9.3平行四边形尖子生训练卷（Word版 含解析）

9.3平行四边形尖子生训练卷
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上的一点，∠ABE＝28°，且CE＝BC，AE＝DE，则下列选项正确的为（　　）
A．∠BAE＝56° B．∠AED＝68° C．∠AEB＝112° D．∠C＝122°
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知AB∥DC，则添加下列结论中的一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AO＝CO B．AC＝BD C．AB＝CD D．AD∥BC
3．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝8，△OCD的周长为20，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（　　）
A．40 B．28 C．24 D．12
4．如图所示，?ABCD中，AC的垂直平分线交AD于点E，且△CDE的周长为8，则?ABCD的周长是（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．如图，在?ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则?ABCD的对角线AC的长为（　　）
A．5 B．3 C．5 D．2
6．已知?ABCD的三个顶点坐标分别为A （0，0），B （3，﹣2），C （6，0），点D在x轴上方，则点D的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，3） C．（2，5） D．（3，2）
7．如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，CE交GH于点O，已知S?ABCD＝a，S?EFGH＝b（a＜b），则S阴影为（　　）
A．b﹣a B．（b﹣a） C．a D．b
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠ECF＝（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
9．平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为（　　）cm
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形APBQ，则对角线PQ的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．已知平行四边形ABCD中，AD＝AC，且∠D＝75°，BE⊥AC于点E，则∠EBC＝　 　．
12．如图，等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为　 　．
14．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为　 　．
15．平行四边形ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长是　 　cm．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是　 　．
17．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，分别连接DF，EF，DE，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列四个结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③CE＝2AG；④△DBF≌△EFA．其中结论正确的是　 　（填序号即可）．
18．在平面直角坐标系xOy中，平行四边形的三个顶点O（0，0），A（3，0），B（3，2），则其第四个顶点C的坐标是　 　．
19．在?ABCD中，边BC上的高为6，AB＝10，AC＝，则?ABCD的面积为　 　．
20．如图，在?ABCD中，AD＝3，AB＝5．AD⊥AC．若AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，点F，则FC+FB＝　 　．
21．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝3，则GE＝　 　．
22．图，点E、F分别在?ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．
23．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．
（1）如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；
（2）如图2，若∠ACB＝45°，求证：AF+FO＝EG．
24．如图，点E为?ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．
25．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，E为AC中点，CH平分∠ACB，连接BE交CH于G，过点A做AD⊥AB交BE的延长线于点D．
（1）求证：四边形AGCD为平行四边形；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，直接写出图中与AG相等的线段．
26．在四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，连接DE、BF，DE∥BF，DE＝BF，AF＝CE．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，∠ABC＝90°，DE⊥AC，连接BE、DF，请直接写出所有的全等的直角三角形．
27．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在DC的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝2，求GF的长．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠BEC＝28°，
∵CE＝BC，
∴∠EBC＝∠BEC＝28°，
∴∠ABC＝56°，
∴∠BAD＝∠C＝124°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠AED，
∵AE＝ED，
∴∠D＝∠DAE＝56°，
∴∠BAE＝124°﹣56°＝68°，
∴∠AED＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴∠AEB＝180°﹣68°﹣28°＝84°，
故选：B．
2．解：A、∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，AC＝BD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，选项B符合题意；
