6.1.3向量的减法-2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 导学案
文档属性
| 名称 | 6.1.3向量的减法-2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 导学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 557.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 21:21:32 | ||
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文档简介
6.1.3 向量的减法
(教师独具内容)
课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义．
教学重点：1.理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．
教学难点：向量减法的法则及其应用.
1．a＋b＝c?a＝c－b?b＝c－a，利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项．
2．向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比．利用相反向量的定义，加法减法可互化．
3．两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形的知识求得．
4．如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝a－b(＝b－a)，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并牢记．
5．向量的减法也满足交换律和结合律，即a－b＝－b＋a，(a－b)－c＝(a－c)－b＝a－(b＋c)．
6．||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|对任意向量成立，结合上一节可得出向量形式的三角不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
注意每个等号取得的条件，例如
a与b同向共线时，|a＋b|＝|a|＋|b|，
a与b反向共线时，|a＋b|＝||a|－|b||.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＋－＝.( )
(2)相反向量和相反数是相同的概念．( )
(3)若b是a的相反向量，则a也是b的相反向量．( )
(4)相反向量必为共线向量．( )
(5)共线向量必为相反向量．( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)化简：－＋－＝________.
(2)若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
(3)已知?ABCD，若＝a，＝b，试用a，b表示＝________，＝________，＝________，＝________.
题型一 向量减法的三角形法则
例1 (1)如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作b＋c－a；
(2)已知|a|＝8，|b|＝6，求|a－b|的取值范围．
[解] (1)解法一：如图①，以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.则即为所求．
①
(1)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c；
(2)已知|a|＝m，|b|＝n(m>n)，|a－b|的取值范围是[5,15]，求m，n的值．
题型二 向量的减法运算
例2 (1)已知C是线段AB的中点，则－＝________.
(2)化简：(－)－(－)．
(1)若P是平行四边形ABCD外一点，则－＋－＝________.
(2)化简下列各式：
①＋＋＋；
②－－＋.
题型三 用向量的加减法表示向量
例3 已知O为平行四边形ABCD内一点，且有＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
1.－等于( )
A. B. C. D.
2．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
3. (多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )
A.＋＝0
B.－＝
C.＋＝
D.＋＝0
4．化简－＋＝________.
5. 如图所示，在正五边形ABCDE中，＝m，＝n，＝p，＝q，＝r，求作向量m－p＋n－q－r.
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
2．如图所示，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
3．在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，－等于( )
A. B. C. D.
4．O为平行四边形ABCD所在平面上的点，设＝a，＝b，＝c，＝d，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
5. (多选)如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是( )
A.＋＝＋
B.＋＝＋
C.＋＝＋
D.＋＝＋
二、填空题
6．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________，d＋a＝________.
7．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的范围是________．
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|a＋b|＝|a－b|＝5，则|b|＝________.
三、解答题
9．在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，试证明：a－(b＋c)＝－.
10．向量a，b，c，d，e如图所示，据图回答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
1．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A.＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C.－＋
D.＋－
2．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则求|a＋b＋c|，|a＋c－b|，|c－a－b|的值．
6.1.3 向量的减法
(教师独具内容)
课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义．
教学重点：1.理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．
教学难点：向量减法的法则及其应用.
1．a＋b＝c?a＝c－b?b＝c－a，利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项．
2．向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比．利用相反向量的定义，加法减法可互化．
3．两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形的知识求得．
4．如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝a－b(＝b－a)，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并牢记．
5．向量的减法也满足交换律和结合律，即a－b＝－b＋a，(a－b)－c＝(a－c)－b＝a－(b＋c)．
6．||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|对任意向量成立，结合上一节可得出向量形式的三角不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
注意每个等号取得的条件，例如
a与b同向共线时，|a＋b|＝|a|＋|b|，
a与b反向共线时，|a＋b|＝||a|－|b||.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＋－＝.( )
(2)相反向量和相反数是相同的概念．( )
(3)若b是a的相反向量，则a也是b的相反向量．( )
(4)相反向量必为共线向量．( )
(5)共线向量必为相反向量．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)化简：－＋－＝________.
(2)若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
(3)已知?ABCD，若＝a，＝b，试用a，b表示＝________，＝________，＝________，＝________.
