第18章平行四边形 单元培优训练题（Word版 含解析）

第18章平行四边形 单元培优训练题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形
2．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC于E点，若BE＝4，则AD的长等于（　　）
A．8 B．10 C．3 D．4
3．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BF＝BE＝8，过点C作CE的垂线交BE于点G，若CE恰好平分∠BEF，则BG的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2
4．如图，在正方形ABCD中，M为边BC上的一点，MN⊥BC交BD于点N，连接AM交BD于点E，F为DN中点，连接AF．有下列说法：①BN＝BM；②∠BAF＝∠AEF；③BE2+DF2＝EF2；④AB﹣MN＝DF．其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，
④CF＝BD＝2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
6．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则OE的长度是（　　）
A． B．5 C．3 D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．2
8．如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则EF+ED的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．4 D．6
9．如图，AB⊥AF，EF⊥AF，BE与AF交于点C，点D是BC的中点，∠AEB＝2∠B．若BC＝8，EF＝，则AF的长是（　　）
A． B． C．3 D．5
10．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
11．矩形ABCD的周长是34cm，对角线相交于O，△AOD与△AOB的周长相差1cm，则AB的长是　 　．
12．已知：如图，∠MON＝90°，四边形ABCD为矩形，A、B两点分别在射线ON、OM上，AD＝2，AB＝4，A、B两点在ON、OM上滑动时，C、D点随之运动，则线段OD的最大值为　 　．
13．如图，?ABCD中，AB＝10cm，AD＝15cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），在运动以后，当以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形时，运动时间t为　 　秒．
14．如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动，连接AE和DF交于P，若AD＝6，则线段CP的最小值为　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝　 　．
16．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝　 　度．
17．如图，点M为正方形ABCD边CD的中点，连接AM、BM，BM交对角线AC于点P，连接PD交AM于点Q，如果AB长为9，那么PQ的长为　 　．
18．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为　 　．
19．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　．
20．已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN＝　 　．
21．如图，已知正方形ABCD和等边△DCE，点F为CE的中点，AE与DF相交于点G，AG＝2．
（1）直接写出GE＝　 　；
（2）求出DG的长；
（3）如图，若将题中“等边△DCE”改为“DC＝DE的等腰△DCE”，其他条件不变，求出BG+DG的值．
22．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．
（1）求EF的长；
（2）求△DEF的面积．
23．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：EG＝AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
24．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°
（1）求证：AG＝FG；
（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝10，求FD的长．
25．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB和BC延长线上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）连接EF，若AB＝3，AE＝1，求EF的长．
26．如图1，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．
（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；
（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝DG+BG．
27．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，分别交BD、CD于点F、G．
（1）求证：△ADB≌△CEA；
（2）若BD＝9，求AF的长．
28．已知四边形ABCD是正方形，点P，Q在直线BC上，且AP∥DQ，过点Q作QO⊥BD，垂足为点O，连接OA，OP．
（1）如图，点P在线段BC上，
①求证：四边形APQD是平行四边形；
②判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（2）若正方形ABCD的边长为2，直接写出BP＝1时，△OBP的面积．
参考答案
1．解：①由矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知，A正确；
②由菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知，B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④在平行四边形ABCD中，
