6.1.1向量的概念-2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 导学案
文档属性
| 名称 | 6.1.1向量的概念-2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 导学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 569.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 21:20:53 | ||
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文档简介
6.1.1 向量的概念
(教师独具内容)
课程标准：1.通过对力、速度、位移的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素．
教学重点：1.结合物理背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中的这些相关概念．
教学难点：1.对向量概念的理解.2.共线向量的理解和应用.
1．向量的判定
判定一个量是不是向量，关键看它是否具有向量的两要素：大小和方向．同时具备这两个要素的量是向量；否则就不是向量，但在现实生活中，有些量既同时具备大小和方向两个属性，还具有其他属性(如“力”就是由大小、方向、作用点所决定的)，我们仍然把它看作向量，可以用向量体系中所研究的有关规律来处理这些量中与大小和方向有关的问题．
2．共线向量与相等向量的关系
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，故平行向量又称共线向量，但注意两向量共线，它们不一定相等，而两个向量相等则一定共线，向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线”的含义．首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为如下四种情况：①方向相同、模相等；②方向相同、模不等；③方向相反，模相等；④方向相反，模不等．
3．向量的表示
向量的表示有三种：①几何法，即有向线段来表示；②字母表示：如，a；③坐标表示：用坐标表示将在以后学习．
4．注意零向量的特殊性．
5．有向线段与向量的区别与联系.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小．( )
(2)∠AOB的两条边都是向量．( )
(3)零向量的模都相等．( )
(4)向量与向量是相等向量．( )
2．做一做
(1)下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|<|b|，则aC．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
(2)如图，四边形ABCD中，＝，则必有( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
(3)零向量的方向是________，零向量的模等于________，零向量记作________．
(4)如图，在正六边形ABCDEF中，设O为它的中心，与共线的非零向量有__________________；与相等的向量有____________．
题型一 向量的概念
例1 (1)下列各量中是向量的是( )
A．时间 B．加速度
C．面积 D．长度
(2)给出下列命题：
①零向量没有方向；
②向量的长度和向量的模相等；
③若单位向量的起点相同，则终点相同；
④若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
(1)汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h．则关于下列说法：①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下列说法正确的是( )
A．温度有零上温度，有零下温度，则温度是矢量
B．作用力与反作用力是一对大小相等，方向相同的矢量
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
题型二 向量的相等与平行
例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点．
(1)写出与向量共线的非零向量；
(2)求证：＝.
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)请一一列出与a，b，c相等的向量．
题型三 向量的表示及应用
例3 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)画出，，，；
(2)用向量表示消防车从A地到B地的位移，并指出位移的大小和方向．
在如下图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为始点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为始点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么？然后作出轨迹；
(3)试以C为始点画一个向量d，使|d|＝3且d与a方向相反．
1．关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的
B．零向量的长度是0
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
2. 如图，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同始点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
3．给出下列几个命题：
①向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
②模相等的向量都相等；
③若向量a的模小于向量b的模，则a④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝；
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0.
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
4．下图中，小正方形的边长为1，则||＝________，||＝________，||＝________.
5．在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，使||＝4，点A在O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2. 如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是( )
A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C.的长度恰为 长度的倍
D.与不共线
3. 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，则向量，，，，，中的共线向量有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
4．下列说法中，不正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同始点且共线的向量其终点必相同
5．(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是( )
A.＝
B.∥
C．||＝||
D.＝
二、填空题
6．若向量a与任意向量b都平行，则a＝________；若|a|＝1，则向量a是________．
7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
8．四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有________个，与向量同向且长度为2的向量有________个．
三、解答题
9．如图，在单位圆中，B是OA的中点，PQ过B且PQ∥Ox，MP⊥Ox于M，NQ⊥Ox于N.则在向量，，，，，，，中．
(1)找出相等的向量；
(2)找出所有共线向量；
(3)，的模各是多少？
10. 如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
1．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
2．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
6.1.1 向量的概念
(教师独具内容)
课程标准：1.通过对力、速度、位移的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素．
教学重点：1.结合物理背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中的这些相关概念．
教学难点：1.对向量概念的理解.2.共线向量的理解和应用.
