！
观察与思考：
问题1、这两个方程与已经学过的一元一次方程相比，有哪些相同点和不同点？
相同点： ； 。
不同点： 。
问题2、这样的方程有哪些共同点？你能给这样的方程取一个名字吗？
； ；
。
问题3、你能再写几个这样的方程吗？
例如：
问题4、下面的这些方程是一元二次方程吗？为什么？
（1） （2） （3）3x2=0 （4）
（5） （6） （7）
（二）一元二次方程的一般形式
问题1、将问题1中的方程变为右边为0，左边按x的降幂排列的方程是 。
将问题2中的方程变为右边为0，左边按x的降幂排列的方程是 。
总结：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理（去括号、移项、合并同类项等），都能化成 ，这种形式叫一元二次方程的一般形式。其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 叫一次项系数； 是常数项。
问题2、一定是一元二次方程吗？在一般形式中，二次项系数a是否可以等于0？
（三）请你来试一试：
问题1、将方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
思路分析：应用单项式乘以多项式，移项、合并同类项使方程右边为零。
解题过程：
问题2、若关于x的方程是一元二次方程，则m= 。
思路分析：利用二次项系数不为零来解答
解题过程：
能力提升:
完成课本27页练习1、2
解题过程：第1题 第2题
完成课本28页习题1、2、5、6、7
第1题 第2题 第5题
第6题 第7题
当堂检测：
1、已知方程：（1）；（2）；（3）；（4）
（5） ；（6）。其中是一元二次方程的有 。
2、你能说一说下列方程的二次项系数、一次项、常数项分别是多少吗？
方 程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3、方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A 任何实数 B C D
4、一个等腰直角三角形，斜边比直角边长2cm，设斜边长为xcm，列方程为 ，
化为一般形式为 。
5、4个完全相同的正方形的面积之和是25，设正方形的边长是x，列方程为 ，
化为一般形式为 。
6、把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方。设较短一段的长为x，列方程为 ，化为一般形式为 。
7、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600。那么铁皮各角应切去多大的正方形
设切去的正方形的边长为xcm，列方程为 ，化为一般形式为 。
第2时 一元二次方程的根
课前预习2：
一、创境激趣:
问题1、如右图一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？
设梯子底端距墙为xm，那么根据题意，
可得方程为____________________
整理，得_______________________
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
问题2：一个面积为120的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽是多少？
设苗圃的宽为xm则长为_________m，
根据题意，得____________________
整理，得_______________________
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
二、自主探究：
思考下列问题：
问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？
学生交流后得出结论：问题1中__________是的解，问题2中________
是的解。
（3）如果抛开实际问题，问题1中还有________解，问题2中还有______解。
小结：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根。由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解。
三、能力提升：
下面哪些数是方程的根
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
思路分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式使等式两边相等即可.
解题过程:
试写出下面方程的根,你能写出几个
⑵ ⑶
思路分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义.
解答:(1) (2) (3)
3．完成教材28页习题22.1第3、4、8、9题。
第3题： 第4题：
第8题： 第9题：
当堂检测：
（1）方程的两根为 （ ）
A． B. C. D.
（2）如果，那么的两个根分别是 ____ ____
（3）已知方程的一个根是x=3，则m的值是
（4）如果x=1是方程的一个根，求的值。
（5）如果关于x的一元二次方程（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根。
22.2降次——解一元二次方程
第1课时 直接开平方法
课前预习1：
1.方程是______方程,其中二次项系数是____,一次项系数是___,常数项是____.
2.一个数的平方根是±,则这个数是________.
3.将下列代数式写成平方的形式
(1)______, (2)_____________
(3)_______, (4)____________
4.一元二次方程的根为 ( )
A.x=2 B.x=-2 C. D. x=4
5.方程的根的情况是( )
A. B. C. D. 没有实数根
6.如果方程能化成或_______的形式,那么可得或,这种解方程的方法叫做______________.
课前预习2:
一、创境激趣:
1．自主学习教材本节的问题1，化简整理得方程__________,根据平方根的意义直接开平方得__________.
2.根据上面解方程的过程,你能求出方程(1)和(2)的根吗
二、自主探究:
通过比较它们与方程的异同,从而获得了解一元二次方程的思路,
试一试解方程(1) (2)
思路分析:利用类比思想,注意正数的平方根的个数.
解题过程: (1)
解:第一步:方程两边开平方: 2x-1=_________
第二步:转化为两个一元一次方程:2x-1=_____或2x-1=______
第三步:解两个方程得 ∴_________,_________
(2)
解:第一步：方程左边是完全平方式： ____________=2
第二步：方程两边开平方： ____________=
第三步：转化为两个一元一次方程：_______=____,或______=___
第四步：解两个方程得 ∴____,_____
本题小结:以上方程在解法上有什么类似的地方 小组交流.
归纳:(1)用直接开平方法解形如（p≥0）的方程,那么x=______,
(2)转化为用直接开平方法解形如（p≥0）的方程,那么mx+n=______
三、能力提升:
1.完成教材31页练习
解题过程：（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2.完成教材42页习题22.2第1题
解：（1） （2）
（3） （4）
3.当堂检测：
（1）若，则x的值是_____________
（2）如果方程，那么这个一元二次方程的两根是___________
(3)如果a、b为实数，满足，那么ab的值是________
(4)解关于X的方程
思路分析:注意对n值进行讨论，因为负数没有平方根。
解题过程：
22.2.1配方法（第2课时）
课前预习1：
忆一忆
在上节课，我们学习了直接开平方法解一元二次方程，如，你会解吗？
若方程的左边不是完全平方式的方程，我们该怎么办？如？
找一找
观察下列式子，你能发现其中的规律吗？
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
规律：当二次项系数为1时，配方时所加的常数项是一次项系数一半的平方。
练一练
（1） （2）
（3） （4）
（四）试一试
解方程
课前预习2：
一、创境激趣:
问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，
蹦蹦跳跳树林里，其余十二叽叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起。”
大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，
那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？
问题2：教材31页问题2
二、自主探究:
分析问题1：设共有x只猴子据题 意得方程：_________________________
整理为一般式得：________________________
分析问题2：设场地宽为xm，长为________m，根据长方形面为16
列方程：__________________________
整理为一般式得：________________________
思考上面形式的两个方程，它们与上节课遇到的方程有何不同？学生讨论。
学一学：解方程
思路分析：对比前面讨论过的方程，左边是含x的完全平方式，右边是非负数，可直接降次解方程。
解题过程：
1.移项: _____ （把常数项移到方程的右边;）
2.配方: ______+____ (方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方);
3.变形: (方程左分解因式,右边合并同类;)
4.开方: (根据平方根意义,方程两边开平方;)
5.求解: (解一元一次方程;)
6.定解: (写出原方程的解).
本题小结：
像上面这样通过配成_________来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
练一练：
完成教材34页练习2
（2）
(5) (6)
想一想：当二次项系数为1时，我们知道了如何配方解一元二次方程，那么当二次项系数不为1时如该怎么办？你能想出办法吗？
学一学：
解方程
解：
1.化1: （把二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数);
2.移项: （把常数项移到方程的右边）;
3.配方: （方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;）
4.变形: （方程左边分解因式,右边合并同类;）
5.开方: （根据平方根意义,方程两边开平方;）
6.求解: （解一元一次方程;）
7.定解: （写出原方程的解）.
试一试：完成教材34页练习2
（3） （4）
三、能力提升:
1、完成教材34页练习1（做在书上）
2、完成教材42页习题2、3.（第2题做在书上）
3（1） （2）
（3） （4）
当堂检测：
（1）将二次三项式配方后得 （ ）
A. B. C. D.
(2)已知左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（3）方程的解是__________________________
(4)代数式的值为0，则x的值为___________
(5)已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，求这个三角形的周长。
22.2.1配方法（第3课时）
课前预习1：
1.填空：（二次三项式的配方）
(1) (2)
(3) (4)
2.用配方使下列等式成立.
(1) (2)
3.用配方法解方程
课前预习2:
一、创境激趣:
一小球以15米/秒的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒）满足关系：
，问小球所达到的最大高度是多少米？
想解决这一问题就必需先掌握二次三项式的配方。
二、自主探究:
读一读：将二次三项式化为的形式
思路分析：代数式中的配方与解方程中的配方略有不同，代数式中的配方是恒等变形，为使二次项系数为1，
各项需提出二次项系数，配方时加上一次项系数的一半的平方,再减去同样的数,使代数式的值保持不变.
解题过程: 阅读后你能应用上述方法将代数式
= 化成的形式吗
= 解题过程:
=
=
=
=
欣赏应用该知识解决小球达到最大高度问题
∵
∴
∴小球所能达到的最大高度是米.
努力尝试: 用配方法证明的值恒小于0.
思路分析:本题不是用配方法解一元二次方程,但所用的配方法思想与已学的配方法大同小异,即思路一致.
证明:
相信你一定行:用配方法求的最大值.
当堂检测:
1.试用配方法说明:代数式的值不小于
2．试比较与0的大小，并说明理由。
3．试说明整式的值不小于1
22.2.2 公 式 法
第1课时 一元二次方程根的判别式
课前预习1：
1、一般的，式子 ___________ 叫做方程a x+bx+c=0 (a≠0)的判别式.
2、 一元二次方程a x+bx+c=0 (a≠0) 当____________时方程有两个不相等的实数根；
②当____________时方程有两个相等的实数根；当___________时方程没有实数根.
课前预习2：
一、创境激趣
丛明同学在课前预习过程中，对下列方程 x+x－1=0 x－x+2=0
x= 3x－1没有求根之前就很快说出方程根的情况，你知道这是为什么吗？你想成为同他一样聪明的学生吗？让我们一起起航吧！
二、自主探索
（一）一元二次方程根的判别式
试一试：你能用配方法求一元二次方程a x+bx+c=0(a≠o)的解吗？
a x+bx+c=0(a≠0)
移项，得 ______________________________________
二次项系数化为1，得 _______________________________________
配方法，得 x+ +_________=+ __________
即： ( )=________________
思考：能否直接开平方运算呢？为什么？____________________________________
分析：因为a≠0，所以4 a____0. 值的符号由____________来决定．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（１）当b2－4ac＞0时，方程根的情况如何？
（当b2－4ac＞0时，方程右边是一个_____数，因此由得：ｘ+=_________
ｘ=___________即：x1=_______x2= ________所以：方程有________实数根.）
(2) 当b2－4ac=0时，方程根的情况如何？
（当b2－4ac=0时，方程右边是________，因此由得:ｘ+=_____________
ｘ=_____________即：x1= x2 = __________所以：方程有____________实数根.）
(3) 当b2－4ac＜0时，方程根的情况如何？
（当b2－4ac＜0时，方程右边是一个_____数，而根据平方根的性质，______数是没有平方根的，所以方程 __________实数根.）
一般地，式子b2－4ac叫做方程a x+bx+c=0 (a≠o)根的_______,通常用希腊字母______表示它，即△=_________.
