9.3平行四边形同步训练卷（Word版 含解析）

9.3平行四边形同步训练卷
1．如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
2．已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B的度数为（　　）
A．125° B．135° C．145° D．155°
3．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
5．如图，在?ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠BCD的平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E，则AE的长为（　　）
A．4 B．2 C．3 D．
6．如图，四边形ABCO为平行四边形，A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），则平行四边形ABCO的周长等于（　　）
A． B． C．4 D．6+2
7．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝5，AD＝3，则OB的长是（　　）
A． B．2 C．2 D．4
8．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（　　）
A．21 B．24 C．27 D．18
9．在?ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，DE平分∠ADC交AB于点E，则下列说法中不正确的是（　　）
A．AD＝DF B．AF⊥DE C．AE＝DF D．AE＝DE
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为　 　时，△AB'D是直角三角形．
11．如图，在?ABCD中，∠B＝110°，则∠D＝　 　°．
12．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为　 　．
13．平行四边形ABCD中，AB＝4，对角线AC＝3，另一条对角线BD的取值范围是　 　．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　秒后其中一个新四边形为平行四边形．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且AB＝PC，∠PBC＝2∠PCB，则∠A＝　 　°．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为　 　．
17．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则?ABCD的周长是　 　．
18．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为　 　．
19．把?ABCD放入平面直角坐标系中，若对角线的交点为原点，且A（3，﹣2），则点C的坐标为　 　．
20．如图，在?ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM＝DC，连接BM，CM，AP，BD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA＝PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
21．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．
22．如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DE＝EF，连接CF，CF∥AB．
（1）如图1，求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）如图2，若AB＝AC，请直接写出图中与线段CF相等的所有线段．
23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
25．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．
26．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
27．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AB＝6，DE＝3，求?ABCD的周长．
参考答案
1．解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C＝110°，
∴∠A＝∠C＝55°，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°＝125°，
故选：A．
3．解：连接OE，如图所示：
∵2AB＝BC＝4，
∴AB＝2，
∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，
∵以AC为斜边作Rt△ACE，
∴OE＝OA＝OC＝AC，
∵BE⊥DE，
∴OE＝OB＝OD＝BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD＝S△CBD．
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP＝S△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S△GPD＝S△FPD．
∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S?AEPG＝S?HCFP，
∴S?ABHG＝S?BCFE，
同理S?AEFD＝S?HCDG．
即：S?ABHG＝S?BCFE，S?AGPE＝S?HCFP，S?AEFD＝S?HCDG．
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠E＝∠DCF，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∴∠E＝∠BCF，
∴BE＝BC＝5，
又∵AB＝2，
∴AE＝BE﹣AB＝5﹣2＝3，
故选：C．
6．解：∵A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），
∴OC＝＝，OA＝3，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB＝OC＝，BC＝OA＝3，
∴平行四边形ABCO的周长＝2×（3+）＝6+2．
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝＝4，
∴OC＝AC＝2，
∴OB＝＝＝；
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为30，
∴AB+BC＝×30＝15，
∴四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝15+6＝21，
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，∠AFD＝∠FAB，∠ADC+∠DAB＝180°，
∵AF平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠DAF＝∠FAB＝∠DAB，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∴∠DAF＝∠AFD，∠ADE＝∠AED，
∴AD＝DF，AE＝AD，
∴AE＝DF，故A、C选项正确，不符合题意；
∴∠DAF+∠ADE＝∠DAB+∠ADC＝（∠DAB+∠ADC）＝90°，
∴AF⊥DE，故B选项正确，不符合题意；
故选：D．
10．解：①如图1，延长B'A，交BC于点G，当∠B'AD＝90°时，
∵AD＝BC，BC＝B'C，
∴AD＝B'C，
∵AD∥BC，∠B'AD＝90°，
∴∠B'GC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴∠AB'C＝30°，
∴GC＝B'C＝BC，
∴G为BC中点，
∴BG＝，
∴BC＝6，
②如图2，设B'C与AD相交于点F，当∠AB'D＝90°时，