1．向量的判定
判定一个量是不是向量，关键看它是否具有向量的两要素：大小和方向．同时具备这两个要素的量是向量；否则就不是向量，但在现实生活中，有些量既同时具备大小和方向两个属性，还具有其他属性(如“力”就是由大小、方向、作用点所决定的)，我们仍然把它看作向量，可以用向量体系中所研究的有关规律来处理这些量中与大小和方向有关的问题．
2．共线向量与相等向量的关系
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，故平行向量又称共线向量，但注意两向量共线，它们不一定相等，而两个向量相等则一定共线，向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线”的含义．首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为如下四种情况：①方向相同、模相等；②方向相同、模不等；③方向相反，模相等；④方向相反，模不等．
3．向量的表示
向量的表示有三种：①几何法，即有向线段来表示；②字母表示：如，a；③坐标表示：用坐标表示将在以后学习．
4．注意零向量的特殊性．
5．有向线段与向量的区别与联系.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小．( )
(2)∠AOB的两条边都是向量．( )
(3)零向量的模都相等．( )
(4)向量与向量是相等向量．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．做一做
(1)下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|<|b|，则aC．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
(2)如图，四边形ABCD中，＝，则必有( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
(3)零向量的方向是________，零向量的模等于________，零向量记作________．
(4)如图，在正六边形ABCDEF中，设O为它的中心，与共线的非零向量有__________________；与相等的向量有____________．
答案 (1)C (2)D (3)不确定的 0 0 (4)，，，，，，，， ，，
题型一 向量的概念
例1 (1)下列各量中是向量的是( )
A．时间 B．加速度
C．面积 D．长度
(2)给出下列命题：
①零向量没有方向；
②向量的长度和向量的模相等；
③若单位向量的起点相同，则终点相同；
④若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析] (1)加速度既有大小又有方向，符合向量的概念，故选B.
(2)①错误，零向量有方向，其方向不确定；②正确；③错误，若单位向量的方向不同，则终点不同；④错误，向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．
[答案] (1)B (2)A
金版点睛
向量中相关概念的区别
(1)对向量有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量与共线向量之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．
(2)向量与有向线段的关系
如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
(3)向量与数量的区别
①向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向．
②数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|也不能说a>b.
(1)汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h．则关于下列说法：①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下列说法正确的是( )
A．温度有零上温度，有零下温度，则温度是矢量
B．作用力与反作用力是一对大小相等，方向相同的矢量
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
答案 (1)B (2)C
解析 (1)速度是有大小有方向的向量，不能比较大小，①错误；位移是有方向有大小的向量，不能比较大小，②错误；路程只有大小，可比较大小，显然汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程，③正确．故选B.
(2)温度的零上、零下之分不是方向，与前面学习的正角、负角一样，只是一种规定，故A错误；力是矢量，作用力与反作用力大小相等，方向相反，故B错误；向量的大小可用有向线段的长度表示，与有向线段的起点无关，故C正确，D错误．故选C.
题型二 向量的相等与平行
例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点．
(1)写出与向量共线的非零向量；
(2)求证：＝.
[解] (1)由共线向量的定义，得与向量共线的非零向量有：，，，，，，，，，，.
(2)证明：在?ABCD中，AD綊BC，又E，F分别为AD，BC的中点，∴ED綊BF.∴四边形BFDE是平行四边形．
∴BE綊FD，∴＝.
金版点睛
(1)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．
(2)非零向量共线是指方向相同或相反的向量；零向量与任何向量共线(平行)；平行(共线)向量无传递性．
(3)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念．
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)请一一列出与a，b，c相等的向量．
解 (1)与a的长度相等，方向相反的向量有，，，.