归一归：根据以上分析你能总结出一元二次方程a x+bx+c=0 (a≠0)根的情况吗？
一元二次方程a x+bx+c=0(a≠0)
1.当____________时，方程有__________________实数根.
2.当____________时，方程有__________________实数根.
3.当____________时，方程____________________实数根.
反过来也成立，这就是判别式定理的内容.
（二）一元二次方程根的判别式的应用
用一用：不解方程判别下列方程根的情况.
（1）2 x+ 3x－4＝0 （2）16 y+ 9＝24y （３） 5(x+1) －7x＝0
思路分析：要判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了.
（注意：要将方程先整理成一般形式，再确定a,b,c的符号）
解：（１）∵a=_____,b=____,c=_____
∴ b2-4ac=__________=_____ _____0
∴ 方程有___________实数根
（2）
（3）
做一做：你现在可以完成丛明同学做过的三道题了吧！相信你比他更聪明！
解：（1） （2） （3）
练一练：完成教材42页习题第4题.
（1） (2) (3) (4)
三、能力提升
相信你已经掌握了本节的知识，还想再次挑战自己吗？不妨尝试一下吧！
问题1：关于x的方程m+ m + 1=0有两个相等的实数根，求m的值.
思路分析：因为方程有两个相等的实数根，所以△=0，从而可得到m的值.
（注意：二次项的系数不为0.）
问题2 : k为任意实数，试说明关于x的方程x－kx+(k－2)=0恒有两个不相等的实数根.
思路分析：只要能证明k为任意实数时，△＞0即可.
当堂检测：
1、已知关于x的一元二次方程x－m=2x有两个不相等的实数根 ，则m的取值范围是______
2、关于x的一元二次方程x－4x+c=0有实数根，则c的取值范围为（ ）
A. c＞4 B. c＜4 C. c≥4 D.c≤4
3、 关于x的方程(a-6) x－8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A. 6 B. 1 C. 8 D. 9
4、已知关于x的方程x－mx+m－3=0 ( )
A.一定有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.一定有两个相等的实数根 D.以上说法都不正确
5、写出一个有实数根的一元二次方程______________________________．
6、已知关于x的方程x－(2k+1)x+4（k－）=0
求证：无论k取何值时，这个方程总有实数根.
22.2.2 公式法
第2课时 公式法（1）
课前预习１：
我们用配方法解一元二次方程ax+ bx +c = 0（a≠0, ≥0 ）时，可得方程的根为x=___________.
由此，我们可以得一元二次方程ax+ bx +c =0（a≠0 ） 的求根公式：x=_____________________（≥0 ）
利用求根公式，由一元二次方程中的系数a、b、c 的值，直接求出方程的根，这种解方程的方法叫做_______．
2、方程2x-7x -4 = 0中，a = ______，b=_____，c=______，= ______.
3、方程2x+ 8 = 9x ，其中a = _____，b=______，c= _____，利用求根公式可得到方
程的根为x1= __________________ x2=__________________.
课前预习２：
一、创境激趣
你已经掌握了几种解一元二次方程的方法呢？还想了解其它的解法吗？
二、自主探究
（一)求根公式的推导：
小试身手：我会用配方法解一元二次方程ax+ bx +c = 0 （a ≠0 ）
ax+ bx +c = 0 （a ≠0 ）
解：移项，得______________________________
二次系数化为1，得____________________
配方，得______________________________
即：__________________________________
a ≠ 0 ，∴ a> 0 , ∴4a> 0
∴当b- 4ac≥0即≥0时，是 _______数
根据平方根的定义，得x + = __________ ∴x = _____________________
这个式子叫做一元二次方程ax+bx +c = 0 （a ≠0 ）的__________,
解方程时，把各系数直接代入求根公式求得方程的解的方法叫做______________.
由求根公式可得，一元二次方程最多有_____个实根.
(二)求根公式的应用
学以致用：用公式解下列方程
（1）x-3ｘ+2 = 0 （２）x+４x = -４ (3) x+ 8 = 5x
2、完成教材42页练习第5题的第（1）、（3）、（5）小题.
解:（1） （3） （5）
当堂检测
1、用公式法解方程－3 x+ 5x =1可先将其整理为_____________,再求出=_____从而求出方程的根ｘ＝________.
2、已知关于x的方程x－(a+2)x+1=0的=5，则a的值为_______________________.
3、用公式法解方程：4 x－12ｘ=3得到的解正确的是（ ）
A. ｘ＝ B.ｘ＝Cｘ＝D. ｘ＝
4、一元二次方程x+4x=2的正根为（ ）
A． 2－ B． 2+ C． －2－ D． －2+
5、关于x的一元二次方程(m－1) x+5x+ m－3m+2 = 0的一个根为0，则m的值等于（ ）
A． １ B． 2 C． １或２ Ｄ．０
６、已知方程5 x+kx－10=0的一根是－5，求k的值及另一根？
22.2.2 公式法
第3课时 公式法（2）
课前预习1：
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为_________________（条件：___________）
2、把方程（x+1）（ｘ-３）= 4x2 -7化为一般形式为_____________________其中
a = ____， b= _____， c=_____ = _____方程的根为_________．
3、方程2x-+1 = 0的根是（ ）
A． B． C． D． 无实数根
4、方程x＋2ｘ－4 = 0的根是____________（精确到0.001）
课前预习2：
一、创境激趣
回忆用公式法解一元二次方程的步骤是什么？你还能用公式法解决更复杂的一元二次方程吗？
自己去尝试一下吧！
二、自主探究
问题1：用公式法解下列方程：
（1）x（5x－3）= x+1 （2）x－x＋2 =0
思路分析：先将方程化为一般形式，再确定a 、 b 、 c 的值，然后利用公式求解.
（注意：a 、 b 、 c 的符号）
（1） (2)
练一练：用公式法解下列方程：
x－x－= 0 （2）x（2x－4）= 5－8x （3）x－x－= 0
（4）x（x－4）= 2－8x （5）x ＋x＋10 = 0
问题2：解方程x ＋x －1= 0 （结果精确到0.001)
思路分析：先利用求根公式求方程的解，再按要求取近似值.
当堂检测
方程（x+２）（ｘ-２）= x的解是 ______________________.
一元二次方程x2 +bx－6=0的一个根是x1 =，则b= _____它的另一个根x2 ＝_____.
马虎同学在解方程： x＋x=的过程如下：
解：a = ， b=， c=
∴ b－４ac= ()－４××=32
∴ ｘ= =
∴ x1= x2=
请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.
4、如果三角形的两边分别为1和2，第三边是方程2x2-5x+3=0 的根，求这个三角形的周长。
22.2.3 因式分解法
第1课时 因式分解法解方程（1）
课前预习1:
1、分解因式：
（1）x＋2x= __________ （2）4x－9=__________
（3）x＋6x＋9=__________ （4）－2（x－2）=__________
2、利用因式分解使一元二次方程化为两个_______的乘积等于__的形式，再使这两个_____分别等于_____，从而实现______，这种解法叫做因式分解法.
3、因式分解法的依据：如果ab=0,那么_________或_________
4、方程式（x－2）（x－3）=0的解是____________________
课前预习2：
一、创境激趣
在物理课堂上，老师提出下列问题，你能解决吗？请尝试一下吧！
问题：已知竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式h=v.t－g t，其中重力加速度g以9.8m/s计算，把一个小球从地面以v.=10m/s的初速度竖直上抛，你能计算出该小球经过多少秒落回到地面吗？（精确到0.01s）？
思路分析：小球落回地面即物体的高度h=0ｍ ，已知v.=10m/s，g=9.8m/s，h=0m，代入h=v.t－g t中得：10t－4.9 t= 0 ，你能求出10t－4.9 t= 0的解吗？
思一思：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程呢？
二、自主探究
（一）因式分解法的意义：
试一试：10t－4.9 t= 0 将方程左边分解因式得：____________= 0
这里，方程的左边是两个因式的积，而右边为零，形如a·b=0，这两个因式至少有一个为零，即a=0或b=0时，积才能为0；反过来如果两个因式有一个等于零，那么它们的积等于零，这就是说，解上式方程相当于解方程_______________=0或 _______________=0，分别解这两个方程得：t1 =_______________，t2=____________≈________
你能解释这两个根在问题中的实际意义吗？_________________________________________
归一归：这种利用因式分解使方程化为两个______的乘积等于___的形式，再使这两个_______分别等于____，从而实现______的解法叫做因式分解法.
(二) 因式分解法的应用：
问题1：直接写出下列方程的根
（1）（x＋3）（x－8）= 0 x1 =____，x2=____（2）5 x（x－6）= 0 x1 =____x2=____
（3）=0 x1 = x2 =____
问题2：用因式分解法解下列方程
（1） （－2）＋－2=0 （2）4 －1=0 （3）4 ＋4＋1=0
思路分析：先将方程左边分解成两个一次因式的乘积，再令每个因式分别为零，得两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
解：（1）因式分解得：（ ）（ ）= 0
所以，________=0或 ________= 0
∴原方程的解是x1 =___ x2=___
（2）
（3）
本题小结：
问题3：用因式分解法解下列方程
（1）＋t =1 （2） = （3）2 －3＋5= ＋＋1
思路分析：先把所给的一元二次方程的右边化为零,再按问题2中的解法即可求出方程的解.
解：（1）将原方程整理得：______________= 0
因式分解得:________= 0
所以：________= 0或________= 0
∴原方程的解是x1 =_____，x2=_____
（2）
（3）
本题小结：
归一归：你能总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
相信你已经掌握了本节的知识，现在去练练手吧！
练一练：
1、完成教材40页练习题第1题
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2、完成教材43页习题第6题
（1） （2） （3） （4）
当堂检测
1、若分式 的值为0，则x=________
2、方程 x－x=0 的根是________；方程（x－1）（x＋1）（x－3）=0的根是________
3、一元二次方程x（x－1）= x的解是________________
4、方程x（x＋3）= x＋3的解是 （ ）
A． x=1 B． x1 =0， x2=－3 C．x1 =1， x2=3 D． x1 =1，x2=－3
5、方程（x－5）（x＋2）=1的解为 （ ）
A． x=5 B． x =－2 C．x1 =5，x2=－2 D．以上都不对
６、经计算整式x－1与x＋5的积为x＋4x－5，则一元二次方程x＋4x－5=0的所有根是（ ）
Ａ．x1 =1， x2=5 B．x1 =1， x2=－5 C．x1 =－1，x2=5 D．x1 =－1，x2=－5
7、一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x－2）（x－4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或13 C．13 D．以上都不对
8、一元二次方程a x＋bx＋c=0 （a≠0）至少有一个根是零的条件是 （ ）
A．c=0 B．b=0 C．b=0且c=0 D．b≠0且c=0
9、一跳水运动员从10m高台上跳水，他跳下的高度h（单位：m）与所用的时间t（单位：s）的关系式h=－5（t－2）（t＋1），那么该运动员从起跳到入水所用的时间是多少？
22.2.3 因式分解
第2课时 因式分解法解方程（2）
课前回顾：
1、因式分解法的步骤是：把方程的右边____________;将左边化为两个_____________;令每一个因式_______________;解这两个________________;它们的解就是原方程的解.
