6.1.2向量的加法-2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 导学案
文档属性
| 名称 | 6.1.2向量的加法-2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 导学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 529.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 21:21:17 | ||
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文档简介
6.1.2 向量的加法
(教师独具内容)
课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义．
教学重点：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理定义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，会求多个向量的和．
教学难点：向量加法的两个法则及其应用.
1．向量加法的三角形法则必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合．
2．向量的平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量，即共始点．
3．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
4．向量求和的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义．
5．向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广；向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立．
6．当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|实际上是三角形知识中的“两边之和大于第三边”．
7．记住常用结论：在△ABC中，＋＋＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量相加就是模相加．( )
(2)在向量加法的三角形法则中，和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．( )
(3)向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立．( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)化简：＋＋＋＋＝________.
(2)在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝________.
(3)如图，在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
题型一 向量加法的三角形法则
例1 (1)在?ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝＋ D.＋＝＋
(2)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
△ABC中，下列四个结论中正确的是( )
①＋>；②＋＝；
③||＋||>||；④||＋||＝||.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
题型二 向量加法的平行四边形法则
例2 在平行四边形ABCD中，＋等于( )
A. B. C. D.
如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B. C. D.
题型三 多个向量相加
例3 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
1．下列命题：
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B. C. D.
3．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
4．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
5. 如图，在正六边形OABCDE中，＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A. B. C. D.
2．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a，b均为向量，则|a＋b|>|a|－|b|
C．若a，b均为向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a∥b，c∥b，则a∥c
3．如图，四边形ABCD为菱形，则下列等式成立的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝
4．在矩形ABCD中，||＝，||＝1，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．2
C．3 D．4
5．(多选)如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是( )
A.＝＋
B.＋＝0
C.＋＋＝0
D.＋＝
二、填空题
6．如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，试用正六边形的六个顶点和点O为始点或终点，构造向量表示下列向量的和．
(1)＋＝________；
(2)＋＝________.
7．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝3.∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________.
8．已知||＝6，||＝9，则|＋|的取值范围是________．
三、解答题
9. 如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
10. 点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋.
1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
2. 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．化简＋＋.
6.1.2 向量的加法
(教师独具内容)
课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义．
教学重点：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理定义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，会求多个向量的和．
教学难点：向量加法的两个法则及其应用.
1．向量加法的三角形法则必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合．
2．向量的平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量，即共始点．
3．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
4．向量求和的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义．
5．向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广；向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立．
6．当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|实际上是三角形知识中的“两边之和大于第三边”．
7．记住常用结论：在△ABC中，＋＋＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量相加就是模相加．( )
(2)在向量加法的三角形法则中，和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．( )
(3)向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)化简：＋＋＋＋＝________.
(2)在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝________.
(3)如图，在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
答案 (1)0 (2) (3)0
题型一 向量加法的三角形法则
例1 (1)在?ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝＋ D.＋＝＋
(2)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
[解析] (1)根据向量加法的三角形法则，得＋＝，＋＝，所以＋＝＋.
(2)当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20；
当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4；
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20.综上，|a＋b|的最大值为20，最小值为4.
[答案] (1)C (2)20 4
金版点睛
1．向量加法的三角形法则作图的方法
法则 作法
三角形 法则 ①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与其前一个向量的终点重合即用同一个字母来表示)；
②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和
2．对向量加法三角形法则的两点说明
(1)适用范围：任意向量．
(2)注意事项：两个向量一定首尾相连；始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．
3．两个向量的和向量仍是一个向量．
4．处理与模有关的不等关系时，可利用不等式
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
△ABC中，下列四个结论中正确的是( )
①＋>；②＋＝；
③||＋||>||；④||＋||＝||.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
答案 B
解析 ①不正确，向量无法比较大小；根据向量加法的三角形法则可知，＋＝，②正确；由三角形的两边之和大于第三边，可知||＋||>||，③正确；④不正确，只有当A，B，C三点共线且B在线段AC上时，④才成立.
题型二 向量加法的平行四边形法则
例2 在平行四边形ABCD中，＋等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为四边形ABCD是平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则可得＋＝.
[答案] A
金版点睛
1．向量加法的平行四边形法则作图的方法
法则 作法
平行四 边形法
则 ①把两个已知向量的始点平移到同一点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③对角线上的向量就是这两个已知向量的和
2.对向量加法的平行四边形法则的两点说明
(1)适用范围：任意两个非零向量，且不共线．
(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的始点；②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量．
如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a＝＋，由 a和长度相等，方向相同，得a＝，即＋＝.