(2)与a相等的向量有，，.与b相等的向量有，，.与c相等的向量有，，.
题型三 向量的表示及应用
例3 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)画出，，，；
(2)用向量表示消防车从A地到B地的位移，并指出位移的大小和方向．
[解] (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知即为消防车从A地到B地的位移.＝，
∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，∴＝，则B地相对于A地的位置为北偏东60°，且A到B的距离为6千米．即位移的大小为6千米，方向为北偏东60°.
金版点睛
用“四定一标”来表示向量
(1)“四定”即→→→.
(2)“一标”即确定向量的方向后由箭头标出．
在如下图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为始点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为始点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么？然后作出轨迹；
(3)试以C为始点画一个向量d，使|d|＝3且d与a方向相反．
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．
(3)如图．
1．关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的
B．零向量的长度是0
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
答案 A
解析 零向量的方向是任意的，故选A.
2. 如图，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同始点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
答案 C
解析 ||，||，||均为⊙O的半径，故||＝||＝||，由图形判断向量是否相等或者是否共线，都应从大小和方向两方面观察，故A，B，D均错误．故选C.
3．给出下列几个命题：
①向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
②模相等的向量都相等；
③若向量a的模小于向量b的模，则a④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝；
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0.
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
答案 ④⑤
解析 ①不正确．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上．②不正确．向量的模相等，但方向并不确定．③不正确．向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，应该表示为|a|<|b|.由向量相等的概念及零向量的概念，易知④⑤正确．故真命题是④⑤.
4．下图中，小正方形的边长为1，则||＝________，||＝________，||＝________.
答案 3 2
解析 根据勾股定理可得||＝3；||＝；||＝2.
5．在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，使||＝4，点A在O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
解 如图所示．
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 D
解析 看所给的量是否既有大小又有方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是标量．
2. 如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是( )
A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C.的长度恰为 长度的倍
D.与不共线
答案 D
解析 易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量＝；对于B，||＝||＝||＝||＝||；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则||＝||；对于D，∥成立，故D错误．
3. 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，则向量，，，，，中的共线向量有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
答案 C
解析 与，与，与都是共线向量．
4．下列说法中，不正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同始点且共线的向量其终点必相同
答案 D
解析 很明显A，B，C正确，共线向量只与方向有关，只要是方向相同或相反的向量都是共线向量，所以D不正确．
5．(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是( )
A.＝
B.∥
C．||＝||
D.＝
答案 ABC
解析 由正六边形的性质，可得＝，∥，||＝||，||＝||，显然，方向不同，故≠.故选ABC.
二、填空题
6．若向量a与任意向量b都平行，则a＝________；若|a|＝1，则向量a是________．
答案 0 单位向量
解析 由于只有零向量与任意向量平行，故a＝0；由于|a|＝1，即向量a的长度为1，所以向量a是单位向量．
7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
答案
解析 根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
8．四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有________个，与向量同向且长度为2的向量有________个．
答案 8 4
解析 如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，共8个，与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个．
三、解答题
9．如图，在单位圆中，B是OA的中点，PQ过B且PQ∥Ox，MP⊥Ox于M，NQ⊥Ox于N.则在向量，，，，，，，中．
(1)找出相等的向量；
(2)找出所有共线向量；
(3)，的模各是多少？
解 (1)相等的向量有：＝＝.
(2)与；与，，互为共线向量．
(3)||＝||＝.
10. 如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
证明 ∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
∴＝.∵||＝||，||＝||，
∴||＝||.
∵DN∥MB且与的方向相同，∴＝.
1．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
解 如图，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意，知△ABC是正三角形，
∴AC＝2000 km.
又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 km，
∴△ACD是等腰直角三角形．
∴AD＝1000 km，∠CAD＝45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地1000 km.