2、因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程，体现了一种___________思想.
3、方程= x -1的根是（ ）
A. x=1 B. x1 =2 x2 =1 C. x1=-2 x2=-1 D. x1=2 x2=-1
课前预习：
一、创境激趣
在课后，我听到某小组的同学在议论“怎样的一元二次方程适合用因式分解法解呢？”你能帮助他们解决此问题吗？
__________________________________________________________________________
你能举例说明吗？______________________________________________________________
二、自主探究
因式分解法解一元二次方程的应用
问题：试用因式分解法解下列方程
（1）x(2-3x)+3x=2 （2）x2+3=3(x+1) （3）(x-5)(x+1)=-9 （4）x2-6x+9=(1-2x)2
思路分析：按照因式分解法解一元二次方程的步骤即可求出方程的解.
本题小结：
练一练：用因式分解法解下列方程
（1）2 (x-3) = -9 （2）5x(x+2)=4x+8 （3）(x+3)2=2x+6
（4）(x-)=4(-x) （5）9(x-2) =4(x+1) （6）（x+1）(x-2)=
做一做：
１、已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x-7) -10(x-7)=0的一个根，求这个三角形的周长.
2、已知一元二次方程(m-2)x+7mx+m-4=0有一根为0，求m的值及方程的另一根.
三、能力提升 （十字相乘法）
阅读下列材料，并解答问题：
因为：(x+1)(x+2)= x+3x+2, 所以x+3x+2=(x+1)(x+2)
因为：(x+1)(x-2)= x-x-2, 所以x-x-2=(x+1)(x-2)
因为：（x+a）（x+b）= x+(a+b)x+ab, 所以x+(a+b)x+ab=（x+a）（x+b）
请根据上面的分析思路与方法，用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）x+3x+2=0 （2）x-x-2=0 （3）x-5x+6=0 （4）x-x-6=0
当堂检测：
1、方程x2=x的解是__________
2解方程：（1） (x-3)2+2x(x-3)=0 （2）(2x-5)2-2x+5=0
3、若x+mx-15=(x+3)(x+n)，则m的值为（ ）
A. -5 B. 5 C. -2 D. 2
4、方程x-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A. 12 B. 12或15 C. 15 D. 不能确定
5、已知一元二次方程(m-1) x+5mx+ m+3m-4=0有一根为0，求m的值及方程的另一根？
22.2.3用适当的方法解一元二次方程
二、用适当的方法解下列方程：
（1）x2－2x＝0； （2）9－x2＝0； （3）(1－3x)2＝1； （4）4(2x＋3)2－25＝0. （5）（t－2）（t+1）=0； （6）x2＋8x－2＝0
(7 )2x2－6x－3＝0； （8）3（x－5）2＝2（5－x） （9）5x2=4x-1
课前预习2：
一、一元二次方程解法提高
问题1 解方程3y(y—1)＝2-2y．
思路分析：方程两边都有因式(y-1)，宜用分解因式法． 解题过程： 注意：将方程3y(y-1)＝-2(y-1)两边同除以(y-1)，得3y＝-2，解得,这种解法是错误的。错在何处？
问题2 解方程x2-6x-9991＝0．
思路分析：本题若用因式分解法，则要把9991分解成103×97，这不容易；若用求根公式法，运算量较大 解题过程：
问题3 解方程49x2-42x-1＝0．
思路分析：本题用求根公式法计算较繁． 解题过程：
问题4解方程
思路分析：本题化一般式比较麻烦．左边两个因式的形式类似，先考虑用换元法化简． 解题过程：
问题5解方程
思路分析：移项应用分解因式 解题过程：
问题小结： 由以上几题说明，解题时，仔细观察题目特点，这一步很重要．
二、巩固提高
1、填空：
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法______________________________
适合运用因式分解法_________________________________
适合运用公式法_____________________________________
适合运用配方法______________________________________
2.用适当的方法解下列方程
1）、 2）、
3）、 4）
5）、 6）、
三、能力提升
完成教材48页习题22.3第1题.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2.用配方法证明：关于x的方程（m -12m +37）x +3mx+1=0， 无论m取何值，此方程都是一元二次方程
3.（1）方程x2-2x+1=0的两个根为x1=x2=1， x1+x2=______x1x2=________；
（2）方程x2+5x-6=0的两个根为x1= -6, x2= 1, x1+x2=______x1x2=________；
（3）4x2+x-3=0的两个根为x1= , x2= -1, x1+x2=______x1x2=________；
由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系（第1课时）
课前预习1：
阅读教材P40 — 42 , 完成课前预习
1、知识准备
(1)一元二次方程一般式:
（2）一元二次方程的解法：
（3）一元二次方程的求根公式：
2、探究1：完成下列表格
方 程
2 5
x2+3x-10=0 -3
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②x2+px+q=0的两根,用式子表示你发现的规律。
探究2：完成下列表格
方 程
2x2-3x-2=0 2 -1
3x2-4x+1=0 1
问题：上面发现的结论在这里成立吗？
请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根,用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）
ax2+bx+c=0的两根= , =
= =
= =
= =
= =
练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
（1） （2） （3）
课前预习2：
一、练一练：
1、填出下列各方程的两根和与两根积
1） （__________） 2）（__________）
3） （__________） 4）（__________）
5） （__________） 6）（__________）
7）（__________） 8）（__________）
2、改错
（1）方程的两根和为9
（2） 方程的两根和为9
（3） 方程的两根积为
（4） 方程的两根积为
3、利用根与系数的关系，判断下列各方程后面括号内的两个数是不是该方程的根？
1） 2）
3） 4）
小结：
今天，我们学习了 ，知道若， 的两个根，则 ， ，
若两根互为倒数，则 ；若只有一个根为0，则 ， 。
二、能力提升：
课本42页练习
2.完成教材43页第7题.
3.已知方程的一个根为1，不解方程求方程的另一个根及m的值。
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系（第2课时）
课前预习1：
若是一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程为_______________________
2. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：
（1）二次项系数________，即保证是一元二次方程；
（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：
课前预习2：
自主学习：
已知方程一根，求另一根及未知系数：
问题1：
个根。
思路分析：
本题考查了对方程中的未知数和参数的认识，以及未知数与参数之间的互相转
x为未知数，k为参数的方程，但把x=2代入方程后，x由未知数转化为已知数，方程则转化为以k为未知数的方程了，实际上将通过解关于k的方程来求k的值。
解法一：
得________________________
解得 k=________
再代入原方程得一元二次方程____________________
解一元二次方程求得另一个根
阅读解法二：设另一个根为β，根据方程的根的意义及根与系数的关系，可列出方程组
即有
解这个方程组，得
剖析：事实上，本例如果把“求k的值”一问撤消，直接求“另一个根”，那么“求k的值”将成为解题者需主动采取的步骤，将能体现对能力的更高要求，值得注意。
练习：已知方程的一个根是2，求另一个根与未知系数。
不解方程，求某些代数式的值：
问题2：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．
解： 设方程的两个根是x1，x2，那么
（1）∵
∴=___________________=______.
(2)
开动脑筋，总结以下两点：
1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．
2．格式、步骤要求规范
第一步：求出x1+x2，x1x2的值．
第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．
第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．
练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）
已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，
∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．
∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．
由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2-（x1+x2）x+x1x2=0．
问题3：求一个一元二次方程，使它的两根是
解：所求方程是
即： ____________________或______________________ (化分数系数为整数系数)
练习：
1.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数。
2. 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
分析：此题可以通过列方程求得．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．
解：
问题4. 已知关于x的一元二次方程：
求：实数m的值。
分析：这道题是求待定系数的值，考查的知识是利用根与系数的关系，通过题目所给的等量关系得到关于m的一个方程，从而得到m的值。但还要考虑m值是否使得一元二次方程有两个实根.
解：
整理得：______________________
解得
下面考虑一元二次方程存在实根的条件是:
解得m的取值范围是__________
二、能力提升：
(一)、填空
1． 若方程(a≠0)的两根为，则= ，= __
2 ．方程 则= ，= __
3 ．若方程的一个根2，则它的另一个根为____ p=____
4 ．已知方程的一个根1，则它的另一根是____ m= ____
5 ．若0和-3是方程的两根，则p+q= ____
6 ．在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=_____，q=_____。
(二)、选择
1 ．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）
A. B. C. D.
2 ．若方程的两根中只有一个为0，那么 （ ）
A. p=q=0 B. P=0,q≠0 C. p≠0,q=0 D. p≠0, q≠0
(三)、解答题
1.不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x2-5x-10=0 （2）2x2+7x+1=0
（3）3x2-1=2x+5 （5）x（x-1）=3x+7
（5）x2-3x+1=0 (6)3x2- 2x=2
2．已知方程的一个根是 -3 ，求另一根及K的值。
3．已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值
4．已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根
是关于x的方程的两根的平方,则关于y的方程是__________
22.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题
列方程解实际问题的步骤：___________________________________________________.
在一次同学聚会上，同学见面时两两握一次手，共握28次手，设共有x名同学参加聚会，
则所列方程为_______________.
课前预习2：
一、创境激趣
“一传十，十传百，百传千千万……”这首歌大家都不会陌生吧！你知道吗？这里面还包含着一个数学问题，现在就来探究一下这个问题——传播问题.
二、自主探究
阅读教材45页的探究，完成分析中的填空，并回答：
根据题意可列方程：（1＋x）＋x（1＋x）=121,（1＋x）表示__________，x（1＋x）表示_________.
解方程，得x1 =_________，x2=_________
根据问题的实际意义，应取哪个根？____________________________
∴平均一个人传染了________个人.
想一想：如果按照这样的传染速度，三轮传染后会有多少人患流感呢？（请先列式再计算）
思一思：通过对这个问题的探究，你对“一传十，十传百，百传千千万……”这首歌里的数量关系有新的认识吗？
做一做：
1、完成课本43页习题第9题
2、完成课本48页习题第4、6题
完成课本53页复习题第7题
当堂检测
1、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
2、某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是73，求每个枝干长出了多少个小分支？
3、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮传染后，被感染的电脑会不会超过700台？
22.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 增长率、下降率问题
课前预习1：
1、增长率问题中的数量关系：第一年产量为a，平均每年增长率为x%，则第二年产量为________，第三年产量为________，第n年产量为_________________.
