7.1.2全概率公式-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（14张PPT）

7.1.2 全概率公式
1.利用概率的加法公式和乘法公式归纳得到全概率公式；
2.能用全概率公式计算较复杂的概率问题；
问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 .那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
用 Ai表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得
P(R2|R1)
P(B2|R1)
P(R2|B1)
P(B2|B1)
问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 .那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
用 Ai表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得
按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。
全概率公式
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解。
例4：某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。
解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”， B1=“第1天去B餐厅用餐”， A2=“第2天去A餐厅用餐”，
则Ω=????????∪????????,且????????与????????互斥，根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2| A1)=0.6, P(A2| B1)=0.8,
由全概率公式，得
?
P(A2)= P(A1) P(A2| A1)+ P(B1) P(A2| B1)
=0.5?0.6+0.5 ?0.8
=0.7
因此，王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7.
例5:有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率。
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
例5:有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率。
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
解：
设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），
则????=?????????∪????????∪????????，且????????，????????，????????两两互斥，根据题意得
P（A1）=0.25， P（A2）=0.3， P（A3）=0.45，
P （B|A1）=0.06, P （B|A2）= P （B|A3）=0.05.
?
(1)由全概率公式，得
P（B）=P(A1) P (B|A1）+ P(A2) P (B|A2）+ P（A3）P (B|A3）
=0.25?0.06+0.3 ?0.05+0.45 ?0.05
=0.0525
例5:有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率。
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
解：
设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），
则????=?????????∪????????∪????????，且????????，????????，????????两两互斥，根据题意得
P（A1）=0.25， P（A2）=0.3， P（A3）=0.45，
P （B|A1）=0.06, P （B|A2）= P （B|A3）=0.05.
?
(2)“如果渠道得零件是次品，计算它是第i（ i =1，2，3）台车床
加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.
?????（????????|????）=????(????????????）????(????）= ????（????????）????(????|????????）?????(????）=????.????????×????.????????????.????????????????=????????
?
同理可得
?????（????????|????）=????????； ?????（????????|????）=????????
?
问题2：例5中P（Ai）, P（Ai|B）得实际意义是什么？
????(????????)是试验之前就已知的概率，它是第????台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率。
当已知抽到的零件是次品????发生，????????????????是这件次品来自第????台车床加工的可能性大小，
通常称为后验概率。
如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，
那么????????，????????， ????????就分别是第????，????，????台车床操作员应承担的份额。
?
*贝叶斯公式：
例6:在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
（1）分别求接收的信号为0和1的概率；
*（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
发送0(A)
发送1(????)
?
接收0(B)
接收1(????)
?
????????|????=????.????
?
????????|????=????.????
?
????????|????=????.????????
?
????????|????=????.????????
?
解：设????=“发送的信号为????”，????=“接收到的信号为????”，则????=“发送的信号为????”，
?????????????=“接收到的信号为????”.由题意得
?
(????)????(????)=????(????)????(????????????)+????(????)????(????|????)=????.????×????.????+????.????×????.????????=????.????????????;?
????(????)=?????????(????)=?????????.????????????=????.????????????.
?
????(????)=????(????)=????.????,????(????|????)=????.????,????(????|????)=????.????,?
????(????|????)=????.????????,????(????|????)=????.????????.
?
(????)????(????|????)=????(????)????(????|????)????(????)=????.????×????.????????????.????????????=????????????
?
课堂小结
1.全概率公式
2*贝叶斯公式：