7.3.2 离散型随机变量的方差-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（14张PPT）

随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”。因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小。所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征。
7.3.2 离散型随机变量的方差
1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差的含义。
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法．
重点：离散型随机变量的方差与标准差的概念。
难点：利用离散型随机变量的方差解决实际问题。
核心素养：数据分析、逻辑推理、数学运算。
如何评价这两名同学的射击水平？
E(X)= 8 ;E(Y)=8
因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1
表2
射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图：
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1
表2
发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。
问题2：我们如何定量刻画随机变量取值的离散程度？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}X
x1
x2
...
xn
P
p1
p2
...
pn
我们称
为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），我们称 为随机变量X的标准差，记为 .
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。
因此，问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。
两名同学射击成绩的方差和标准差分别为:
因为D(Y)问题3：方差的计算可以简化吗？
问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即
D（X+b）= D（X）
而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即
D（aX）=a2D（X）
因此，
D（aX+b）=a2D（X）
例5：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。
例6：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}收益X/元
-1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}收益X/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
表1
表2
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（1）投资哪种股票的风险较高？
解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为
E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,
E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.
因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。
例6：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}收益X/元
-1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}收益X/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
表1
表2
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（1）投资哪种股票的风险较高？
解：（2)股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,
D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高。
课堂小结