2、下降率问题中的数量关系：第一年产量为a，平均每年下降率为x%，则第二年产量为________，第三年产量为________,第n年产量为_________________.
3、某县2009年农民人均收入为7800元，计划到2011年农民人均收入达到9100元，设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程_______________________________________.
课前预习2：
一、创境激趣
数学来源于生活，又服务于生活，你能帮老百姓解决下列问题吗？
问题：为了解决老百姓“看病贵”的问题，卫生部门决定下调药品价格，某种药品经过连续两次降价后，零售价降为原来的一半，请求出这种药品平均每次降价的百分率？
相信你完成下列探究后，一定能解决此问题.
二、自主探究
探究：阅读教材46页探究2，回答下列问题.
（1）甲种药品成本的年平均下降额为__________，乙种药品成本的年平均下降额为_____________， 所以_____种药品成本的年平均下降额较大.
（2）从上面的年平均下降额的大小能说明年平均下降率的大小吗？_______ 你觉得应该怎样比较甲、乙两种药品成本的年平均下降率呢？__________________________.
（3）设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为_____________元，所以可列方程：_________________
解此方程得x1 ≈_____，x2≈____.根据问题的实际意义，应选择______理由_____________.
(4)设乙种药品成本的年平均下降率为y，仿照以上做法，求出乙种药品成本的年平均下
降率.
(5)通过计算，____种药品成本的年平均下降率较大，由此可得：成本下降额较大的药品，它的成本下降率也较大吗？应该怎样全面的比较几个对象的变化状况？
这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，它有一定的模式：
想一想：1、若a表示初始量，b表示连续增长两次后的量，x表示平均增长率，你能表示出它们的关系式吗？_______________________________________.
2、若a表示初始量，b表示连续下降两次后的量，x表示平均下降率，你能表示出它们的关系式吗？_______________________________________.
试一试：现在可以帮助老百姓解决药品降价率的问题了吧!
做一做：
1、教材43页习题第12题
2、教材48页习题第7题
3、教材53页习题第9题
当堂检测
1、某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材___________________立方米.
2、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________________________．
3、一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
4、2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100x+100 x2 = 250
5、上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大
22.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 面积问题
课前预习1：
1、用字母表示下列公式：
长方形面积公式_______________三角形面积公式_______________
平行四边形面积公式___________梯形面积公式_______________
正方形面积公式_______________菱形面积公式_______________
2、一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm2，若设直角三角形较短的一条边为xcm，则可列方程___________________.
3、一个长方形的长和宽相差3cm，面积是4 cm2，则这个长方形的长为___________cm，宽为____________cm.
课前预习2：
一、 创境激趣
一个朋友送我一幅长8dm,宽6dm的风景画，我想在这幅画的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅面积为80dm2的挂图，你能帮我设计出金色纸边的宽度吗？
二、自主探究
分析：若设金色纸边的宽度为xdm,则挂图的长为______dm,挂图的宽为______dm，挂图的面积可表示为________________dm2,又因为挂图的面积为80 dm2，则可列方程为：
__________________________________
解之得： x1=______________, x2=______________(舍去)
∴金色纸边的宽度应为_______________dm
探究：阅读教材47页的探究3并完成下列问题.
封面的长、宽之比为_______,根据题意中央的长方形的长、宽之比也应是________,由此可得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比为______.
设上、下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽为_______cm，则中央的长方形的长为_______cm，宽为________cm.
根据题意“四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”可得中央的长方形的面积是封面面积的_____所以，可列方程__________________________
解方程得： x1 =____≈_____ x2=____≈_____
根据实际意义，应取x≈_______
所以：上、下边衬的宽约为_________cm,左、右边衬的宽约为________cm.
你还有其它的解决办法吗 试试看.
解：设中央的长方形的长为9xcm, 宽为7xcm, 则可列方程
____________________________________
解方程，得 x1=____≈_____ x2=____≈_____
根据实际意义，应取x≈______________
∴上、下边衬的宽表示为______________,值约为_____cm.
左、右边衬的宽表示为______________,值约为_____cm.
做一做：
教材48页习题第8题.
2、教材48页习题第3题. 3、教材48页习题第5题.
4、教材49页习题第9题.
三、能力提升
1、教材43页习题第11题. 2、教材54页复习题第10题.
3、教材53页复习题第8题. 4、教材54页复习题第12题.
当堂检测
1、教材43页习题第8题. 2、教材53页复习题第5题.
3、教材53页复习题第6题. 4、教材54页复习题第11题.
本章小结
课前回顾：
1、方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：__________________（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
2、解一元二次方程的基本思路是______,它的方法有________________________________,将一元二次方程转化为____________。
因式分法
一元一次方程
一元二次方程 直接开平方
的解法 转化为 的形式
配方法
公式法 ___________________(______________)
3、一元二次方程的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，它没有实数根；其中，合称为方程有______．
4、关于的一元二次方程的两根分别为、则，
小结：用一元二次方程解决实际问题的步骤______________________________________
注意:一元二次方程的解要检验是否是实际问题的解.
课前预习:
专题一、一元二次方程及有关概念
问题1、方程是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A．m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
思路分析：一元二次方程必须满足三个条件，在解题中一定要注意隐含条件a≠0
变式题：若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 （ ）
m≠1 B.m≥0 C.m≥0且m≠1 D.m为任意实数
专题二、用适当的方法解一元二次方程
问题2、(1)（3x-1）2=9 (2) 3x2－1=6x （3) 2x2+5x－3=0 （4）x2＋7x＋12=0
专题三、含有字母系数的一元二次方程的根
问题3、解关于x的方程
x2＋mx＋2=mx2＋3x（m≠1）
思路分析：注意先将方程整理成一般形式，注意二次项系数，一次项系数及常数项的确定
解：
专题四、一元二次方程根的判别式的应用
问题4、求证方程(m－1)x2＋3mx＋m＋1＝0 (m≠1)，必有两个不相等的实数根．
问题5、 如 果 关 于x的 方 程 mx2-2（m+2）x+m+5=0 没有实数根， 那么关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实根有几个？
问题6、已知a、b、c是三角形的三边，求证：方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根．
思路分析：三角形三边关系的应用及一元二次方程无实数根的条件。
证明：
专题五、一元二次方程根与系数的关系应用
问题7、解某一元二次方程，甲抄错一次项，得根为-2和-3，乙抄错常数项，得根为6和-1，那么正确的方程应是____．
思路分析：应用两根之和和两之积来解决。
专题六、一元二次方程的应用
问题1、一个两位数,十位数与个位数字之和是5，把这个数的个位数与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．
问题2、一个长方形，它的长比宽的2倍还多1厘米，它的宽与另一正方形的边长相同，且这个长方形的面积比正方形的面积多72平方厘米，求此长方形与正方形的面积各是多少？
问题3、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1) 鸡场的面积能达到180m2吗 (2) 鸡场的面积能达到200m2吗
(3) 鸡场的面积能达到250m2吗 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
问题4、华润商场销售某种电视机，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元？
思路分析：如果设每台电视机降价x元，那么每台电视机的定价是_________元，每台电视机的销售利润为________________元，平均每天销售的数量为________________台，这样可列一个方程求解。
解题过程：
当堂检测：
1、填空：
（1）当m的值为_____时，方程是关于x的一元二次方程。
（2）已知一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≠1 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数
2、不解方程先和你的同伴交流一下方程3 x2-5x-2=0的解的情况，然后用不同的方法解方程(配方法，公式法)
3、完成教材53页复习题第1、2、3、4题。
第1题(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8)
第2题:
第3题:
第4题:
(1) (2) (3) (4)
4、已知关于方程的一个根是1，求它的另一个根及的值。
5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？
思路分析：本题考查销售利润问题，总利润=每件利润×销售件数，若设每件衬衫应降价x元，则现在每件盈利_________元，每件降1元，每天多售出2件，降价x元，则多售出____件，即现在每天售出__________件。
解题过程：
一元二次方程测试题
一、选择:(每题3分，共30分)
1、下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B.
C． D.
2、一元二次方程化为一般形式为（ ）
A. B.
C. D.
3、把方程配方，化为的形式应为（ ）
A. B. C. D.
4、方程x2+4x=2的正根为( )
A．2- B．2+ C．-2- D．-2+
5、方程x2＋2x-3＝0的解是( )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝-3 C．x1＝-1，x2＝3 D．x1＝-1，x2＝-3
6、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是( )
A．1 B．0 C．0或1 D．0或-1
7、关于x的一元二次方程x2＋kx-1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的同号实数根 B.有两个不相等的异号实数根
C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
8、已知、是方程的两个根，则代数式的值（ ）
A．37 B．26 C．13 D．10
9、直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程的实数根，则
该三角形的面积是（ ）
A．24 B. 24或30 C. 48 D. 30
10、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
二、填空:(每题3分，共18分)
1、填上适当的数，使等式成立：
；
2、方程 HYPERLINK "http://" 的解为
3、关于x的方程,当 时为一元二次方程;
当 时为一元一次方程.
4、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：______.
5、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为 .
6、参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会.列方程得 .
三、解答:
1、解方程（每小题3分，共12分）
（1） （2）
（3） （4）(2－1)2＝(3－)2
2、（5分）已知a、b、c均为实数，且，求方程
的根.