2．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解 (1)共有8种情况，如图．
(2)由(1)所画的图知，①当点C在点C1或C2时，||取得最小值＝.②当点C在点C5或C6时，||取得最大值＝.
(教师独具内容)
课程标准：1.通过对力、速度、位移的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素．
教学重点：1.结合物理背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中的这些相关概念．
教学难点：1.对向量概念的理解.2.共线向量的理解和应用.
1．向量的判定
判定一个量是不是向量，关键看它是否具有向量的两要素：大小和方向．同时具备这两个要素的量是向量；否则就不是向量，但在现实生活中，有些量既同时具备大小和方向两个属性，还具有其他属性(如“力”就是由大小、方向、作用点所决定的)，我们仍然把它看作向量，可以用向量体系中所研究的有关规律来处理这些量中与大小和方向有关的问题．
2．共线向量与相等向量的关系
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，故平行向量又称共线向量，但注意两向量共线，它们不一定相等，而两个向量相等则一定共线，向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线”的含义．首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为如下四种情况：①方向相同、模相等；②方向相同、模不等；③方向相反，模相等；④方向相反，模不等．
3．向量的表示
向量的表示有三种：①几何法，即有向线段来表示；②字母表示：如，a；③坐标表示：用坐标表示将在以后学习．
4．注意零向量的特殊性．
5．有向线段与向量的区别与联系.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小．( )
(2)∠AOB的两条边都是向量．( )
(3)零向量的模都相等．( )
(4)向量与向量是相等向量．( )
2．做一做
(1)下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|<|b|，则aC．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
(2)如图，四边形ABCD中，＝，则必有( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
(3)零向量的方向是________，零向量的模等于________，零向量记作________．
(4)如图，在正六边形ABCDEF中，设O为它的中心，与共线的非零向量有__________________；与相等的向量有____________．
题型一 向量的概念
例1 (1)下列各量中是向量的是( )
A．时间 B．加速度
C．面积 D．长度
(2)给出下列命题：
①零向量没有方向；
②向量的长度和向量的模相等；
③若单位向量的起点相同，则终点相同；
④若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
(1)汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h．则关于下列说法：①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下列说法正确的是( )
A．温度有零上温度，有零下温度，则温度是矢量
B．作用力与反作用力是一对大小相等，方向相同的矢量
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
题型二 向量的相等与平行
例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点．
(1)写出与向量共线的非零向量；
(2)求证：＝.
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)请一一列出与a，b，c相等的向量．
题型三 向量的表示及应用
例3 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)画出，，，；
(2)用向量表示消防车从A地到B地的位移，并指出位移的大小和方向．
在如下图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为始点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为始点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么？然后作出轨迹；
(3)试以C为始点画一个向量d，使|d|＝3且d与a方向相反．
1．关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的
B．零向量的长度是0
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
2. 如图，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同始点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
3．给出下列几个命题：
①向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
②模相等的向量都相等；
③若向量a的模小于向量b的模，则a
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0.
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
4．下图中，小正方形的边长为1，则||＝________，||＝________，||＝________.
5．在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，使||＝4，点A在O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2. 如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是( )
A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C.的长度恰为 长度的倍
D.与不共线
3. 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，则向量，，，，，中的共线向量有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
4．下列说法中，不正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同始点且共线的向量其终点必相同
5．(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是( )
A.＝
B.∥
C．||＝||
D.＝
二、填空题
6．若向量a与任意向量b都平行，则a＝________；若|a|＝1，则向量a是________．
7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
8．四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有________个，与向量同向且长度为2的向量有________个．
三、解答题
9．如图，在单位圆中，B是OA的中点，PQ过B且PQ∥Ox，MP⊥Ox于M，NQ⊥Ox于N.则在向量，，，，，，，中．
(1)找出相等的向量；
(2)找出所有共线向量；
(3)，的模各是多少？
10. 如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
1．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
2．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
6.1.1 向量的概念
(教师独具内容)
课程标准：1.通过对力、速度、位移的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素．
教学重点：1.结合物理背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中的这些相关概念．
教学难点：1.对向量概念的理解.2.共线向量的理解和应用.