答案 (1)0 (2)2 (3)－a －b a－b a＋b
题型一 向量减法的三角形法则
例1 (1)如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作b＋c－a；
(2)已知|a|＝8，|b|＝6，求|a－b|的取值范围．
[解] (1)解法一：如图①，以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.则即为所求．
①
②
解法二：如图②，作＝＝b，
连接AD，则＝－＝c－a，
＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.则即为所求．
(2)∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，
且|a|＝8，|b|＝6，∴2≤|a－b|≤14，
∴|a－b|的取值范围是[2,14]．
金版点睛
(1)运用三角形法则作两个向量和的关键是“作平移，首尾连”；作两个向量差的关键是“作平移，共始点；两尾连，指被减”．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个向量相加减时要注意灵活运用运算律．
(2)处理与模有关的不等关系时，可利用不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
(1)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c；
(2)已知|a|＝m，|b|＝n(m>n)，|a－b|的取值范围是[5,15]，求m，n的值．
解 (1)解法一：如下图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，则＝b－c.
过点A作AD綊BC，则＝b－c，则＝＋＝a＋b－c.
解法二：如下图②，在平面内任取一点O，作＝a，
＝b，则＝a＋b，
再作＝c，则＝a＋b－c.
解法三：如下图③，在平面内任取一点O，作＝a，
＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
(2)∵m－n＝||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|＝m＋n，|a－b|的取值范围是[5,15]，
∴解得
题型二 向量的减法运算
例2 (1)已知C是线段AB的中点，则－＝________.
(2)化简：(－)－(－)．
[解析] (1)∵＝，∴－＝0.
(2)解法一(变为加法)：
原式＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
解法二(利用公式－＝)：
原式＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
解法三(利用公式＝－，其中O是平面内任一点)：
原式＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
[答案] (1)0 (2)见解析
金版点睛
1．向量减法运算的常用方法
金版点睛
2．注意满足下列两种形式可以化简
(1)首尾相连且为和．
(2)始点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
3．利用向量加减法的基本运算化简向量的一般思路
将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量．
(1)若P是平行四边形ABCD外一点，则－＋－＝________.
(2)化简下列各式：
①＋＋＋；
②－－＋.
答案 (1)0 (2)见解析
解析 (1)－＋－＝(－)＋(－)＝＋＝0.
(2)①＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
②解法一：－－＋＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
解法二：－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
题型三 用向量的加减法表示向量
例3 已知O为平行四边形ABCD内一点，且有＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
[解] 在△AOD中，＝＋，
在△BOC中，＝－.
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝.
∴＝＋－＝a＋c－b.
金版点睛
用几个向量表示某个向量的基本步骤,(1)观察各向量的位置；(2)寻找(或作)相应的平行四边形或者三角形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.
如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，，，.
解 如题图，因为四边形ACDE是平行四边形，且＝b，＝c，所以＝b＋c，故由三角形法则得＝－＝b＋c－a，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝＝c，＝－＝c－b.
1.－等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根据向量的减法法则知－＝.
2．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
答案 C
解析 因为＝－，故当，共线且同向时，||＝||－||＝3；当，共线且反向时，||＝||＋||＝13；当，不共线时，|||－|||<|－|<||＋||，可得3<||<13.综上可得3≤||≤13.
3. (多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )
A.＋＝0
B.－＝
C.＋＝
D.＋＝0
答案 ABD
解析 由||＝||，且与的方向相反，知
与是一对相反向量，则＋＝0，故A正确；由向量减法的运算法则知－＝，故B正确；由－＝，得＝＋，故C错误；与是一对相反向量，所以＋＝0，故D正确．
4．化简－＋＝________.
答案
解析 －＋＝＋＝.
5. 如图所示，在正五边形ABCDE中，＝m，＝n，＝p，＝q，＝r，求作向量m－p＋n－q－r.
解 m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝－＝＋.
如图连接AC，并延长AC到F，使||＝||，则向量＝，∴＋＝＋＝，即向量就是所求作的向量．
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
答案 B
解析 根据三角形法则，＝－.
2．如图所示，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
答案 A
解析 ∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE綊AC，又F为AC的中点，∴DE綊CF，∴＝，又＝，∴＋＋＝＋＋＝0.故选A.
3．在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，－等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由图可知∥，且||＝||，所以＝.所以－＝－＝.
4．O为平行四边形ABCD所在平面上的点，设＝a，＝b，＝c，＝d，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
答案 B
解析 a－b＋c－d＝－＋－＝＋，又四边形ABCD是平行四边形，∴，为相反向量，其和为0.故选B.
5. (多选)如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是( )
A.＋＝＋
B.＋＝＋
C.＋＝＋
D.＋＝＋
答案 BD
解析 ∵＝－，＝－，∴－＝－，∴＋＝＋，∴B正确；－＝－＝，∴D正确．同理可得A，C错误．故选BD.
二、填空题
6．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________，d＋a＝________.
答案 c b
解析 根据题意画出图形，如图所示，d－a＝－＝＋＝＝c.d＋a＝＋＝＋＝＝b.
