16.1.1 二次根式的定义 课件 （46张）

第十六章
16.1.1 二次根式的定义
人教版数学八年级下册
学习目标
1.理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目。
2.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。
同学们，今天这节课，我们就一起来学习关于二次根式的定义的相关知识。
二次根式的定义
导入新知
思考
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为_________，面积为S的正
方形的边长为__________.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则
它的宽为________m.
合作探究
新知1 二次根式的定义
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t
(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)
满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为
______.
上面问题的结果分别是 ，它
们表示一些正数的算术 平方根.
形如 (a≥0)的式子叫做二次根式；
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式)．
定义
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具
备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
解：(1)∵ 的根指数是3，∴ 不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次根式．
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ＋1(a≥0);
(5) ；(6) ；(7) ；(8)
(5)当x＝－3时， 无意义，∴ 也无意义；
当x≠－3时， ＞0，∴ 是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴ 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴ 是二次根式．
二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式
的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个
特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．
新知小结
要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3 : 2，它的长、宽各应 取多少？
1
设长方形的长、宽分别为3x cm，2x cm，
由题意得2x×3x＝18，
解得x＝ (负值舍去)．
长方形的长、宽应分别取3 cm和2 cm.
答：
解：
巩固新知
2 下列式子一定是二次根式的是( )
A. B. 　
C. 　 D.
3 下列式子不一定是二次根式的是(　　)
A. B.
C. D.
C
A
4 下列式子：

中，一定是二次根式的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
C
式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．
即a≥0是 为二次根式的前提条件.
合作探究
新知2 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反
之也成立，即： 有意义?a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之
也成立，即： 无意义?a＜0.
新知小结
例2 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
1 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
(1) (2)
(3) (4)
(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， 在
实数范围内有意义．
解：
巩固新知
(2)由2a＋3≥0，得a≥－ ，
所以当a≥－ 时，2a＋3在实数范围内有意义．
(3)由－a≥0，得a≤0，
所以当a≤0时， 在实数范围内有意义．
(4)由5－a≥0，得a≤5，
所以当a≤5时， 在实数范围内有意义．
【 中考·成都】二次根式 中，x的取值范围是(　　)
A．x≥1 B．x＞1
C．x≤1 D．x＜1
2
A
【 中考·日照】式子 有意义，则实数
a的取值范围是(　　)
A．a≥－1 B．a≠2
C．a≥－1且a≠2 D．a＞2
3
C
4 (中考·滨州)如果式子 有意义，那么x的取值
范围在数轴上表示正确的是(　　)
C
【中考·黄冈】下列结论正确的是(　　)
A．3a3b－a2b＝2
B．单项式－x2的系数是－1
C．使式子 有意义的x的取值范围是x＞－1
D．若分式 的值等于0，则a＝±1
5
B
同时 (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性
质叫做二次根式的双重非负性.
合作探究
新知3 二次根式的“双重”非负性（a≥0， ≥0）
例3 若 ，则x-y 的值为 ( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入
代数式进行计算即可得解．因为 + (y+
3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0， ，所以y+3=0，x+y-1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．
C
两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．
新知小结
【中考·攀枝花】若 ，
则xy＝________.
【中考·泰州】实数a，b满足 ＋4a2
＋4ab＋b2＝0，则ba的值为(　　)
A．2 B.
C．－2 D．－
1
2
9
B
巩固新知
已知实数x，y满足|x－4|＋ ＝0，则以
x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是
(　　)
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
B
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被
开方数是非负数．
归纳新知
新知归纳
若式子 有意义，则实数x的取值范围是(　　)
A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3
C．x >－1 D．x >－1且x≠3
B
易错归纳
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x≥－1且x≠3.
易错点：考虑不全造成答案不完整.
a≥0
课后练习
C
C
算术平方根
非负数
a≥0
B
A
A
算术
≥
≥
A
B
D
【点拨】根据非负数的性质以及二元一次方程组的解法即可求出答案．
再 见