∵∠DAB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，而不能判定其是正方形，故D错误；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，
∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，
∴a2+b2＝102，
又∵S矩形ABCD＝2S△ABC
∴ab＝2××10×4＝40，
∵BC＞AB，
解得：a＝4，b＝2，
即AD＝4，
故选：D．
3．解：如图，延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP∥EF交BC于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，
∵BF＝BE＝8，
∴CF＝BF﹣BC＝2，
∵CE平分∠BEF，
∴∠GEC＝∠HEC，
∵CE⊥GC，
∴∠ECG＝∠ECH＝90°，
在△ECG和△ECH中，
，
∴△ECG≌△ECH（ASA），
∴CG＝CH，
∵GP∥EF，
∴∠PGC＝∠FHC，
在△PCG和△FCH中，
，
∴△PCG≌△FCH（ASA），
∴CP＝CF＝2，
∴BP＝BF﹣PF＝8﹣4＝4，
∵BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵GP∥EF，
∴∠BGP＝∠BEF，∠BPG＝∠BFE，
∴∠BGP＝∠BPG，
∴BG＝BP＝4．
故选：C．
4．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∵MN⊥BC，
∴∠BMN＝90°，
∴△MNB是等腰直角三角形，
∴BM＝MN，
∴BN＝BM；
故①正确；
②过F作GH⊥BC于H，交AD于G，连接FM、FC，
∵AD∥BC，
∴GH⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADF＝∠CDF＝45°，
∵DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴AF＝CF，
∵∠FDG＝45°，∠FGD＝90°，
∴△FGD是等腰直角三角形，
∴FG＝DG＝CH，
∴Rt△AFG≌Rt△FCH（HL），
∴∠FAG＝∠CFH，
∵MN∥FH∥DC，F是DN的中点，
∴MH＝CH，
∵FH⊥CM，
∴FM＝FC，
∴∠MFH＝∠CFH＝∠FAG，
∵∠AGF＝∠FAG+∠AFG＝∠MFH+∠AFG＝90°，
∴∠AFM＝90°，
∵AF＝FC＝FM，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴∠MAF＝45°，
∵∠BAF＝∠BAM+∠MAF＝∠BAM+45°，
∠AEF＝∠BAM+∠ABE＝∠BAM+45°，
∴∠BAF＝∠AEF；
故②正确；
③∵AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴将△AFD绕点A顺时针旋转90°至△ABF'，
∴△AFD≌△AF'B，
∴DF＝BF'，∠ABF'＝∠ADF＝45°，AF＝AF'，
∴∠EBF'＝45°+45°＝90°，
∴EF'2＝BF'2+BE2＝DF2+BE2，
∵∠F'AE＝∠F'AB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝45°＝∠EAF，AN＝AN，
∴△F'AE≌△FAE，
∴EF＝EF'，
∴EF2＝BE2+DF2；
故③正确；
④过F作FR⊥CD，垂足为P，使FP＝PR，连接DR、RC，
∵∠FDP＝45°，
∴∠DFP＝45°，
∴FP＝PD＝PR，
∴∠FDR＝90°，△FDR是等腰直角三角形，
∴FR＝DF，
∵FR＝2FP，CM＝2CH＝2FP，
∴FR＝CM，
∵AB＝CB，BM＝MN，
∴CM＝BC﹣BM＝AB﹣BM＝AB﹣MN，
∴AB﹣MN＝DF，
故④正确；
本题正确的结论有：①②③④，4个故选：D．
5．解：①∵EF＝2，
∴OE＝4，
∵AO＝AB＝6，
∴AE＝AO+OE＝6+4＝10，故正确；
②∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；
③作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝2，
∴△COF的面积S△COF＝×6×2＝6，故正确；
④作DH⊥AB于H，
CF＝＝2，
BH＝6﹣2＝4，
DH＝6+2＝8，
BD＝＝4，故错误．故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝5，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：3，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝67.5°，
∴∠ODC＝∠OCD＝67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝45°，
∴OE＝DE，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（2DE）2＝OD2＝25，
∴DE＝，故选：D．
7．解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1＝．
∴PB的最小值是．故选：C．
8．解：如图，当点E运动到点E′时，EF+ED的值最小，最小值为EF+DE'，
在AD边上取AH＝2，
∵AE′＝AE＝4，
∴＝2，
∵AD＝8，
∴＝2，
∴，
∵∠DAE′＝∠E′AH，
∴△DAE′∽△E′AH，
∴＝2，
∴E′H＝DE'，
∴EF+ED＝EF+E′D＝EF+E′H＝HF，
∴EF+ED的最小值为HF的值，
∵DH＝AD﹣AH＝6，
DF＝DC﹣CF＝6，
在Rt△DHF中，根据勾股定理，得
HF＝，故选：A．
9．解：∵AB⊥AF，
∴∠FAB＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠DAB＝∠B，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∵∠AEB＝2∠B，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵BC＝8，
∴AE＝AD＝4，
∵EF＝，EF⊥AF，
∴AF＝＝＝3，
故选：C．
10．解：
连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故选：C．
