6.2.2 排列数-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（18张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.2.2 排列数-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（18张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 254.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 21:24:52 | ||
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文档简介
6.2.2 排列数
复习引入
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（arrangement）.
1.排列的定义：
2、排列问题的判断方法：
(1) 元素的无重复性
(2) 元素的有序性
判断关键是看选出的元素有没有顺序要求。
1. 能在排列的基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数。
2. 通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数。
重点：排列数公式；
难点：排列数公式的应用。
问题1：在6.2.1节问题1、问题2中，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了。是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？
排列数的定义和表示：把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示。
追问1：6.2.1节问题1、问题2的排列数，并说明排列数与排列有何区别.
6.2.1问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
6.2.1问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数。
问题2：从n个不同元素中取出m个元素的排列数 （m≤n）是多少？
追问(1):我们已经知道，6.2.1节问题1的排列数
问题2的排列数
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
（n-1）种
如何求排列数 ？
追问(2):
如何求排列数 ？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
（n-1）种
第3位
（n-2）种
概念新授
一般地：假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数 .利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
（n-1）种
第3位
（n-（m-1））种
第m位
（n-2）种
问题3：上述排列数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？
（1）观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？
（2）比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？
（3）利用排列数公式，计算 。
......
排列数公式
的连乘形式
特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.
将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成
我们规定，0！=1
追问1：你能写一下常见自然数的阶乘吗？
1！=1；
2！=2?1=2
3！=3?2?1=6
4！=4?3?2?1=24
例3：计算：
问题4：由例3可以看到，
观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？
解：根据排列数公式，可得：
问题4：由例3可以看到，
观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？
排列数公式
的阶乘形式
排列数公式
的连乘形式
问题5：证明：（1） ； （2） ;
排列数的性质：
性质1：
性质2：
证明：
（1）
（2）
练习1：证明：
排列数的性质：
性质1：
性质2：
证明：
例4:用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。
解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：
第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有 种取法；
第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法.
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
百位
十位
个位
例4:用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法2：符合条件的三位数可以分成三类：
第1类，每一位数字都不是0的三位数,可以从1~9这9个数字中取出3个,有 种取法；
第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有 种取法；
第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有 种取法.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
百位
十位
个位
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
百位
十位
个位
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
百位
十位
个位
例4:用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 ,其中0在百位上的排列数为 ，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为
方法归纳：
1.求解排列问题的方法：
（1）判断排列问题；
（2）根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；
（3）利用排列数公式求出结果。
2.带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
直接法
间接法
位置分析法
元素分析法
以位置为主，优先考虑特殊位置
以元素为主，优先考虑特殊元素
先不考虑限制条件而计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数
课堂小结
2.排列数公式：
1. 排列数的定义和表示：
3.n个元素的全排列数公式：
0！=1
把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示。
4.求解排列问题的方法：
（1）判断排列问题；
（2）根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；
（3）利用排列数公式求出结果。
整理笔记：
课本P20，练习1、2、3
习题6.2 1、4（2）,（3）,（4）、8、11、19；
复习引入
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（arrangement）.
1.排列的定义：
2、排列问题的判断方法：
(1) 元素的无重复性
(2) 元素的有序性
判断关键是看选出的元素有没有顺序要求。
1. 能在排列的基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数。
2. 通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数。
重点：排列数公式；
难点：排列数公式的应用。
问题1：在6.2.1节问题1、问题2中，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了。是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？
排列数的定义和表示：把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示。
追问1：6.2.1节问题1、问题2的排列数，并说明排列数与排列有何区别.
6.2.1问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
6.2.1问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数。
问题2：从n个不同元素中取出m个元素的排列数 （m≤n）是多少？
追问(1):我们已经知道，6.2.1节问题1的排列数
问题2的排列数
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
（n-1）种
如何求排列数 ？
追问(2):
如何求排列数 ？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
（n-1）种
第3位
（n-2）种
概念新授
一般地：假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数 .利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
（n-1）种
第3位
（n-（m-1））种
第m位
（n-2）种
问题3：上述排列数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？
（1）观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？
（2）比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？
（3）利用排列数公式，计算 。
......
排列数公式
的连乘形式
特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.
将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成
我们规定，0！=1
追问1：你能写一下常见自然数的阶乘吗？
1！=1；
2！=2?1=2
3！=3?2?1=6
4！=4?3?2?1=24
例3：计算：
问题4：由例3可以看到，
观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？
解：根据排列数公式，可得：
问题4：由例3可以看到，
观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？
排列数公式
的阶乘形式
排列数公式
的连乘形式
问题5：证明：（1） ； （2） ;
排列数的性质：
性质1：
性质2：
证明：
（1）
（2）
练习1：证明：
排列数的性质：
性质1：
性质2：
证明：
例4:用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。
解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：
第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有 种取法；
第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法.
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
百位
十位
个位
例4:用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法2：符合条件的三位数可以分成三类：
第1类，每一位数字都不是0的三位数,可以从1~9这9个数字中取出3个,有 种取法；
第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有 种取法；
第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有 种取法.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
百位
十位
个位
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
百位
十位
个位
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
百位
十位
个位
例4:用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 ,其中0在百位上的排列数为 ，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为
方法归纳：
1.求解排列问题的方法：
（1）判断排列问题；
（2）根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；
（3）利用排列数公式求出结果。
2.带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
直接法
间接法
位置分析法
元素分析法
以位置为主，优先考虑特殊位置
以元素为主，优先考虑特殊元素
先不考虑限制条件而计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数
课堂小结
2.排列数公式：
1. 排列数的定义和表示：
3.n个元素的全排列数公式：
0！=1
把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示。
4.求解排列问题的方法：
（1）判断排列问题；
（2）根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；
（3）利用排列数公式求出结果。
整理笔记：
课本P20，练习1、2、3
习题6.2 1、4（2）,（3）,（4）、8、11、19；