1．向量的判定
判定一个量是不是向量，关键看它是否具有向量的两要素：大小和方向．同时具备这两个要素的量是向量；否则就不是向量，但在现实生活中，有些量既同时具备大小和方向两个属性，还具有其他属性(如“力”就是由大小、方向、作用点所决定的)，我们仍然把它看作向量，可以用向量体系中所研究的有关规律来处理这些量中与大小和方向有关的问题．
2．共线向量与相等向量的关系
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，故平行向量又称共线向量，但注意两向量共线，它们不一定相等，而两个向量相等则一定共线，向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线”的含义．首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为如下四种情况：①方向相同、模相等；②方向相同、模不等；③方向相反，模相等；④方向相反，模不等．
3．向量的表示
向量的表示有三种：①几何法，即有向线段来表示；②字母表示：如，a；③坐标表示：用坐标表示将在以后学习．
4．注意零向量的特殊性．
5．有向线段与向量的区别与联系.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小．( )
(2)∠AOB的两条边都是向量．( )
(3)零向量的模都相等．( )
(4)向量与向量是相等向量．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．做一做
(1)下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|<|b|，则aC．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
(2)如图，四边形ABCD中，＝，则必有( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
(3)零向量的方向是________，零向量的模等于________，零向量记作________．
(4)如图，在正六边形ABCDEF中，设O为它的中心，与共线的非零向量有__________________；与相等的向量有____________．
答案 (1)C (2)D (3)不确定的 0 0 (4)，，，，，，，， ，，
题型一 向量的概念
例1 (1)下列各量中是向量的是( )
A．时间 B．加速度
C．面积 D．长度
(2)给出下列命题：
①零向量没有方向；
②向量的长度和向量的模相等；
③若单位向量的起点相同，则终点相同；
④若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析] (1)加速度既有大小又有方向，符合向量的概念，故选B.
(2)①错误，零向量有方向，其方向不确定；②正确；③错误，若单位向量的方向不同，则终点不同；④错误，向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．
[答案] (1)B (2)A
金版点睛
向量中相关概念的区别
(1)对向量有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量与共线向量之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．
(2)向量与有向线段的关系
如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
(3)向量与数量的区别
①向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向．
②数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|也不能说a>b.
(1)汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h．则关于下列说法：①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下列说法正确的是( )
A．温度有零上温度，有零下温度，则温度是矢量
B．作用力与反作用力是一对大小相等，方向相同的矢量
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
答案 (1)B (2)C
解析 (1)速度是有大小有方向的向量，不能比较大小，①错误；位移是有方向有大小的向量，不能比较大小，②错误；路程只有大小，可比较大小，显然汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程，③正确．故选B.
(2)温度的零上、零下之分不是方向，与前面学习的正角、负角一样，只是一种规定，故A错误；力是矢量，作用力与反作用力大小相等，方向相反，故B错误；向量的大小可用有向线段的长度表示，与有向线段的起点无关，故C正确，D错误．故选C.
题型二 向量的相等与平行
例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点．
(1)写出与向量共线的非零向量；
(2)求证：＝.
[解] (1)由共线向量的定义，得与向量共线的非零向量有：，，，，，，，，，，.
(2)证明：在?ABCD中，AD綊BC，又E，F分别为AD，BC的中点，∴ED綊BF.∴四边形BFDE是平行四边形．
∴BE綊FD，∴＝.
金版点睛
(1)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．
(2)非零向量共线是指方向相同或相反的向量；零向量与任何向量共线(平行)；平行(共线)向量无传递性．
(3)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念．
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)请一一列出与a，b，c相等的向量．
解 (1)与a的长度相等，方向相反的向量有，，，.
(2)与a相等的向量有，，.与b相等的向量有，，.与c相等的向量有，，.