题型三 多个向量相加
例3 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
[解] 解法一：如图1，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c.
解法二：如图2，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c.
解法三：如图3，将向量a，b，c依次首尾相接，以向量a的始点为始点，以向量c的终点为终点的向量d即为向量a＋b＋c.
金版点睛
(1)向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”．
(2)当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，那么各向量的和就是0.
(3)如图所示，在n＋1边形A0A1…An中，则有：＋＋＋…＋An－1An＝，＋＋＋…＋An－1An＋＝0.
化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
解 (1)＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.
(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝＋＝0.
1．下列命题：
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 ①真命题．②假命题．当A，B，C三点共线时也可以有＋＋＝0.③假命题．只有当a与b同向时，相等，其他情况均为|a＋b|<|a|＋|b|.应选B.
2．在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B. C. D.
答案 A
解析 正六边形是六边均等长的多边形．设正六边形ABCDEF的中心为O，则△OAB，△OBC，△OCD，△ODE，△OEF，△OAF都是等边三角形，于是四边形OBAF和四边形OCDE都是菱形(如图所示)．∴＝，＝，于是＋＋＝＋＋＝0.
3．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
答案 ABD
解析 对于A，＋＋＝＋＝；对于B，＋＋＝＋＝；对于C，＋＋＝＋＝；对于D，＋＋＝＋＝.故选ABD.
4．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
答案 2
解析 因为＋＝，＋＝，于是|＋＋＋|＝2||＝2.
5. 如图，在正六边形OABCDE中，＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．
解 设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得＝＋＝a＋b.
∵＝＝，
∴＝＝a＋b.
在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得＝＋＝a＋a＋b.
同理，在△OBC中，＝＋＝a＋a＋b＋b，
在△OED中，＝＋＝＋＝b＋a＋b.
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ＋＋＝＋＋＝.
2．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a，b均为向量，则|a＋b|>|a|－|b|
C．若a，b均为向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a∥b，c∥b，则a∥c
答案 C
解析 对于A，|a|＝|b|只能说明两向量的模相等，它们的方向不一定相同，所以a与b不一定相等，故A错误；对于B，当b＝0时，|a＋b|＝|a|－|b|，故B错误；C显然正确；对于D，当b＝0时，不成立，故选C.
3．如图，四边形ABCD为菱形，则下列等式成立的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝
答案 C
解析 由向量加法的三角形法则和向量相等的定义知＋＝＝，故C正确；由向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则知A，B，D均错误，故选C.
4．在矩形ABCD中，||＝，||＝1，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 |＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2×2＝4.
5．(多选)如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是( )
A.＝＋
B.＋＝0
C.＋＋＝0
D.＋＝
答案 ACD
解析 ∵在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴＝＋，＝，∴A正确；＋＝＋≠0，∴B错误；＋＋＝＋＝0，∴C正确；＝，＝，＋＝，∴D正确．故选ACD.
二、填空题
6．如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，试用正六边形的六个顶点和点O为始点或终点，构造向量表示下列向量的和．
(1)＋＝________；
(2)＋＝________.
答案 (1)(或) (2)
解析 连接OA2，OA4，OA5，OA6，则四边形OA1A6A5和四边形OA1A2A3为菱形．∴＋＝＝；＝＝.又∵＝，∴＋＝＋＝＋＝.
7．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝3.∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________.
答案 3
解析 如图，因为||＝||＝3，所以四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.因为∠AOB＝60°，所以AB＝||＝3，所以在Rt△BDC中，CD＝，所以|a＋b|＝||＝×2＝3.
8．已知||＝6，||＝9，则|＋|的取值范围是________．
答案 [3,15]
解析 ∵|||－|||≤|＋|≤||＋||，且||＝6，||＝9，∴3≤|＋|≤15，∴|＋|的取值范围为[3,15]．
三、解答题
9. 如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
10. 点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋.
解 (1)由D，E，F分别为△ABC三边AB，BC，CA的中点，易知四边形FDBE为平行四边形，则＝，∴＋＋＝＋＋＝.
(2)＋＋＝＋＋＋＋＋
＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
答案 A
解析 ∵a∥b，∴a和b方向相同或相反．当a，b方向相同时，a＋b的方向与a的方向相同；当a，b方向相反时，∵|a|>|b|>0，则a＋b的方向仍与a方向相同．故选A.
