6.3.1 二项式定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（22张PPT）

6.3.1 二项式定理
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
（1）利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；
（2）会应用二项式定理求解二项展开式；
（3）通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；
（4）感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.
项的形式：
a2
ab
ba
b2
思考： 同类项的个数？
2个（a+b）都不选b得到的，因此a2出现的次数相当于从2个（a+b）中取0个b（即都取a）的组合数 ，即a2只有1个；
由1个（a+b）中选a，另1个（a+b）中选b得到的.由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个（a+b）中取1个b的组合数 ，即ab共有2个.
由2个（a+b）中都选b得到的.因此，b2出现的次数相当于从2个（a+b）中取2个b的组合数 ，即b2只有1个.
问题1：观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现有什么规律？
a3
问题1：观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现有什么规律？
a2b
a2b
a2b
问题1：观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现有什么规律？
ab2
ab2
ab2
问题1：观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现有什么规律？
b3
展开式共有：
项的形式：
思考： 同类项的个数？
a4
a3b
ab3
b4
a2b2
问题2：你能写出（a+b）4的展开式吗？
证明：
（项的结构）
问题3：写出（a+b）n的展开式？
证明：
（项的系数）
问题3：写出（a+b）n的展开式？
(1)展开式共有 项．
(2)各项的次数都等于二项式的次数n；
字母a按降幂排列,次数由n递减到0；
字母b按升幂排列,次数由0递增到n．
(4)二项展开式中,系数 叫作二项式系数,即
n+1
注意：
二项式定理
思考：
例1、
求　　　的展开式．
　　解：根据二项式定理，
变式1：
求　　　的展开式．
　　解：根据二项式定理，
例2：
例2：
解：
（1）
（2）
（3）
解:
求 的展开式中 的系数。
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 的系数是
例3：
课堂小结
1、二项式定理
2、二项展开式的通项
3、二项式系数：