题型三 向量的表示及应用
例3 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)画出，，，；
(2)用向量表示消防车从A地到B地的位移，并指出位移的大小和方向．
[解] (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知即为消防车从A地到B地的位移.＝，
∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，∴＝，则B地相对于A地的位置为北偏东60°，且A到B的距离为6千米．即位移的大小为6千米，方向为北偏东60°.
金版点睛
用“四定一标”来表示向量
(1)“四定”即→→→.
(2)“一标”即确定向量的方向后由箭头标出．
在如下图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为始点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为始点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么？然后作出轨迹；
(3)试以C为始点画一个向量d，使|d|＝3且d与a方向相反．
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．
(3)如图．
1．关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的
B．零向量的长度是0
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
答案 A
解析 零向量的方向是任意的，故选A.
2. 如图，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同始点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
答案 C
解析 ||，||，||均为⊙O的半径，故||＝||＝||，由图形判断向量是否相等或者是否共线，都应从大小和方向两方面观察，故A，B，D均错误．故选C.
3．给出下列几个命题：
①向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
②模相等的向量都相等；
③若向量a的模小于向量b的模，则a
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0.
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
答案 ④⑤
解析 ①不正确．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上．②不正确．向量的模相等，但方向并不确定．③不正确．向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，应该表示为|a|<|b|.由向量相等的概念及零向量的概念，易知④⑤正确．故真命题是④⑤.
4．下图中，小正方形的边长为1，则||＝________，||＝________，||＝________.
答案 3 2
解析 根据勾股定理可得||＝3；||＝；||＝2.
5．在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，使||＝4，点A在O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
解 如图所示．
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 D
解析 看所给的量是否既有大小又有方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是标量．
2. 如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是( )
A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C.的长度恰为 长度的倍
D.与不共线
答案 D
解析 易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量＝；对于B，||＝||＝||＝||＝||；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则||＝||；对于D，∥成立，故D错误．
3. 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，则向量，，，，，中的共线向量有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
答案 C
解析 与，与，与都是共线向量．
4．下列说法中，不正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同始点且共线的向量其终点必相同
答案 D
解析 很明显A，B，C正确，共线向量只与方向有关，只要是方向相同或相反的向量都是共线向量，所以D不正确．
5．(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是( )
A.＝
B.∥
C．||＝||
D.＝
答案 ABC
解析 由正六边形的性质，可得＝，∥，||＝||，||＝||，显然，方向不同，故≠.故选ABC.
二、填空题
6．若向量a与任意向量b都平行，则a＝________；若|a|＝1，则向量a是________．
答案 0 单位向量
解析 由于只有零向量与任意向量平行，故a＝0；由于|a|＝1，即向量a的长度为1，所以向量a是单位向量．
7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
答案
解析 根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
8．四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有________个，与向量同向且长度为2的向量有________个．
答案 8 4
解析 如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，共8个，与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个．
三、解答题
9．如图，在单位圆中，B是OA的中点，PQ过B且PQ∥Ox，MP⊥Ox于M，NQ⊥Ox于N.则在向量，，，，，，，中．
(1)找出相等的向量；
(2)找出所有共线向量；
(3)，的模各是多少？
解 (1)相等的向量有：＝＝.
(2)与；与，，互为共线向量．
(3)||＝||＝.
10. 如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
证明 ∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
∴＝.∵||＝||，||＝||，
∴||＝||.
∵DN∥MB且与的方向相同，∴＝.
1．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
解 如图，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意，知△ABC是正三角形，
∴AC＝2000 km.
又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 km，
∴△ACD是等腰直角三角形．
∴AD＝1000 km，∠CAD＝45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地1000 km.
2．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解 (1)共有8种情况，如图．
(2)由(1)所画的图知，①当点C在点C1或C2时，||取得最小值＝.②当点C在点C5或C6时，||取得最大值＝.