3、（6分）已知关于x的一元二次方程x2－（m－1）x＋m＋2＝0．
(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；
(2)若方程的两实数根之积等于m2－9m＋2，求的值．
4、（5分）如图：△ABC中，AB=6㎝，BC=8㎝，点P从A点开始沿AB边向点B以1㎝/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2㎝/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8㎝2？
5、（6分）小明将1000元存入银行，定期一年，到期后他取出600元后，将剩下部分(包括利息)继续存入银行，定期还是一年，到期后全部取出，正好是550元，请问定期一年的利率是多少？
6、（6分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
7、（6分）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元
8、（6分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
转化
蔬菜种植区域
前
侧
空
地
1
第1课时 一元二次方程的概念
1、一元二次方程的概念:
方程的两边都是整式，只含有 未知数（一元），并且未知数的 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。
3、下列方程中是一元二次方程的有：_________(填序号)
①（x-1）(2x+1)=3 ② ③ ④
4、一元二次方程的一般式为_________________，其中二次项系数为_____，一次项系数为________，常数项为________。
5、若关于X的方程是一元二次方程，则的取值范围___________。
自主探究:
（一）探索一元二次方程的概念
问题1、一个长方形的长比宽多2，面积为100，求这个长方形的长。
分析：设长方形的长为x，则宽可以表示为 ，依据题意可以列方程 。
假如我们能解出这个方程，我们就可以解决这个实际问题了！
问题2、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要进行一场比赛。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：依据“赛程计划安排7天，每天安排4场比赛”这个条件，可知共有 场比赛。
若设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，依据“参赛的每两个队之间都要进行一场比赛”可知每个队要赛 场（用含x的式子表示），由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛用含x的式子表示共 场。于是可以列出方程为 。
假如我们能解出这个方程，我们就可以解决这个实际问题了！
观察与思考：
问题1、这两个方程与已经学过的一元一次方程相比，有哪些相同点和不同点？
相同点： ； 。
不同点： 。
问题2、这样的方程有哪些共同点？你能给这样的方程取一个名字吗？
； ；
。
问题3、你能再写几个这样的方程吗？
例如：
问题4、下面的这些方程是一元二次方程吗？为什么？
（1） （2） （3）3x2=0 （4）
（5） （6） （7）
（二）一元二次方程的一般形式
问题1、将问题1中的方程变为右边为0，左边按x的降幂排列的方程是 。
将问题2中的方程变为右边为0，左边按x的降幂排列的方程是 。
总结：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理（去括号、移项、合并同类项等），都能化成 ，这种形式叫一元二次方程的一般形式。其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 叫一次项系数； 是常数项。
问题2、一定是一元二次方程吗？在一般形式中，二次项系数a是否可以等于0？
（三）请你来试一试：
问题1、将方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
思路分析：应用单项式乘以多项式，移项、合并同类项使方程右边为零。
解题过程：
问题2、若关于x的方程是一元二次方程，则m= 。
思路分析：利用二次项系数不为零来解答
解题过程：
能力提升:
完成课本27页练习1、2
解题过程：第1题 第2题
完成课本28页习题1、2、5、6、7
第1题 第2题 第5题
第6题 第7题
当堂检测：
1、已知方程：（1）；（2）；（3）；（4）
（5） ；（6）。其中是一元二次方程的有 。
2、你能说一说下列方程的二次项系数、一次项、常数项分别是多少吗？
方 程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3、方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A 任何实数 B C D
4、一个等腰直角三角形，斜边比直角边长2cm，设斜边长为xcm，列方程为 ，
化为一般形式为 。
5、4个完全相同的正方形的面积之和是25，设正方形的边长是x，列方程为 ，
化为一般形式为 。
6、把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方。设较短一段的长为x，列方程为 ，化为一般形式为 。
7、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600。那么铁皮各角应切去多大的正方形
设切去的正方形的边长为xcm，列方程为 ，化为一般形式为 。
第2时 一元二次方程的根
课前预习2：
一、创境激趣:
问题1、如右图一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？
设梯子底端距墙为xm，那么根据题意，
可得方程为____________________
整理，得_______________________
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
问题2：一个面积为120的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽是多少？
设苗圃的宽为xm则长为_________m，
根据题意，得____________________
整理，得_______________________
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
二、自主探究：
思考下列问题：
问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？
学生交流后得出结论：问题1中__________是的解，问题2中________
是的解。
（3）如果抛开实际问题，问题1中还有________解，问题2中还有______解。
小结：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根。由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解。
三、能力提升：
下面哪些数是方程的根
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
思路分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式使等式两边相等即可.
解题过程:
试写出下面方程的根,你能写出几个
⑵ ⑶
思路分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义.
解答:(1) (2) (3)
3．完成教材28页习题22.1第3、4、8、9题。
第3题： 第4题：
第8题： 第9题：
当堂检测：
（1）方程的两根为 （ ）
A． B. C. D.
（2）如果，那么的两个根分别是 ____ ____
（3）已知方程的一个根是x=3，则m的值是
（4）如果x=1是方程的一个根，求的值。
（5）如果关于x的一元二次方程（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根。
22.2降次——解一元二次方程
第1课时 直接开平方法
课前预习1：
1.方程是______方程,其中二次项系数是____,一次项系数是___,常数项是____.
2.一个数的平方根是±,则这个数是________.
3.将下列代数式写成平方的形式
(1)______, (2)_____________
(3)_______, (4)____________
4.一元二次方程的根为 ( )
A.x=2 B.x=-2 C. D. x=4
5.方程的根的情况是( )
A. B. C. D. 没有实数根
6.如果方程能化成或_______的形式,那么可得或,这种解方程的方法叫做______________.
课前预习2:
一、创境激趣:
1．自主学习教材本节的问题1，化简整理得方程__________,根据平方根的意义直接开平方得__________.
2.根据上面解方程的过程,你能求出方程(1)和(2)的根吗
二、自主探究:
通过比较它们与方程的异同,从而获得了解一元二次方程的思路,
试一试解方程(1) (2)
思路分析:利用类比思想,注意正数的平方根的个数.
解题过程: (1)
解:第一步:方程两边开平方: 2x-1=_________
第二步:转化为两个一元一次方程:2x-1=_____或2x-1=______
第三步:解两个方程得 ∴_________,_________
(2)
解:第一步：方程左边是完全平方式： ____________=2
第二步：方程两边开平方： ____________=
第三步：转化为两个一元一次方程：_______=____,或______=___
第四步：解两个方程得 ∴____,_____
本题小结:以上方程在解法上有什么类似的地方 小组交流.
归纳:(1)用直接开平方法解形如（p≥0）的方程,那么x=______,
(2)转化为用直接开平方法解形如（p≥0）的方程,那么mx+n=______
三、能力提升:
1.完成教材31页练习
解题过程：（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2.完成教材42页习题22.2第1题
解：（1） （2）
（3） （4）
3.当堂检测：
（1）若，则x的值是_____________
（2）如果方程，那么这个一元二次方程的两根是___________
(3)如果a、b为实数，满足，那么ab的值是________
(4)解关于X的方程
思路分析:注意对n值进行讨论，因为负数没有平方根。
解题过程：
22.2.1配方法（第2课时）
课前预习1：
忆一忆
在上节课，我们学习了直接开平方法解一元二次方程，如，你会解吗？
若方程的左边不是完全平方式的方程，我们该怎么办？如？
找一找
观察下列式子，你能发现其中的规律吗？
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
规律：当二次项系数为1时，配方时所加的常数项是一次项系数一半的平方。
练一练
（1） （2）
（3） （4）
（四）试一试
解方程
课前预习2：
一、创境激趣:
问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，
蹦蹦跳跳树林里，其余十二叽叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起。”
大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，
那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？
问题2：教材31页问题2
二、自主探究:
分析问题1：设共有x只猴子据题 意得方程：_________________________
整理为一般式得：________________________
分析问题2：设场地宽为xm，长为________m，根据长方形面为16
列方程：__________________________
整理为一般式得：________________________
思考上面形式的两个方程，它们与上节课遇到的方程有何不同？学生讨论。
学一学：解方程
思路分析：对比前面讨论过的方程，左边是含x的完全平方式，右边是非负数，可直接降次解方程。
解题过程：
1.移项: _____ （把常数项移到方程的右边;）
2.配方: ______+____ (方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方);
3.变形: (方程左分解因式,右边合并同类;)
4.开方: (根据平方根意义,方程两边开平方;)
5.求解: (解一元一次方程;)
6.定解: (写出原方程的解).
本题小结：
像上面这样通过配成_________来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
练一练：
完成教材34页练习2
（2）
(5) (6)
想一想：当二次项系数为1时，我们知道了如何配方解一元二次方程，那么当二次项系数不为1时如该怎么办？你能想出办法吗？
学一学：
解方程
解：
1.化1: （把二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数);
2.移项: （把常数项移到方程的右边）;
3.配方: （方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;）
4.变形: （方程左边分解因式,右边合并同类;）
5.开方: （根据平方根意义,方程两边开平方;）
6.求解: （解一元一次方程;）
7.定解: （写出原方程的解）.
试一试：完成教材34页练习2
（3） （4）
三、能力提升:
1、完成教材34页练习1（做在书上）
2、完成教材42页习题2、3.（第2题做在书上）
3（1） （2）
（3） （4）
当堂检测：
（1）将二次三项式配方后得 （ ）
A. B. C. D.
(2)已知左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（3）方程的解是__________________________
(4)代数式的值为0，则x的值为___________
(5)已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，求这个三角形的周长。
22.2.1配方法（第3课时）
课前预习1：
1.填空：（二次三项式的配方）
(1) (2)
(3) (4)
2.用配方使下列等式成立.
(1) (2)
3.用配方法解方程
课前预习2:
一、创境激趣:
一小球以15米/秒的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒）满足关系：
，问小球所达到的最大高度是多少米？
想解决这一问题就必需先掌握二次三项式的配方。
二、自主探究:
读一读：将二次三项式化为的形式
思路分析：代数式中的配方与解方程中的配方略有不同，代数式中的配方是恒等变形，为使二次项系数为1，
各项需提出二次项系数，配方时加上一次项系数的一半的平方,再减去同样的数,使代数式的值保持不变.
解题过程: 阅读后你能应用上述方法将代数式
= 化成的形式吗
= 解题过程:
=
=
=
=
欣赏应用该知识解决小球达到最大高度问题
∵
∴
∴小球所能达到的最大高度是米.
努力尝试: 用配方法证明的值恒小于0.
思路分析:本题不是用配方法解一元二次方程,但所用的配方法思想与已学的配方法大同小异,即思路一致.
证明:
相信你一定行:用配方法求的最大值.
当堂检测:
1.试用配方法说明:代数式的值不小于
2．试比较与0的大小，并说明理由。
3．试说明整式的值不小于1
22.2.2 公 式 法
第1课时 一元二次方程根的判别式
课前预习1：
1、一般的，式子 ___________ 叫做方程a x+bx+c=0 (a≠0)的判别式.
2、 一元二次方程a x+bx+c=0 (a≠0) 当____________时方程有两个不相等的实数根；
②当____________时方程有两个相等的实数根；当___________时方程没有实数根.
