6.2.3 组合-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（13张PPT）

6.2.3 组合
重点：组合的定义。
难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到组合的定义。
1.过解决实际的计数问题，得到组合的定义；
2.能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系。
追问1：问题1中要完成的“一件事情”是什么？比较6.2.1节问题1与本节问题1中要完成的“一件事情”，它们有什么异同？
6.2.1问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
追问2：列出问题1的各种不同选法，与6.2.1节问题1的选法相比，它们有什么不同？是否与顺序有关？
本节问题1：“选出2名参加一项活动”
6.2.1节问题1：“选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”
本节问题1：
6.2.1节问题1：
甲乙，甲丙，乙丙
甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙
与顺序无关
与顺序有关
问题2：如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样表述问题1？你能将它推广到一般情形吗？
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
将具体背景舍去，问题1可以概括为：
从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）.
注意：
(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.
(2)组合的特性：元素的无序性。取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求。
小试牛刀
（1）设集合A={a，b，c，d，e），则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上有多少种票价？
（3）3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？
（4）把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
A.（1）（2）（4）B.（1）（3）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）
1.下列问题是组合问题的有（ ）
解析：根据组合定义知（1）（2）（4）是组合问题.
答案：A
问题3：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
追问3：“从n个不同元素中取出m个元素的组合”与“从n个不同元素中取出m个元素的排列”的联系与区别分别是什么？
追问1：列出6.2.1节问题1中相同元素的排列，这样的排列共有几组？
追问2：对比本节问题1与6.2.1节问题1，它们所取的元素是否相同？它们与顺序是否有关？本节问题1的组合个数与6.2.1节问题1的排列数有何关系？
本节问题1：
6.2.1节问题1：
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
甲乙
甲丙
乙丙
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
排列
组合
联系
从n个不同元素中取出m个元素
区别
与元素的顺序有关
与元素的顺序无关
追问4：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆。下面的问题：（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？
在（1）中，选出3辆车即可，没有顺序，是一个组合问题；
在（2）中，不仅要选出3辆车，还要分配给3位同学，有顺序，是一个排列问题 .
追问5：如何区分排列问题还是组合问题？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
典例分析
例1：平面内有A，B，C，D 4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
分析：（1）要完成的“一件事情”是什么？ （2）完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？
解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为????????????=????×????=????????.
这12条有向线段分别为：????????， ?????????, ????????， ?????????, ????????, ????????, ????????, ?????????,?????????, ????????, ????????, ????????
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：AB，AC，AD，BC，BD，CD.
?
方法梳理
(1)判断是否为组合问题;
(2)是否分类或分步;
(3)根据组合的相关知识进行求解.
1.求一个组合问题的所有组合个数的基本方法：
2.思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
取出2个元素的组合的个数
是排列数的一半
课堂小结
（2）如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）.
（1）组合的定义？
课堂小结
（3）求一个组合问题的所有组合个数的基本方法：
(1)判断是否为组合问题;
(2)是否分类或分步;
(3)根据组合的相关知识进行求解.
课本习题6.2第4，7题。