C、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；选项C不符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；选项D不符合题意；
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，BD＝2DO，AC＝2OC，
∵△OCD的周长为20，
∴OD+OC＝20﹣8＝12，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝24；
故选：C．
4．解：∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE，
∵△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝8，
∴?ABCD的周长＝2（CD+AD）＝16，
故选：D．
5．解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，
∵在?ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
∴BC＝BD＝AD＝3，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴Rt△ABD中，AB＝AD＝3，
∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，
∴∠BCF＝45°，
∴FC＝FB＝＝，
∴Rt△ACF中，AC＝＝＝，
故选：B．
6．解：
∵?ABCD的三个顶点坐标分别为A （0，0），B （3，﹣2），C （6，0），
∵点D在x轴上方，
∴点D的坐标为（3，2），
故选：D．
7．解：∵平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，
∴EH＝BC，EH∥BC，
∴∠EHO＝∠CBO，
在△EHO与△CBO中，，
∴△EHO≌△CBO（AAS），
∴△EHO面积＝△CBO面积，
∴S阴影＝S△EGH＝S?EFGH＝b；
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝70°，
∴∠BAD＝110°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠AEB＝55°，
∵AE∥CF，
∴∠BCF＝∠AEB＝55°，
故选：C．
9．解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE为角平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴①当AB＝BE＝2cm，CE＝3cm时，BC＝BE+CE＝5cm，
则平行四边形的周长＝2（2+5）＝14（cm）；
②当AB＝BE＝3cm时，CE＝2cm，BC＝BE+CE＝5cm，
则平行四边形的周长＝2（3+5）＝16（cm）；
故选：D．
10．解：由端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短，
∴当QP⊥AC时，PQ最短，
∵QP⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠APQ＝∠C＝90°，
∴PQ∥BC，
∵四边形APBQ是平行四边形，
∴AP∥BQ，
∴PC∥BQ，
∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C＝90°，
∴四边形PCBQ是矩形，
∴PQ＝BC＝6，
故选：B．
二．填空题（共11小题）
11．解：∵AD＝AC，且∠D＝75°，
∴∠ACD＝∠D＝75°，
∵∠CAD+∠ACD+∠D＝180°，
∴∠CAD＝180°﹣2×75°＝30°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD＝30°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC＝90°﹣∠ACB＝60°，
故答案为60°．
12．解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
13．解：如图所示，过C作CD⊥AB于D，
∵∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AP∥CQ，
∴当PQ⊥AP时，PQ的最小值等于CD的长，
∴对角线PQ的最小值为，
故答案为：．
14．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，
∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，
∴26×8＝12×AF，
∴AF＝，
即AB与CD间的距离为．
故答案是：．
15．解：如图所示：
在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
①当AE＝5cm时，平行四边形的周长＝2（5+12）＝34（cm）；
②当AE＝7cm时，平行四边形的周长＝2（7+12）＝38（cm）；
若点E在CD边上，同理可得?ABCD的周长为34cm或38cm．
综上所述，?ABCD的周长为34cm或38cm．
故答案为：34或38．
16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝2，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠OCD＝∠BAC，∠BCO＝∠DAC＝30°，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠OCD＝∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
分三种情况：
①当点P在BC上，∠POC＝90°时，如图1所示：
∵∠BCO＝30°，
∴OP＝OC＝，CP＝2OP＝；
②当点P在BC上，∠OPC＝90°时，如图2所示：
∵∠BCO＝30°，
∴OP＝OC＝1，CP＝OP＝；
③当点P在CD上，∠OPC＝90°时，如图3所示：
∵∠OCD＝45°，
∴△OPC是等腰直角三角形，
∴CP＝OC＝；
综上所述，若△OPC是直角三角形，则CP的长是或或，
故答案为：或或．
17．解：连接FC，如图所示：
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC，
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；故①正确；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形；故②正确；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴AF＝2AG，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴AE＝CE，∠AEF＝30°，