∵AD＝BC，BC＝B'C，
∴AD＝B'C，
∵AB'＝AB＝CD，AC＝CA，
∴△ACB'≌△CAD（SSS），
∴∠DAC＝∠B'CA，
∴FA＝FC，
∵AD＝B'C，
∴FB'＝FD，
∴∠FB'D＝∠FDB'，
∵∠AB'C＝∠B＝∠CDA，
∴∠AB'D＝∠CDB'，
∵∠AB'D＝90°，
∴∠CDB'＝90°，
∴AB'∥CD，
∵AB∥CD，
∴B，A，B'在同一直线上，
∴∠BAC＝∠B'AC＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，
∴BC＝，
综上所述，BC的值为6或4．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝110°．
故答案为：110．
12．解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝8，
同理DE＝DC＝8，
∵EF＝1，
∴AE＝AF﹣EF＝8﹣1＝7，
∴AD＝AE+DE＝7+8＝15，
故答案为15．
13．解：如图，对角线AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AB＝4，AC＝3，
∴AO＝1.5，
∴BO的取值范围为4﹣1.5＜BO＜4+1.5，即2.5＜BO＜5.5，
∴5＜BD＜11，
故答案为5＜BD＜11．
14．解：根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
15．解：如图，作△PBC关于BC的对称图形△DBC，
∴∠DBC＝∠PBC，∠PCB＝∠DCB，CD＝CP，
∵CP是∠ACB的平分线，
∴∠BCA＝2∠PCB，
∵∠PBC＝2∠PCB，
∴∠DBC＝∠BCA，
∴BD∥AC，
延长BD到点E，使BE＝AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
设∠PCB＝α，
∴∠BCD＝∠ACP＝α，
∴∠PBC＝∠DBC＝∠BCA＝2α，
∴∠ACD＝3α，∠ABD＝6α，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴∠ACE＝∠ABE＝6α，
∴∠DCE＝3α，
∵∠CDE＝∠DBC+∠DCB＝3α，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝ED，
∵AB＝CE，AB＝PC，
∴CE＝CP，
∵CD＝CP，
∴CE＝ED＝CD，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠E＝60°，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴∠A＝∠E＝60°．
故答案为：60°．
16．解：如图所示，过C作CD⊥AB于D，
∵∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AP∥CQ，
∴当PQ⊥AP时，PQ的最小值等于CD的长，
∴对角线PQ的最小值为，
故答案为：．
17．解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵?ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
在?ABCD中，AD＝5，BE＝2，
∴AD＝BC＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，
∴CD＝AB＝3，
∴?ABCD的周长＝5+5+3+3＝16，
故答案为：16．
18．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，
∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，
∴26×8＝12×AF，
∴AF＝，
即AB与CD间的距离为．
故答案是：．
19．解：∵平行四边形是中心对称图形，
所以当其对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，
∵A（3，﹣2），
∴C（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
20．解：（1）∵PM∥DC，且PM＝DC，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴PD＝MC，
∵AB∥DC，且AB＝DC，PM∥DC，且PM＝DC，
∴AB∥PM，且AB＝PM，
∴四边形ABMP是平行四边形，
∴AP＝BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴△ADP≌△BCM（SSS）；
（2）由（1）可得S△ADP＝S△BCM，
∴S四边形BMCP＝S△BCM+S△BCP＝S△ADP+S△BCP＝S平行四边形ABCD，
又∵PA＝PC，
∴S△ABP＝S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴的值为＝．
21．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，
∴AF＝BC，
在Rt△AFD和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，
∴DF＝AE，
又∵DF⊥AB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．
22．（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，
又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，且CF∥BD，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）解：与线段CF相等的所有线段为AD、BD、AE、CE；理由如下：
由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，
∵AB＝AC，
∴BD＝AD＝AE＝CE＝CF．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AE，
∵AB＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：过D作DH⊥AE于H，
∵AB＝BD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，
∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，
∴BH＝3，
∴DH＝＝＝，
∴平行四边形BECD的面积＝BE?DH＝4×＝4．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠ADE＝∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）△ABF是等腰直角三角形，
证明：∵CF⊥DE，
∴∠CFE＝90°，
又∵∠CEF＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，
∴EF＝CF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（SAS），
∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，
∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，
即∠AFB＝∠EFC＝90°，
∴△ABF是等腰直角三角形．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝2，
∴BD＝＝＝2．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠E＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠E＝∠CBE，
∴CB＝CE，
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵DE＝3，
∴BC＝CE＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为30．