课前预习2：
一、创境激趣
丛明同学在课前预习过程中，对下列方程 x+x－1=0 x－x+2=0
x= 3x－1没有求根之前就很快说出方程根的情况，你知道这是为什么吗？你想成为同他一样聪明的学生吗？让我们一起起航吧！
二、自主探索
（一）一元二次方程根的判别式
试一试：你能用配方法求一元二次方程a x+bx+c=0(a≠o)的解吗？
a x+bx+c=0(a≠0)
移项，得 ______________________________________
二次项系数化为1，得 _______________________________________
配方法，得 x+ +_________=+ __________
即： ( )=________________
思考：能否直接开平方运算呢？为什么？____________________________________
分析：因为a≠0，所以4 a____0. 值的符号由____________来决定．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（１）当b2－4ac＞0时，方程根的情况如何？
（当b2－4ac＞0时，方程右边是一个_____数，因此由得：ｘ+=_________
ｘ=___________即：x1=_______x2= ________所以：方程有________实数根.）
(2) 当b2－4ac=0时，方程根的情况如何？
（当b2－4ac=0时，方程右边是________，因此由得:ｘ+=_____________
ｘ=_____________即：x1= x2 = __________所以：方程有____________实数根.）
(3) 当b2－4ac＜0时，方程根的情况如何？
（当b2－4ac＜0时，方程右边是一个_____数，而根据平方根的性质，______数是没有平方根的，所以方程 __________实数根.）
一般地，式子b2－4ac叫做方程a x+bx+c=0 (a≠o)根的_______,通常用希腊字母______表示它，即△=_________.
归一归：根据以上分析你能总结出一元二次方程a x+bx+c=0 (a≠0)根的情况吗？
一元二次方程a x+bx+c=0(a≠0)
1.当____________时，方程有__________________实数根.
2.当____________时，方程有__________________实数根.
3.当____________时，方程____________________实数根.
反过来也成立，这就是判别式定理的内容.
（二）一元二次方程根的判别式的应用
用一用：不解方程判别下列方程根的情况.
（1）2 x+ 3x－4＝0 （2）16 y+ 9＝24y （３） 5(x+1) －7x＝0
思路分析：要判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了.
（注意：要将方程先整理成一般形式，再确定a,b,c的符号）
解：（１）∵a=_____,b=____,c=_____
∴ b2-4ac=__________=_____ _____0
∴ 方程有___________实数根
（2）
（3）
做一做：你现在可以完成丛明同学做过的三道题了吧！相信你比他更聪明！
解：（1） （2） （3）
练一练：完成教材42页习题第4题.
（1） (2) (3) (4)
三、能力提升
相信你已经掌握了本节的知识，还想再次挑战自己吗？不妨尝试一下吧！
问题1：关于x的方程m+ m + 1=0有两个相等的实数根，求m的值.
思路分析：因为方程有两个相等的实数根，所以△=0，从而可得到m的值.
（注意：二次项的系数不为0.）
问题2 : k为任意实数，试说明关于x的方程x－kx+(k－2)=0恒有两个不相等的实数根.
思路分析：只要能证明k为任意实数时，△＞0即可.
当堂检测：
1、已知关于x的一元二次方程x－m=2x有两个不相等的实数根 ，则m的取值范围是______
2、关于x的一元二次方程x－4x+c=0有实数根，则c的取值范围为（ ）
A. c＞4 B. c＜4 C. c≥4 D.c≤4
3、 关于x的方程(a-6) x－8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A. 6 B. 1 C. 8 D. 9
4、已知关于x的方程x－mx+m－3=0 ( )
A.一定有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.一定有两个相等的实数根 D.以上说法都不正确
5、写出一个有实数根的一元二次方程______________________________．
6、已知关于x的方程x－(2k+1)x+4（k－）=0
求证：无论k取何值时，这个方程总有实数根.
22.2.2 公式法
第2课时 公式法（1）
课前预习１：
我们用配方法解一元二次方程ax+ bx +c = 0（a≠0, ≥0 ）时，可得方程的根为x=___________.
由此，我们可以得一元二次方程ax+ bx +c =0（a≠0 ） 的求根公式：x=_____________________（≥0 ）
利用求根公式，由一元二次方程中的系数a、b、c 的值，直接求出方程的根，这种解方程的方法叫做_______．
2、方程2x-7x -4 = 0中，a = ______，b=_____，c=______，= ______.
3、方程2x+ 8 = 9x ，其中a = _____，b=______，c= _____，利用求根公式可得到方
程的根为x1= __________________ x2=__________________.
课前预习２：
一、创境激趣
你已经掌握了几种解一元二次方程的方法呢？还想了解其它的解法吗？
二、自主探究
（一)求根公式的推导：
小试身手：我会用配方法解一元二次方程ax+ bx +c = 0 （a ≠0 ）
ax+ bx +c = 0 （a ≠0 ）
解：移项，得______________________________
二次系数化为1，得____________________
配方，得______________________________
即：__________________________________
a ≠ 0 ，∴ a> 0 , ∴4a> 0
∴当b- 4ac≥0即≥0时，是 _______数
根据平方根的定义，得x + = __________ ∴x = _____________________
这个式子叫做一元二次方程ax+bx +c = 0 （a ≠0 ）的__________,
解方程时，把各系数直接代入求根公式求得方程的解的方法叫做______________.
由求根公式可得，一元二次方程最多有_____个实根.
(二)求根公式的应用
学以致用：用公式解下列方程
（1）x-3ｘ+2 = 0 （２）x+４x = -４ (3) x+ 8 = 5x
2、完成教材42页练习第5题的第（1）、（3）、（5）小题.
解:（1） （3） （5）
当堂检测
1、用公式法解方程－3 x+ 5x =1可先将其整理为_____________,再求出=_____从而求出方程的根ｘ＝________.
2、已知关于x的方程x－(a+2)x+1=0的=5，则a的值为_______________________.
3、用公式法解方程：4 x－12ｘ=3得到的解正确的是（ ）
A. ｘ＝ B.ｘ＝Cｘ＝D. ｘ＝
4、一元二次方程x+4x=2的正根为（ ）
A． 2－ B． 2+ C． －2－ D． －2+
5、关于x的一元二次方程(m－1) x+5x+ m－3m+2 = 0的一个根为0，则m的值等于（ ）
A． １ B． 2 C． １或２ Ｄ．０
６、已知方程5 x+kx－10=0的一根是－5，求k的值及另一根？
22.2.2 公式法
第3课时 公式法（2）
课前预习1：
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为_________________（条件：___________）
2、把方程（x+1）（ｘ-３）= 4x2 -7化为一般形式为_____________________其中
a = ____， b= _____， c=_____ = _____方程的根为_________．
3、方程2x-+1 = 0的根是（ ）
A． B． C． D． 无实数根
4、方程x＋2ｘ－4 = 0的根是____________（精确到0.001）
课前预习2：
一、创境激趣
回忆用公式法解一元二次方程的步骤是什么？你还能用公式法解决更复杂的一元二次方程吗？
自己去尝试一下吧！
二、自主探究
问题1：用公式法解下列方程：
（1）x（5x－3）= x+1 （2）x－x＋2 =0
思路分析：先将方程化为一般形式，再确定a 、 b 、 c 的值，然后利用公式求解.
（注意：a 、 b 、 c 的符号）
（1） (2)
练一练：用公式法解下列方程：
x－x－= 0 （2）x（2x－4）= 5－8x （3）x－x－= 0
（4）x（x－4）= 2－8x （5）x ＋x＋10 = 0
问题2：解方程x ＋x －1= 0 （结果精确到0.001)
思路分析：先利用求根公式求方程的解，再按要求取近似值.
当堂检测
方程（x+２）（ｘ-２）= x的解是 ______________________.
一元二次方程x2 +bx－6=0的一个根是x1 =，则b= _____它的另一个根x2 ＝_____.
马虎同学在解方程： x＋x=的过程如下：
解：a = ， b=， c=
∴ b－４ac= ()－４××=32
∴ ｘ= =
∴ x1= x2=
请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.
4、如果三角形的两边分别为1和2，第三边是方程2x2-5x+3=0 的根，求这个三角形的周长。
22.2.3 因式分解法
第1课时 因式分解法解方程（1）
课前预习1:
1、分解因式：
（1）x＋2x= __________ （2）4x－9=__________
（3）x＋6x＋9=__________ （4）－2（x－2）=__________
2、利用因式分解使一元二次方程化为两个_______的乘积等于__的形式，再使这两个_____分别等于_____，从而实现______，这种解法叫做因式分解法.
3、因式分解法的依据：如果ab=0,那么_________或_________
4、方程式（x－2）（x－3）=0的解是____________________
课前预习2：
一、创境激趣
在物理课堂上，老师提出下列问题，你能解决吗？请尝试一下吧！
问题：已知竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式h=v.t－g t，其中重力加速度g以9.8m/s计算，把一个小球从地面以v.=10m/s的初速度竖直上抛，你能计算出该小球经过多少秒落回到地面吗？（精确到0.01s）？
思路分析：小球落回地面即物体的高度h=0ｍ ，已知v.=10m/s，g=9.8m/s，h=0m，代入h=v.t－g t中得：10t－4.9 t= 0 ，你能求出10t－4.9 t= 0的解吗？
思一思：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程呢？
二、自主探究
（一）因式分解法的意义：
试一试：10t－4.9 t= 0 将方程左边分解因式得：____________= 0
这里，方程的左边是两个因式的积，而右边为零，形如a·b=0，这两个因式至少有一个为零，即a=0或b=0时，积才能为0；反过来如果两个因式有一个等于零，那么它们的积等于零，这就是说，解上式方程相当于解方程_______________=0或 _______________=0，分别解这两个方程得：t1 =_______________，t2=____________≈________
你能解释这两个根在问题中的实际意义吗？_________________________________________
归一归：这种利用因式分解使方程化为两个______的乘积等于___的形式，再使这两个_______分别等于____，从而实现______的解法叫做因式分解法.
(二) 因式分解法的应用：
问题1：直接写出下列方程的根
（1）（x＋3）（x－8）= 0 x1 =____，x2=____（2）5 x（x－6）= 0 x1 =____x2=____
（3）=0 x1 = x2 =____
问题2：用因式分解法解下列方程
（1） （－2）＋－2=0 （2）4 －1=0 （3）4 ＋4＋1=0
思路分析：先将方程左边分解成两个一次因式的乘积，再令每个因式分别为零，得两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
解：（1）因式分解得：（ ）（ ）= 0
所以，________=0或 ________= 0
∴原方程的解是x1 =___ x2=___
（2）
（3）
本题小结：
问题3：用因式分解法解下列方程
（1）＋t =1 （2） = （3）2 －3＋5= ＋＋1
思路分析：先把所给的一元二次方程的右边化为零,再按问题2中的解法即可求出方程的解.