2. 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．化简＋＋.
解 由题意知＝＋，
＝＋，＝＋.
由题意可知＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0.
(教师独具内容)
课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义．
教学重点：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理定义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，会求多个向量的和．
教学难点：向量加法的两个法则及其应用.
1．向量加法的三角形法则必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合．
2．向量的平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量，即共始点．
3．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
4．向量求和的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义．
5．向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广；向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立．
6．当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|实际上是三角形知识中的“两边之和大于第三边”．
7．记住常用结论：在△ABC中，＋＋＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量相加就是模相加．( )
(2)在向量加法的三角形法则中，和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．( )
(3)向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立．( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)化简：＋＋＋＋＝________.
(2)在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝________.
(3)如图，在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
题型一 向量加法的三角形法则
例1 (1)在?ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝＋ D.＋＝＋
(2)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
△ABC中，下列四个结论中正确的是( )
①＋>；②＋＝；
③||＋||>||；④||＋||＝||.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
题型二 向量加法的平行四边形法则
例2 在平行四边形ABCD中，＋等于( )
A. B. C. D.
如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B. C. D.
题型三 多个向量相加
例3 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
1．下列命题：
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B. C. D.
3．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
4．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
5. 如图，在正六边形OABCDE中，＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A. B. C. D.
2．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a，b均为向量，则|a＋b|>|a|－|b|
C．若a，b均为向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a∥b，c∥b，则a∥c
3．如图，四边形ABCD为菱形，则下列等式成立的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝
4．在矩形ABCD中，||＝，||＝1，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．2
C．3 D．4
5．(多选)如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是( )
A.＝＋
B.＋＝0
C.＋＋＝0
D.＋＝
二、填空题
6．如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，试用正六边形的六个顶点和点O为始点或终点，构造向量表示下列向量的和．
(1)＋＝________；
(2)＋＝________.
7．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝3.∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________.
8．已知||＝6，||＝9，则|＋|的取值范围是________．
三、解答题
9. 如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
10. 点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋.
1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
2. 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．化简＋＋.
6.1.2 向量的加法
(教师独具内容)
课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义．
教学重点：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理定义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，会求多个向量的和．
教学难点：向量加法的两个法则及其应用.
1．向量加法的三角形法则必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合．
2．向量的平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量，即共始点．
3．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
4．向量求和的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义．
5．向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广；向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立．
6．当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|实际上是三角形知识中的“两边之和大于第三边”．
7．记住常用结论：在△ABC中，＋＋＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量相加就是模相加．( )
(2)在向量加法的三角形法则中，和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．( )
(3)向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)化简：＋＋＋＋＝________.
(2)在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝________.
(3)如图，在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
答案 (1)0 (2) (3)0
题型一 向量加法的三角形法则
例1 (1)在?ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝＋ D.＋＝＋
(2)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
[解析] (1)根据向量加法的三角形法则，得＋＝，＋＝，所以＋＝＋.
(2)当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20；
当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4；
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20.综上，|a＋b|的最大值为20，最小值为4.
[答案] (1)C (2)20 4
金版点睛
1．向量加法的三角形法则作图的方法
法则 作法
三角形 法则 ①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与其前一个向量的终点重合即用同一个字母来表示)；
②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和
2．对向量加法三角形法则的两点说明
(1)适用范围：任意向量．
(2)注意事项：两个向量一定首尾相连；始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．
3．两个向量的和向量仍是一个向量．
4．处理与模有关的不等关系时，可利用不等式
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
△ABC中，下列四个结论中正确的是( )
①＋>；②＋＝；
③||＋||>||；④||＋||＝||.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
答案 B
解析 ①不正确，向量无法比较大小；根据向量加法的三角形法则可知，＋＝，②正确；由三角形的两边之和大于第三边，可知||＋||>||，③正确；④不正确，只有当A，B，C三点共线且B在线段AC上时，④才成立.
题型二 向量加法的平行四边形法则
例2 在平行四边形ABCD中，＋等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为四边形ABCD是平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则可得＋＝.
[答案] A
金版点睛
1．向量加法的平行四边形法则作图的方法
法则 作法
平行四 边形法
则 ①把两个已知向量的始点平移到同一点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③对角线上的向量就是这两个已知向量的和
2.对向量加法的平行四边形法则的两点说明
(1)适用范围：任意两个非零向量，且不共线．
(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的始点；②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量．
如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a＝＋，由 a和长度相等，方向相同，得a＝，即＋＝.
