6.2.4 组合数-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（18张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.2.4 组合数-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（18张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 292.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 21:27:33 | ||
图片预览
文档简介
6.2.4 组合数
（1）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数。
（2）通过探索排列与组合的关系，得到求组合数的方法；
（3）能利用组合数公式解决一些简单的组合问题；
（4）通过组合数的计算，体会“数学运算”；通过探索排列与组合的关系，体会“逻辑推理”．
重点：组合数公式。
难点：推导和应用组合数公式.
问题1：在6.2.3节中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了。是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷地求出组合个数？
组合数的定义和表示：把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示。
追问1：用组合数符号表示6.2.3节问题1的组合数，并说明组合数与组合有何区别.
6.2.3节问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数；
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数.
问题2：前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？
追问（1）：利用排列数公式求出6.2.1节问题1的排列数，那么能否在此基础上求出与之有关的6.2.3节问题1的组合数呢？
6.2.3节问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
追问（2）: 能否用与（1）同样的方法，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 ？
组合
排列
a b c
a b d
a c d
b c d
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
设这4个元素为a，b，c，d，那么从中取出3个元素的排列数 ，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，因此组合数
也可以这样理解：求“4个元素中取出3个元素的排列数 ”
第1步，从4个不同元素中取出3个元素，共有 种不同的取法。
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有 种不同的排法。
根据分步乘法计数原理，有
因此，
求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ”，可以看作由以下两个步骤得到：
追问（3）：依据求组合数 和 的方法，如何求组合数 ？
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种不同的取法。
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法。
根据分步乘法计数原理，有
因此，
因为排列数公式有两种形式，
所以，
规定，
典例分析
【例1】
计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
解：
追问(1): 比较用不同形式的组合数公式和结论求上述各题，你对公式和结论的选择有什么想法？
典例分析
【例1】
计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
解：
追问(2): 分别观察例中（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？
证明：
直观解释：
该性质反映了组合数的对称性。其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取（n-m）个元素的组合是一一对应的（一种取法对应一种剩法）.因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下（n-m）个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出（n-m）个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出（n-m）个元素的唯一的一个组合，反过来也一样。即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出（n-m）个元素的组合数 ，也就是
证明：
直观解释：
该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从（n+1）个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出（m-1）个元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法.由分类加法计数原理，得 。
小试牛刀
小试牛刀
1.计算：
解：
典例分析
例2：在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为
（2）从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
（3)方法1:从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为
方法2:抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
课堂小结
(1)组合数的定义和表示？
(2)组合与组合数的区别？
把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示。
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数；
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数.
课堂小结
“从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ”；
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种不同的取法。
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法。
根据分步乘法计数原理，有
因此，
(3)组合数公式是如何推导的？
课堂小结
（4）组合数性质1：
组合数性质2：
（1）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数。
（2）通过探索排列与组合的关系，得到求组合数的方法；
（3）能利用组合数公式解决一些简单的组合问题；
（4）通过组合数的计算，体会“数学运算”；通过探索排列与组合的关系，体会“逻辑推理”．
重点：组合数公式。
难点：推导和应用组合数公式.
问题1：在6.2.3节中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了。是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷地求出组合个数？
组合数的定义和表示：把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示。
追问1：用组合数符号表示6.2.3节问题1的组合数，并说明组合数与组合有何区别.
6.2.3节问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数；
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数.
问题2：前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？
追问（1）：利用排列数公式求出6.2.1节问题1的排列数，那么能否在此基础上求出与之有关的6.2.3节问题1的组合数呢？
6.2.3节问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
追问（2）: 能否用与（1）同样的方法，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 ？
组合
排列
a b c
a b d
a c d
b c d
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
设这4个元素为a，b，c，d，那么从中取出3个元素的排列数 ，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，因此组合数
也可以这样理解：求“4个元素中取出3个元素的排列数 ”
第1步，从4个不同元素中取出3个元素，共有 种不同的取法。
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有 种不同的排法。
根据分步乘法计数原理，有
因此，
求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ”，可以看作由以下两个步骤得到：
追问（3）：依据求组合数 和 的方法，如何求组合数 ？
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种不同的取法。
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法。
根据分步乘法计数原理，有
因此，
因为排列数公式有两种形式，
所以，
规定，
典例分析
【例1】
计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
解：
追问(1): 比较用不同形式的组合数公式和结论求上述各题，你对公式和结论的选择有什么想法？
典例分析
【例1】
计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
解：
追问(2): 分别观察例中（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？
证明：
直观解释：
该性质反映了组合数的对称性。其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取（n-m）个元素的组合是一一对应的（一种取法对应一种剩法）.因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下（n-m）个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出（n-m）个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出（n-m）个元素的唯一的一个组合，反过来也一样。即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出（n-m）个元素的组合数 ，也就是
证明：
直观解释：
该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从（n+1）个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出（m-1）个元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法.由分类加法计数原理，得 。
小试牛刀
小试牛刀
1.计算：
解：
典例分析
例2：在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为
（2）从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
（3)方法1:从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为
方法2:抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
课堂小结
(1)组合数的定义和表示？
(2)组合与组合数的区别？
把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示。
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数；
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数.
课堂小结
“从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ”；
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种不同的取法。
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法。
根据分步乘法计数原理，有
因此，
(3)组合数公式是如何推导的？
课堂小结
（4）组合数性质1：
组合数性质2：