解：（1）将原方程整理得：______________= 0
因式分解得:________= 0
所以：________= 0或________= 0
∴原方程的解是x1 =_____，x2=_____
（2）
（3）
本题小结：
归一归：你能总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
相信你已经掌握了本节的知识，现在去练练手吧！
练一练：
1、完成教材40页练习题第1题
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2、完成教材43页习题第6题
（1） （2） （3） （4）
当堂检测
1、若分式 的值为0，则x=________
2、方程 x－x=0 的根是________；方程（x－1）（x＋1）（x－3）=0的根是________
3、一元二次方程x（x－1）= x的解是________________
4、方程x（x＋3）= x＋3的解是 （ ）
A． x=1 B． x1 =0， x2=－3 C．x1 =1， x2=3 D． x1 =1，x2=－3
5、方程（x－5）（x＋2）=1的解为 （ ）
A． x=5 B． x =－2 C．x1 =5，x2=－2 D．以上都不对
６、经计算整式x－1与x＋5的积为x＋4x－5，则一元二次方程x＋4x－5=0的所有根是（ ）
Ａ．x1 =1， x2=5 B．x1 =1， x2=－5 C．x1 =－1，x2=5 D．x1 =－1，x2=－5
7、一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x－2）（x－4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或13 C．13 D．以上都不对
8、一元二次方程a x＋bx＋c=0 （a≠0）至少有一个根是零的条件是 （ ）
A．c=0 B．b=0 C．b=0且c=0 D．b≠0且c=0
9、一跳水运动员从10m高台上跳水，他跳下的高度h（单位：m）与所用的时间t（单位：s）的关系式h=－5（t－2）（t＋1），那么该运动员从起跳到入水所用的时间是多少？
22.2.3 因式分解
第2课时 因式分解法解方程（2）
课前回顾：
1、因式分解法的步骤是：把方程的右边____________;将左边化为两个_____________;令每一个因式_______________;解这两个________________;它们的解就是原方程的解.
2、因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程，体现了一种___________思想.
3、方程= x -1的根是（ ）
A. x=1 B. x1 =2 x2 =1 C. x1=-2 x2=-1 D. x1=2 x2=-1
课前预习：
一、创境激趣
在课后，我听到某小组的同学在议论“怎样的一元二次方程适合用因式分解法解呢？”你能帮助他们解决此问题吗？
__________________________________________________________________________
你能举例说明吗？______________________________________________________________
二、自主探究
因式分解法解一元二次方程的应用
问题：试用因式分解法解下列方程
（1）x(2-3x)+3x=2 （2）x2+3=3(x+1) （3）(x-5)(x+1)=-9 （4）x2-6x+9=(1-2x)2
思路分析：按照因式分解法解一元二次方程的步骤即可求出方程的解.
本题小结：
练一练：用因式分解法解下列方程
（1）2 (x-3) = -9 （2）5x(x+2)=4x+8 （3）(x+3)2=2x+6
（4）(x-)=4(-x) （5）9(x-2) =4(x+1) （6）（x+1）(x-2)=
做一做：
１、已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x-7) -10(x-7)=0的一个根，求这个三角形的周长.
2、已知一元二次方程(m-2)x+7mx+m-4=0有一根为0，求m的值及方程的另一根.
三、能力提升 （十字相乘法）
阅读下列材料，并解答问题：
因为：(x+1)(x+2)= x+3x+2, 所以x+3x+2=(x+1)(x+2)
因为：(x+1)(x-2)= x-x-2, 所以x-x-2=(x+1)(x-2)
因为：（x+a）（x+b）= x+(a+b)x+ab, 所以x+(a+b)x+ab=（x+a）（x+b）
请根据上面的分析思路与方法，用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）x+3x+2=0 （2）x-x-2=0 （3）x-5x+6=0 （4）x-x-6=0
当堂检测：
1、方程x2=x的解是__________
2解方程：（1） (x-3)2+2x(x-3)=0 （2）(2x-5)2-2x+5=0
3、若x+mx-15=(x+3)(x+n)，则m的值为（ ）
A. -5 B. 5 C. -2 D. 2
4、方程x-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A. 12 B. 12或15 C. 15 D. 不能确定
5、已知一元二次方程(m-1) x+5mx+ m+3m-4=0有一根为0，求m的值及方程的另一根？
22.2.3用适当的方法解一元二次方程
二、用适当的方法解下列方程：
（1）x2－2x＝0； （2）9－x2＝0； （3）(1－3x)2＝1； （4）4(2x＋3)2－25＝0. （5）（t－2）（t+1）=0； （6）x2＋8x－2＝0
(7 )2x2－6x－3＝0； （8）3（x－5）2＝2（5－x） （9）5x2=4x-1
课前预习2：
一、一元二次方程解法提高
问题1 解方程3y(y—1)＝2-2y．
思路分析：方程两边都有因式(y-1)，宜用分解因式法． 解题过程： 注意：将方程3y(y-1)＝-2(y-1)两边同除以(y-1)，得3y＝-2，解得,这种解法是错误的。错在何处？
问题2 解方程x2-6x-9991＝0．
思路分析：本题若用因式分解法，则要把9991分解成103×97，这不容易；若用求根公式法，运算量较大 解题过程：
问题3 解方程49x2-42x-1＝0．
思路分析：本题用求根公式法计算较繁． 解题过程：
问题4解方程
思路分析：本题化一般式比较麻烦．左边两个因式的形式类似，先考虑用换元法化简． 解题过程：
问题5解方程
思路分析：移项应用分解因式 解题过程：
问题小结： 由以上几题说明，解题时，仔细观察题目特点，这一步很重要．
二、巩固提高
1、填空：
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法______________________________
适合运用因式分解法_________________________________
适合运用公式法_____________________________________
适合运用配方法______________________________________
2.用适当的方法解下列方程
1）、 2）、
3）、 4）
5）、 6）、
三、能力提升
完成教材48页习题22.3第1题.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2.用配方法证明：关于x的方程（m -12m +37）x +3mx+1=0， 无论m取何值，此方程都是一元二次方程
3.（1）方程x2-2x+1=0的两个根为x1=x2=1， x1+x2=______x1x2=________；
（2）方程x2+5x-6=0的两个根为x1= -6, x2= 1, x1+x2=______x1x2=________；
（3）4x2+x-3=0的两个根为x1= , x2= -1, x1+x2=______x1x2=________；
由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系（第1课时）
课前预习1：
阅读教材P40 — 42 , 完成课前预习
1、知识准备
(1)一元二次方程一般式:
（2）一元二次方程的解法：
（3）一元二次方程的求根公式：
2、探究1：完成下列表格
方 程
2 5
x2+3x-10=0 -3
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②x2+px+q=0的两根,用式子表示你发现的规律。
探究2：完成下列表格
方 程
2x2-3x-2=0 2 -1
3x2-4x+1=0 1
问题：上面发现的结论在这里成立吗？
请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根,用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）
ax2+bx+c=0的两根= , =
= =
= =
= =
= =
练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
（1） （2） （3）
课前预习2：
一、练一练：
1、填出下列各方程的两根和与两根积
1） （__________） 2）（__________）
3） （__________） 4）（__________）
5） （__________） 6）（__________）
7）（__________） 8）（__________）
2、改错
（1）方程的两根和为9
（2） 方程的两根和为9
（3） 方程的两根积为
（4） 方程的两根积为
3、利用根与系数的关系，判断下列各方程后面括号内的两个数是不是该方程的根？
1） 2）
3） 4）
小结：
今天，我们学习了 ，知道若， 的两个根，则 ， ，
若两根互为倒数，则 ；若只有一个根为0，则 ， 。
二、能力提升：
课本42页练习
2.完成教材43页第7题.
3.已知方程的一个根为1，不解方程求方程的另一个根及m的值。
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系（第2课时）
课前预习1：
若是一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程为_______________________
2. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：
（1）二次项系数________，即保证是一元二次方程；
（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：
课前预习2：
自主学习：
已知方程一根，求另一根及未知系数：
问题1：
个根。
思路分析：
本题考查了对方程中的未知数和参数的认识，以及未知数与参数之间的互相转
x为未知数，k为参数的方程，但把x=2代入方程后，x由未知数转化为已知数，方程则转化为以k为未知数的方程了，实际上将通过解关于k的方程来求k的值。
解法一：
得________________________
解得 k=________
再代入原方程得一元二次方程____________________
解一元二次方程求得另一个根
阅读解法二：设另一个根为β，根据方程的根的意义及根与系数的关系，可列出方程组
即有
解这个方程组，得
剖析：事实上，本例如果把“求k的值”一问撤消，直接求“另一个根”，那么“求k的值”将成为解题者需主动采取的步骤，将能体现对能力的更高要求，值得注意。
练习：已知方程的一个根是2，求另一个根与未知系数。
不解方程，求某些代数式的值：
问题2：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．
解： 设方程的两个根是x1，x2，那么
（1）∵
∴=___________________=______.
(2)
开动脑筋，总结以下两点：
1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．
2．格式、步骤要求规范
第一步：求出x1+x2，x1x2的值．
第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．
第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．
练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）
已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，
∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．
∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．
由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2-（x1+x2）x+x1x2=0．
问题3：求一个一元二次方程，使它的两根是
解：所求方程是
即： ____________________或______________________ (化分数系数为整数系数)
练习：
1.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数。
2. 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
分析：此题可以通过列方程求得．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．
解：
问题4. 已知关于x的一元二次方程：
求：实数m的值。
分析：这道题是求待定系数的值，考查的知识是利用根与系数的关系，通过题目所给的等量关系得到关于m的一个方程，从而得到m的值。但还要考虑m值是否使得一元二次方程有两个实根.
解：
整理得：______________________
解得
下面考虑一元二次方程存在实根的条件是:
解得m的取值范围是__________
二、能力提升：
(一)、填空
1． 若方程(a≠0)的两根为，则= ，= __
2 ．方程 则= ，= __
3 ．若方程的一个根2，则它的另一个根为____ p=____
4 ．已知方程的一个根1，则它的另一根是____ m= ____
5 ．若0和-3是方程的两根，则p+q= ____
6 ．在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=_____，q=_____。
(二)、选择
1 ．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）
A. B. C. D.
2 ．若方程的两根中只有一个为0，那么 （ ）
A. p=q=0 B. P=0,q≠0 C. p≠0,q=0 D. p≠0, q≠0
(三)、解答题
1.不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x2-5x-10=0 （2）2x2+7x+1=0
（3）3x2-1=2x+5 （5）x（x-1）=3x+7
（5）x2-3x+1=0 (6)3x2- 2x=2
2．已知方程的一个根是 -3 ，求另一根及K的值。
3．已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值
4．已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根
是关于x的方程的两根的平方,则关于y的方程是__________
22.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题
列方程解实际问题的步骤：___________________________________________________.
在一次同学聚会上，同学见面时两两握一次手，共握28次手，设共有x名同学参加聚会，
则所列方程为_______________.
课前预习2：
一、创境激趣
“一传十，十传百，百传千千万……”这首歌大家都不会陌生吧！你知道吗？这里面还包含着一个数学问题，现在就来探究一下这个问题——传播问题.
二、自主探究
阅读教材45页的探究，完成分析中的填空，并回答：
根据题意可列方程：（1＋x）＋x（1＋x）=121,（1＋x）表示__________，x（1＋x）表示_________.