题型三 多个向量相加
例3 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
[解] 解法一：如图1，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c.
解法二：如图2，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c.
解法三：如图3，将向量a，b，c依次首尾相接，以向量a的始点为始点，以向量c的终点为终点的向量d即为向量a＋b＋c.
金版点睛
(1)向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”．
(2)当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，那么各向量的和就是0.
(3)如图所示，在n＋1边形A0A1…An中，则有：＋＋＋…＋An－1An＝，＋＋＋…＋An－1An＋＝0.
化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
解 (1)＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.
(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝＋＝0.
1．下列命题：
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 ①真命题．②假命题．当A，B，C三点共线时也可以有＋＋＝0.③假命题．只有当a与b同向时，相等，其他情况均为|a＋b|<|a|＋|b|.应选B.
2．在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B. C. D.
答案 A
解析 正六边形是六边均等长的多边形．设正六边形ABCDEF的中心为O，则△OAB，△OBC，△OCD，△ODE，△OEF，△OAF都是等边三角形，于是四边形OBAF和四边形OCDE都是菱形(如图所示)．∴＝，＝，于是＋＋＝＋＋＝0.
3．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
答案 ABD
解析 对于A，＋＋＝＋＝；对于B，＋＋＝＋＝；对于C，＋＋＝＋＝；对于D，＋＋＝＋＝.故选ABD.
4．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
答案 2
解析 因为＋＝，＋＝，于是|＋＋＋|＝2||＝2.
5. 如图，在正六边形OABCDE中，＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．
解 设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得＝＋＝a＋b.
∵＝＝，
∴＝＝a＋b.
在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得＝＋＝a＋a＋b.
同理，在△OBC中，＝＋＝a＋a＋b＋b，
在△OED中，＝＋＝＋＝b＋a＋b.
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ＋＋＝＋＋＝.
2．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a，b均为向量，则|a＋b|>|a|－|b|
C．若a，b均为向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a∥b，c∥b，则a∥c
答案 C
解析 对于A，|a|＝|b|只能说明两向量的模相等，它们的方向不一定相同，所以a与b不一定相等，故A错误；对于B，当b＝0时，|a＋b|＝|a|－|b|，故B错误；C显然正确；对于D，当b＝0时，不成立，故选C.
3．如图，四边形ABCD为菱形，则下列等式成立的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝
答案 C
解析 由向量加法的三角形法则和向量相等的定义知＋＝＝，故C正确；由向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则知A，B，D均错误，故选C.
4．在矩形ABCD中，||＝，||＝1，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 |＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2×2＝4.
5．(多选)如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是( )
A.＝＋
B.＋＝0
C.＋＋＝0
D.＋＝
答案 ACD
解析 ∵在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴＝＋，＝，∴A正确；＋＝＋≠0，∴B错误；＋＋＝＋＝0，∴C正确；＝，＝，＋＝，∴D正确．故选ACD.
二、填空题
6．如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，试用正六边形的六个顶点和点O为始点或终点，构造向量表示下列向量的和．
(1)＋＝________；
(2)＋＝________.
答案 (1)(或) (2)
解析 连接OA2，OA4，OA5，OA6，则四边形OA1A6A5和四边形OA1A2A3为菱形．∴＋＝＝；＝＝.又∵＝，∴＋＝＋＝＋＝.
7．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝3.∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________.
答案 3
解析 如图，因为||＝||＝3，所以四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.因为∠AOB＝60°，所以AB＝||＝3，所以在Rt△BDC中，CD＝，所以|a＋b|＝||＝×2＝3.
8．已知||＝6，||＝9，则|＋|的取值范围是________．
答案 [3,15]
解析 ∵|||－|||≤|＋|≤||＋||，且||＝6，||＝9，∴3≤|＋|≤15，∴|＋|的取值范围为[3,15]．
三、解答题
9. 如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
10. 点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋.
解 (1)由D，E，F分别为△ABC三边AB，BC，CA的中点，易知四边形FDBE为平行四边形，则＝，∴＋＋＝＋＋＝.
(2)＋＋＝＋＋＋＋＋
＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
答案 A
解析 ∵a∥b，∴a和b方向相同或相反．当a，b方向相同时，a＋b的方向与a的方向相同；当a，b方向相反时，∵|a|>|b|>0，则a＋b的方向仍与a方向相同．故选A.
2. 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．化简＋＋.
解 由题意知＝＋，
＝＋，＝＋.
由题意可知＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0.