11．解：由图易得：OB＝OD，那么△AOD与△AOB的周长相差1cm其实就是AD与AB相差1cm
当AD比AB长1cm时，AD+AB＝AB+1+AB＝17，AB＝8；
当AD比AB短1cm时，AD+AB＝AB﹣1+AB＝17，AB＝9．
因此AB的长为8或9cm．故AB的长为8或9cm．
12．解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD＜OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB＝4，BC＝2，
∴OE＝AE＝AB＝2，
DE＝＝2，
∴OD的最大值为：2+2．
故答案为：2+2．
13．解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t≤，即t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣15＝15﹣t，
解得：t＝6；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，
解得：t＝10；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣45＝15﹣t，
解得：t＝12；
故答案为：6或10或12．
14．解：由题意得：AD＝CD，DE＝FC，∠ADC＝∠DCF＝90°，
∴△DCF≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠FDC，
∴∠APD＝90°，即：相当于点P始终在以AD为直径的圆上，
取AD的中点Q，当Q、P、C三点共线时，PC最小，
PC＝CQ﹣PQ＝﹣3＝3﹣3．
故：答案是3﹣3．
15．解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB于H．
∵DE＝EB，CE＝EK，
∴四边形BCDK是平行四边形，
∴CD＝BK，DK∥BC，
∵BC⊥AB，
∴DH⊥AB，
∵DA＝DB，
∴AH＝HB＝1，
∴KA＝KB＝CD，
在Rt△AKH中，AK＝AH÷cos30°＝，
∴CD＝，
故答案为．
16．解：∵∠CBA＝90°，∠ABE＝60°，
∴∠CBE＝150°，
∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形
∴BC＝BE，
∴∠BEC＝15°，
∵∠FBE＝∠DBA+∠ABE＝105°，
∴∠BFE＝60°，
在△CBF和△ABF中，
，
∴△CBF≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCE＝15°，
又∠ABF＝45°，且∠AFD为△AFB的外角，
∴∠AFD＝∠ABF+∠FAB＝15°+45°＝60°．
故答案为60．
17．解：如图，延长P交BC于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝BC＝9，AB∥CD，AD∥BC，
∵DM＝CM＝4.5，
∴PC：PA＝CM：AB＝1：2，CH：AD＝CP：PA＝1：2，
∴AD＝2CH，
∴CB＝2CH，
∴CH＝BH＝4.5，
∵AD＝CD，∠ADM＝∠DCH，DM＝CH，
∴△ADM≌△DCH，
∴∠DAM＝∠CDH，
∵∠DAM+∠AMD＝90°，
∴∠CDH+∠DMA＝90°，
∴∠DQM＝90°，
∵DH＝＝，
∵DP{PH＝AD：CH＝2：1，
∴DP＝DH＝3，
∵AM＝DH＝，
∴DQ＝＝，
∴PQ＝PD﹣DQ＝，
故答案为．
18．解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠MHB＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，
∴EH＝1﹣2x，
∴ME+2AF＝+2＝+，
欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），
作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，
∵J′（0，﹣4），K（1，1），
∴KJ′＝＝，
∴ME+2AF的最小值为，
故答案为．
19．解：如图作FH∥BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，
∴BC＝OB＝2+．
故答案为2+．
20．解：如图，延长DF交AB于P．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABN＝∠DAP＝90°，
∵AN⊥DP，
∴∠APD+∠PAH＝90°，∠ANB+∠PAH＝90°，
∴∠APD＝∠ANB，
∴△ADP≌△BAN，
∴AN＝DP，
∵BF⊥EC，
∴∠EBF+∠BEF＝90°，∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠EBF＝∠BCE，
∴tan∠EBF＝tan∠BCE＝，
∵AB＝BC，BE＝AE，
∴tan∠EBF＝tan∠BCE＝，设EF＝a，则BF＝2a，CF＝4a，
∵PE∥DC，
∴＝＝，
∵CD＝4，
∴PE＝1，
∵BE＝2，
∴PE＝PB＝1，
∴PF＝BE＝1，AP＝3，
在Rt△ADP中，DP＝＝5，
∴DF＝4，BN＝AP＝3，CN＝1，
∴DC＝DF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵∠BCE+∠DCF＝90°，∠FMH+∠DFC＝90°，∠FMH＝∠NMC，
∴∠NCM＝∠NMC，
∴MN＝CN＝1．
故答案为1．
21．解：（1）如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°，
∵点F为等边△DCE边CE的中点，
∴DF是CE的垂直平分线，
∴GE＝GC，
∵∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝15°，
∴∠GEC＝∠GCE＝60°﹣15°＝45°，
∴GC⊥AE，
∴△AGC为直角三角形，
∵∠GAC＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°，AG＝2，
∴GC＝GE＝AG＝2；
故答案为：2；
（2）由（1）可得AC＝4，则DC＝2，
在等边△DCE中DF＝，
在等腰直角△CGE中，由斜边上中线等于斜边的一半得GF＝，
∴DG＝﹣．
（3）如图2，过D作DN⊥AE于N，过A作AM⊥AE交GD的延长线于M，
∵∠ADN+∠CDN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，