解方程，得x1 =_________，x2=_________
根据问题的实际意义，应取哪个根？____________________________
∴平均一个人传染了________个人.
想一想：如果按照这样的传染速度，三轮传染后会有多少人患流感呢？（请先列式再计算）
思一思：通过对这个问题的探究，你对“一传十，十传百，百传千千万……”这首歌里的数量关系有新的认识吗？
做一做：
1、完成课本43页习题第9题
2、完成课本48页习题第4、6题
完成课本53页复习题第7题
当堂检测
1、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
2、某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是73，求每个枝干长出了多少个小分支？
3、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮传染后，被感染的电脑会不会超过700台？
22.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 增长率、下降率问题
课前预习1：
1、增长率问题中的数量关系：第一年产量为a，平均每年增长率为x%，则第二年产量为________，第三年产量为________，第n年产量为_________________.
2、下降率问题中的数量关系：第一年产量为a，平均每年下降率为x%，则第二年产量为________，第三年产量为________,第n年产量为_________________.
3、某县2009年农民人均收入为7800元，计划到2011年农民人均收入达到9100元，设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程_______________________________________.
课前预习2：
一、创境激趣
数学来源于生活，又服务于生活，你能帮老百姓解决下列问题吗？
问题：为了解决老百姓“看病贵”的问题，卫生部门决定下调药品价格，某种药品经过连续两次降价后，零售价降为原来的一半，请求出这种药品平均每次降价的百分率？
相信你完成下列探究后，一定能解决此问题.
二、自主探究
探究：阅读教材46页探究2，回答下列问题.
（1）甲种药品成本的年平均下降额为__________，乙种药品成本的年平均下降额为_____________， 所以_____种药品成本的年平均下降额较大.
（2）从上面的年平均下降额的大小能说明年平均下降率的大小吗？_______ 你觉得应该怎样比较甲、乙两种药品成本的年平均下降率呢？__________________________.
（3）设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为_____________元，所以可列方程：_________________
解此方程得x1 ≈_____，x2≈____.根据问题的实际意义，应选择______理由_____________.
(4)设乙种药品成本的年平均下降率为y，仿照以上做法，求出乙种药品成本的年平均下
降率.
(5)通过计算，____种药品成本的年平均下降率较大，由此可得：成本下降额较大的药品，它的成本下降率也较大吗？应该怎样全面的比较几个对象的变化状况？
这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，它有一定的模式：
想一想：1、若a表示初始量，b表示连续增长两次后的量，x表示平均增长率，你能表示出它们的关系式吗？_______________________________________.
2、若a表示初始量，b表示连续下降两次后的量，x表示平均下降率，你能表示出它们的关系式吗？_______________________________________.
试一试：现在可以帮助老百姓解决药品降价率的问题了吧!
做一做：
1、教材43页习题第12题
2、教材48页习题第7题
3、教材53页习题第9题
当堂检测
1、某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材___________________立方米.
2、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________________________．
3、一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
4、2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100x+100 x2 = 250
5、上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大
22.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 面积问题
课前预习1：
1、用字母表示下列公式：
长方形面积公式_______________三角形面积公式_______________
平行四边形面积公式___________梯形面积公式_______________
正方形面积公式_______________菱形面积公式_______________
2、一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm2，若设直角三角形较短的一条边为xcm，则可列方程___________________.
3、一个长方形的长和宽相差3cm，面积是4 cm2，则这个长方形的长为___________cm，宽为____________cm.
课前预习2：
一、 创境激趣
一个朋友送我一幅长8dm,宽6dm的风景画，我想在这幅画的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅面积为80dm2的挂图，你能帮我设计出金色纸边的宽度吗？
二、自主探究
分析：若设金色纸边的宽度为xdm,则挂图的长为______dm,挂图的宽为______dm，挂图的面积可表示为________________dm2,又因为挂图的面积为80 dm2，则可列方程为：
__________________________________
解之得： x1=______________, x2=______________(舍去)
∴金色纸边的宽度应为_______________dm
探究：阅读教材47页的探究3并完成下列问题.
封面的长、宽之比为_______,根据题意中央的长方形的长、宽之比也应是________,由此可得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比为______.
设上、下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽为_______cm，则中央的长方形的长为_______cm，宽为________cm.
根据题意“四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”可得中央的长方形的面积是封面面积的_____所以，可列方程__________________________
解方程得： x1 =____≈_____ x2=____≈_____
根据实际意义，应取x≈_______
所以：上、下边衬的宽约为_________cm,左、右边衬的宽约为________cm.
你还有其它的解决办法吗 试试看.
解：设中央的长方形的长为9xcm, 宽为7xcm, 则可列方程
____________________________________
解方程，得 x1=____≈_____ x2=____≈_____
根据实际意义，应取x≈______________
∴上、下边衬的宽表示为______________,值约为_____cm.
左、右边衬的宽表示为______________,值约为_____cm.
做一做：
教材48页习题第8题.
2、教材48页习题第3题. 3、教材48页习题第5题.
4、教材49页习题第9题.
三、能力提升
1、教材43页习题第11题. 2、教材54页复习题第10题.
3、教材53页复习题第8题. 4、教材54页复习题第12题.
当堂检测
1、教材43页习题第8题. 2、教材53页复习题第5题.
3、教材53页复习题第6题. 4、教材54页复习题第11题.
本章小结
课前回顾：
1、方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：__________________（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
2、解一元二次方程的基本思路是______,它的方法有________________________________,将一元二次方程转化为____________。
因式分法
一元一次方程
一元二次方程 直接开平方
的解法 转化为 的形式
配方法
公式法 ___________________(______________)
3、一元二次方程的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，它没有实数根；其中，合称为方程有______．
4、关于的一元二次方程的两根分别为、则，
小结：用一元二次方程解决实际问题的步骤______________________________________
注意:一元二次方程的解要检验是否是实际问题的解.
课前预习:
专题一、一元二次方程及有关概念
问题1、方程是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A．m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
思路分析：一元二次方程必须满足三个条件，在解题中一定要注意隐含条件a≠0
变式题：若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 （ ）
m≠1 B.m≥0 C.m≥0且m≠1 D.m为任意实数
专题二、用适当的方法解一元二次方程
问题2、(1)（3x-1）2=9 (2) 3x2－1=6x （3) 2x2+5x－3=0 （4）x2＋7x＋12=0
专题三、含有字母系数的一元二次方程的根
问题3、解关于x的方程
x2＋mx＋2=mx2＋3x（m≠1）
思路分析：注意先将方程整理成一般形式，注意二次项系数，一次项系数及常数项的确定
解：
专题四、一元二次方程根的判别式的应用
问题4、求证方程(m－1)x2＋3mx＋m＋1＝0 (m≠1)，必有两个不相等的实数根．
问题5、 如 果 关 于x的 方 程 mx2-2（m+2）x+m+5=0 没有实数根， 那么关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实根有几个？
问题6、已知a、b、c是三角形的三边，求证：方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根．
思路分析：三角形三边关系的应用及一元二次方程无实数根的条件。
证明：
专题五、一元二次方程根与系数的关系应用
问题7、解某一元二次方程，甲抄错一次项，得根为-2和-3，乙抄错常数项，得根为6和-1，那么正确的方程应是____．
思路分析：应用两根之和和两之积来解决。
专题六、一元二次方程的应用
问题1、一个两位数,十位数与个位数字之和是5，把这个数的个位数与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．
问题2、一个长方形，它的长比宽的2倍还多1厘米，它的宽与另一正方形的边长相同，且这个长方形的面积比正方形的面积多72平方厘米，求此长方形与正方形的面积各是多少？
问题3、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1) 鸡场的面积能达到180m2吗 (2) 鸡场的面积能达到200m2吗
(3) 鸡场的面积能达到250m2吗 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
问题4、华润商场销售某种电视机，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元？
思路分析：如果设每台电视机降价x元，那么每台电视机的定价是_________元，每台电视机的销售利润为________________元，平均每天销售的数量为________________台，这样可列一个方程求解。
解题过程：
当堂检测：
1、填空：
（1）当m的值为_____时，方程是关于x的一元二次方程。
（2）已知一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≠1 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数
2、不解方程先和你的同伴交流一下方程3 x2-5x-2=0的解的情况，然后用不同的方法解方程(配方法，公式法)
3、完成教材53页复习题第1、2、3、4题。
第1题(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8)
第2题:
第3题:
第4题:
(1) (2) (3) (4)
4、已知关于方程的一个根是1，求它的另一个根及的值。
5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？
思路分析：本题考查销售利润问题，总利润=每件利润×销售件数，若设每件衬衫应降价x元，则现在每件盈利_________元，每件降1元，每天多售出2件，降价x元，则多售出____件，即现在每天售出__________件。
解题过程：
一元二次方程测试题
一、选择:(每题3分，共30分)
1、下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B.
C． D.
2、一元二次方程化为一般形式为（ ）
A. B.
C. D.
3、把方程配方，化为的形式应为（ ）
A. B. C. D.
4、方程x2+4x=2的正根为( )
A．2- B．2+ C．-2- D．-2+
5、方程x2＋2x-3＝0的解是( )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝-3 C．x1＝-1，x2＝3 D．x1＝-1，x2＝-3
6、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是( )
A．1 B．0 C．0或1 D．0或-1
7、关于x的一元二次方程x2＋kx-1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的同号实数根 B.有两个不相等的异号实数根
C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
8、已知、是方程的两个根，则代数式的值（ ）
A．37 B．26 C．13 D．10
9、直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程的实数根，则
该三角形的面积是（ ）
A．24 B. 24或30 C. 48 D. 30
10、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
二、填空:(每题3分，共18分)
1、填上适当的数，使等式成立：
；
2、方程 HYPERLINK "http://" 的解为
3、关于x的方程,当 时为一元二次方程;
当 时为一元一次方程.
4、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：______.
5、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为 .
6、参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会.列方程得 .
三、解答:
1、解方程（每小题3分，共12分）
（1） （2）
（3） （4）(2－1)2＝(3－)2
2、（5分）已知a、b、c均为实数，且，求方程
的根.
3、（6分）已知关于x的一元二次方程x2－（m－1）x＋m＋2＝0．
(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；
(2)若方程的两实数根之积等于m2－9m＋2，求的值．
4、（5分）如图：△ABC中，AB=6㎝，BC=8㎝，点P从A点开始沿AB边向点B以1㎝/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2㎝/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8㎝2？
5、（6分）小明将1000元存入银行，定期一年，到期后他取出600元后，将剩下部分(包括利息)继续存入银行，定期还是一年，到期后全部取出，正好是550元，请问定期一年的利率是多少？
6、（6分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
7、（6分）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元
8、（6分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
转化
蔬菜种植区域
前
侧
空
地
1
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