7．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的范围是________．
答案 2 (0,4)
解析 因为－＋＝＋＋＝，又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.又因为＝＋，且在菱形ABCD中||＝2，所以|||－|||<||＝|＋|<||＋||，即0<||<4.
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|a＋b|＝|a－b|＝5，则|b|＝________.
答案 4
解析 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴以a，b为邻边作的平行四边形为矩形，又|a|＝3，则|b|＝＝4.
三、解答题
9．在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，试证明：a－(b＋c)＝－.
证明 a－(b＋c)＝a－b－c＝－－＝－－－＝－－＝－(＋)＝－.
10．向量a，b，c，d，e如图所示，据图回答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解 由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝e＋a＋b.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
1．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A.＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C.－＋
D.＋－
答案 ABC
解析 ＋(＋)＝＋＋＝＋＝；(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；－＋＝＋＝；＋－＝－，显然由－得不出.故选ABC.
2．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则求|a＋b＋c|，|a＋c－b|，|c－a－b|的值．
解 如图所示：
|a＋b＋c|＝|＋＋|＝2||＝2.
|a＋c－b|＝|＋－|
＝|＋＋|＝2||＝2.
|c－a－b|＝|－－|
＝|－|＝0.
(教师独具内容)
课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义．
教学重点：1.理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．
教学难点：向量减法的法则及其应用.
1．a＋b＝c?a＝c－b?b＝c－a，利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项．
2．向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比．利用相反向量的定义，加法减法可互化．
3．两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形的知识求得．
4．如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝a－b(＝b－a)，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并牢记．
5．向量的减法也满足交换律和结合律，即a－b＝－b＋a，(a－b)－c＝(a－c)－b＝a－(b＋c)．
6．||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|对任意向量成立，结合上一节可得出向量形式的三角不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
注意每个等号取得的条件，例如
a与b同向共线时，|a＋b|＝|a|＋|b|，
a与b反向共线时，|a＋b|＝||a|－|b||.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＋－＝.( )
(2)相反向量和相反数是相同的概念．( )
(3)若b是a的相反向量，则a也是b的相反向量．( )
(4)相反向量必为共线向量．( )
(5)共线向量必为相反向量．( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)化简：－＋－＝________.
(2)若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
(3)已知?ABCD，若＝a，＝b，试用a，b表示＝________，＝________，＝________，＝________.
题型一 向量减法的三角形法则
例1 (1)如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作b＋c－a；
(2)已知|a|＝8，|b|＝6，求|a－b|的取值范围．
[解] (1)解法一：如图①，以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.则即为所求．
①
(1)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c；
(2)已知|a|＝m，|b|＝n(m>n)，|a－b|的取值范围是[5,15]，求m，n的值．
题型二 向量的减法运算
例2 (1)已知C是线段AB的中点，则－＝________.
(2)化简：(－)－(－)．
(1)若P是平行四边形ABCD外一点，则－＋－＝________.
(2)化简下列各式：
①＋＋＋；
②－－＋.
题型三 用向量的加减法表示向量
例3 已知O为平行四边形ABCD内一点，且有＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
1.－等于( )
A. B. C. D.
2．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
3. (多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )
A.＋＝0
B.－＝
C.＋＝
D.＋＝0
4．化简－＋＝________.
5. 如图所示，在正五边形ABCDE中，＝m，＝n，＝p，＝q，＝r，求作向量m－p＋n－q－r.
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
2．如图所示，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
3．在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，－等于( )
A. B. C. D.
4．O为平行四边形ABCD所在平面上的点，设＝a，＝b，＝c，＝d，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
5. (多选)如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是( )
A.＋＝＋
B.＋＝＋
C.＋＝＋
D.＋＝＋
二、填空题
6．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________，d＋a＝________.
7．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的范围是________．
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|a＋b|＝|a－b|＝5，则|b|＝________.
三、解答题
9．在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，试证明：a－(b＋c)＝－.
10．向量a，b，c，d，e如图所示，据图回答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
1．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A.＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C.－＋
D.＋－
2．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则求|a＋b＋c|，|a＋c－b|，|c－a－b|的值．
6.1.3 向量的减法
(教师独具内容)
课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义．
教学重点：1.理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．
教学难点：向量减法的法则及其应用.