∴∠DAN＝∠CDN，
∵AD＝DC＝DE，
∴∠DAN＝∠CDN＝∠DEA，
∵F是CE中点，
∴∠CDF＝∠EDF，
∵∠NDG＝∠CDN+∠CDF，∠DGN＝∠DEA+∠EDF，
∴∠NDG＝∠DGN＝45°，
∴∠M＝45°，
∴AM＝AG，
∵∠DAM+∠DAN＝90°，∠BAG+∠DAN＝90°，
∴∠DAM＝∠BAG，
在△MAD和△GAB中，
，
∴△MAD≌△GAB（SAS），
∴BG＝DM，
∴BG+DG＝DM+DG＝MG＝AG＝×2＝2．
22．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AB∥CD，AB＝CD＝3，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝2，
∵∠B＝60°，EF⊥AB，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝1，
由勾股定理得：EF＝；
（2）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠ECH，
在△BFE和△CHE中，
，
∴△BFE≌△CHE（ASA），
∴EF＝EH＝，CH＝BF＝1，
∵S△DHF＝DH?FH＝4，
∴S△DEF＝S△DHF＝2．
23．（1）证明：如图①，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB＝∠HAE．
∵∠EAB＝∠EGB，∠APE＝∠BPG，
∴∠ABG＝∠AEH．
在△ABG和△AEH中，
，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG＝EH，AG＝AH．
∵∠GAH＝∠EAB＝60°，
∴△AGH是等边三角形．
∴AG＝HG．
∴EG＝AG+BG；
（2）EG＝AG﹣BG．
如图②，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB＝∠HAE．
∵∠EGB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABG+∠AEG＝∠AEG+∠AEH＝180°．
∴∠ABG＝∠AEH．
∵又AB＝AE，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG＝EH，AG＝AH．
∵∠GAH＝∠EAB＝90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴AG＝HG．
∴EG＝AG﹣BG．
24．（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB＝45°
∴CH＝HF，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°
∴∠BAG＝∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG＝BH，BG＝CH，
∵BH＝BG+GH，
∴BH＝HF+GH＝FG，
∴AG＝FG；
（2）方法1、解：∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
∵BM＝10，
∴BG＝2，GM＝4，
∴AG＝4，AB＝10，
∴HF＝2，
∴CF＝2×＝2，
∴CM＝2，
过B点作BK⊥CM于K，
∵CK＝CM＝CF＝，
∴BK＝3，
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，
∴△BKC≌△CQD
∴CQ＝BK＝3，
DQ＝CK＝，
∴QF＝3﹣2＝，
∴DF＝＝2．
25．解：（1）∵正方形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，则
∠DCF＝∠A＝90°，AD＝CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）∵AB＝BC＝3，CF＝AE＝1，
∴BE＝3﹣1＝2，BF＝3+1＝4，
∴Rt△BEF中，EF＝＝＝2．
26．（1）解：如图2中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，
在△DAE和△BDF中，
，
∴△DAE≌△BDF，
∴∠ADE＝∠DBF，
∵∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，
∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．
（2）证明：如图3中，延长GE到M，使得GM＝GB，连接BD、CG．
∵∠MGB＝60°，GM＝GB，
∴△GMB是等边三角形，
∴∠MBG＝∠DBC＝60°，
∴∠MBD＝∠GBC，
在△MBD和△GBC中，
，
∴△MBD≌△GBC，
∴DM＝GC，∠M＝∠CGB＝60°，
∵CH⊥BG，
∴∠GCH＝30°，
∴CG＝2GH，
∵CG＝DM＝DG+GM＝DG+GB，
∴2GH＝DG+GB．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠ABC+∠BAD＝180°．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠BAD＝∠ACE．
∵CE＝BC，
∴CE＝AD，
在△ABE和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（SAS）．
（2）解：∵△ADB≌△CEA，
∴AE＝BD＝9．
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF．
∴＝．
∴＝．
∴AF＝3．
28．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∵AP∥DQ，
∴四边形APQD为平行四边形；
②解：结论：OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO＝45°，
∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，
∴OB＝OQ，
在△AOB和△OPQ中，
，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，
∴OA⊥OP；
（2）如图，过O作OE⊥BC于E．
①如图1，当P点在B点右侧时，
则BQ＝1+2＝3，OE＝BQ＝，
∴S△OPB＝×1×＝
②如图2，当P点在B点左侧时，
则BQ＝2﹣1＝1，OE＝BQ＝，
∴S△PBO＝×1×＝，
综上所述，△POB的面积为或．