∵∠EAF＝90°，
∴EF＝2AF＝4AG，EF2＝AF2+AE2，
∴（4AG）2＝（2AG）2+CE2，
∴12AG2＝CE2，
∴CE＝2AG；故③正确；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴DA＝EF，
∴BD＝DA＝EF，
在△DBF和△EFA中，
（SAS），
∴△DBF≌△EFA；故④正确；
故答案为：①②③④．
18．解：∵O（0，0）、A（3，0），
∴OA＝3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝3，
∵B（3，2），
∴点C的坐标为（3﹣3，2），
即C（0，2）；
同理可得：C（6，2）或（0，﹣2）；
故答案为：（0，2）或（6，2）或（0，﹣2）．
19．解：∵AE⊥BC，
∴在Rt△ABE中，
∵AB＝10，AE＝6，
∴BE＝＝8，
在Rt△ABE中，
∵AC＝3，AE＝6，
∴CE＝＝3，
∴BC＝BE+CE＝11，BC＝CE﹣BE＝8﹣3＝5，
∴?ABCD的面积为BC×AE＝11×6＝66，或BC×AE＝5×6＝30，
故答案为：66或30．
20．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，
∵∠DAC＝90°，AD＝3，
∴AC＝，
∵AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，点F，
∴AF＝BF，
∴FC+BF＝AF+FC＝4，
故答案为：4．
21．解：取BE的中点H，连接FH、CH，如图：
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，FH＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E是CD的中点，
∴EC＝CD，
∴FH∥EC，FH＝EC，
∴四边形FHCE是平行四边形，
∴GE＝GH＝EH．
∵BE＝3，H是BE的中点，
∴EH＝，
∴GE＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
22．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF．
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分．
（2）四边形AECF是菱形．
证明：∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO．
∴∠CEO＝∠CFO．
∴CE＝CF．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
23．解：（1）连接BD，
∵平行四边形ABCD，
∴BD过点O，
∴S△OBC＝BC?OE＝×5×3＝
∴平行四边形ABCD的面积＝4S△OBC＝30；
（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2，
∵OE⊥BC，
∴∠OEG+∠GEC＝∠GEC+∠CEH＝90°，
∴∠OEG＝∠CEH，
∵∠ACB＝45°，
∴∠COE＝45°，
∴OE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
又FG⊥AB，
∴FG⊥CD，
∴∠EOG+∠ECG＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠ECH+∠ECG＝180°，
∴∠EOG＝∠ECH，
∴△OEG≌△CEH（ASA），
∴OG＝CH，EG＝EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAF＝∠OCG，
∵∠AOF＝∠COG，
∴△OAF≌△OCG（ASA），
∴AF＝CG，OF＝OG，
∵CG+CH＝GH，
∴AF+OF＝GH，
∵∠GEH＝90°，EG＝EH，
∴GH＝，
∴AF+OF＝EG．
24．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）证明：连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝BC，
∴△BCE是直角三角形，
∴∠FEG＝90°，
∴EF⊥EG．
25．（1）证明：∵AC＝BC，CH平分∠ACB，
∴CH⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CH，
∴∠ADE＝∠CGE，
∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CGE中，，
∴△ADE≌△CGE（AAS），
∴DE＝GE，
又∵AE＝CE，
∴四边形AGCD为平行四边形；
（2）解：与AG相等的线段有：AD、CD、CG、BG，理由如下：
∵AC＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E为AC中点，
∴BE⊥AC，
由（1）得：四边形AGCD为平行四边形，
∴四边形AGCD为菱形，
∴AD＝CD＝CG＝AG，
∵CH平分∠ACB，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∴BG＝AG，
∴AD＝CD＝CG＝AG＝BG．
26．（1）证明：∵DE∥BF，
∴∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：图中所有的全等的直角三角形为△ABC≌△CDA，△ABF≌△CDE，△BEF≌△DFE，△BCF≌△DAE，理由如下：
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
由（1）得：△ABF≌△CDE，AB＝CD，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠CDA＝90°，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（SAS）；
同理：△ABF≌△CDE（SAS），△BEF≌△DFE（SAS），△BCF≌△DAE（SAS）．
27．（1）证明：∵BE平分∠ABC，BC＝EC，
∴∠ABF＝∠CBE，∠CBE＝∠E，
∴∠ABF＝∠E，
∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝2，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝，
在△ABF和△DEF中，，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴BF＝EF＝6，AB＝DE，
∵AB＝CD，
∴AB＝CD＝DE＝CE＝BC＝，
∵FG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∴GF2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，
即（）2﹣AG2＝62﹣（+AG）2，
解得：AG＝，
∴GF＝＝