1．a＋b＝c?a＝c－b?b＝c－a，利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项．
2．向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比．利用相反向量的定义，加法减法可互化．
3．两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形的知识求得．
4．如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝a－b(＝b－a)，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并牢记．
5．向量的减法也满足交换律和结合律，即a－b＝－b＋a，(a－b)－c＝(a－c)－b＝a－(b＋c)．
6．||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|对任意向量成立，结合上一节可得出向量形式的三角不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
注意每个等号取得的条件，例如
a与b同向共线时，|a＋b|＝|a|＋|b|，
a与b反向共线时，|a＋b|＝||a|－|b||.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＋－＝.( )
(2)相反向量和相反数是相同的概念．( )
(3)若b是a的相反向量，则a也是b的相反向量．( )
(4)相反向量必为共线向量．( )
(5)共线向量必为相反向量．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)化简：－＋－＝________.
(2)若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
(3)已知?ABCD，若＝a，＝b，试用a，b表示＝________，＝________，＝________，＝________.
答案 (1)0 (2)2 (3)－a －b a－b a＋b
题型一 向量减法的三角形法则
例1 (1)如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作b＋c－a；
(2)已知|a|＝8，|b|＝6，求|a－b|的取值范围．
[解] (1)解法一：如图①，以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.则即为所求．
①
②
解法二：如图②，作＝＝b，
连接AD，则＝－＝c－a，
＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.则即为所求．
(2)∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，
且|a|＝8，|b|＝6，∴2≤|a－b|≤14，
∴|a－b|的取值范围是[2,14]．
金版点睛
(1)运用三角形法则作两个向量和的关键是“作平移，首尾连”；作两个向量差的关键是“作平移，共始点；两尾连，指被减”．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个向量相加减时要注意灵活运用运算律．
(2)处理与模有关的不等关系时，可利用不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
(1)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c；
(2)已知|a|＝m，|b|＝n(m>n)，|a－b|的取值范围是[5,15]，求m，n的值．
解 (1)解法一：如下图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，则＝b－c.
过点A作AD綊BC，则＝b－c，则＝＋＝a＋b－c.
解法二：如下图②，在平面内任取一点O，作＝a，
＝b，则＝a＋b，
再作＝c，则＝a＋b－c.
解法三：如下图③，在平面内任取一点O，作＝a，
＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
(2)∵m－n＝||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|＝m＋n，|a－b|的取值范围是[5,15]，
∴解得
题型二 向量的减法运算
例2 (1)已知C是线段AB的中点，则－＝________.
(2)化简：(－)－(－)．
[解析] (1)∵＝，∴－＝0.
(2)解法一(变为加法)：
原式＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
解法二(利用公式－＝)：
原式＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
解法三(利用公式＝－，其中O是平面内任一点)：
原式＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
[答案] (1)0 (2)见解析
金版点睛
1．向量减法运算的常用方法
金版点睛
2．注意满足下列两种形式可以化简
(1)首尾相连且为和．
(2)始点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
3．利用向量加减法的基本运算化简向量的一般思路
将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量．
(1)若P是平行四边形ABCD外一点，则－＋－＝________.
(2)化简下列各式：
①＋＋＋；
②－－＋.
答案 (1)0 (2)见解析
解析 (1)－＋－＝(－)＋(－)＝＋＝0.
(2)①＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
②解法一：－－＋＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
解法二：－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
题型三 用向量的加减法表示向量
例3 已知O为平行四边形ABCD内一点，且有＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
[解] 在△AOD中，＝＋，
在△BOC中，＝－.
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝.
∴＝＋－＝a＋c－b.
金版点睛
用几个向量表示某个向量的基本步骤,(1)观察各向量的位置；(2)寻找(或作)相应的平行四边形或者三角形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.
如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，，，.
解 如题图，因为四边形ACDE是平行四边形，且＝b，＝c，所以＝b＋c，故由三角形法则得＝－＝b＋c－a，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝＝c，＝－＝c－b.
1.－等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根据向量的减法法则知－＝.
2．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
答案 C
解析 因为＝－，故当，共线且同向时，||＝||－||＝3；当，共线且反向时，||＝||＋||＝13；当，不共线时，|||－|||<|－|<||＋||，可得3<||<13.综上可得3≤||≤13.
3. (多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )
A.＋＝0
B.－＝
C.＋＝
D.＋＝0
答案 ABD
解析 由||＝||，且与的方向相反，知
与是一对相反向量，则＋＝0，故A正确；由向量减法的运算法则知－＝，故B正确；由－＝，得＝＋，故C错误；与是一对相反向量，所以＋＝0，故D正确．
4．化简－＋＝________.
答案
解析 －＋＝＋＝.
5. 如图所示，在正五边形ABCDE中，＝m，＝n，＝p，＝q，＝r，求作向量m－p＋n－q－r.
解 m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝－＝＋.
如图连接AC，并延长AC到F，使||＝||，则向量＝，∴＋＝＋＝，即向量就是所求作的向量．
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
答案 B
解析 根据三角形法则，＝－.
2．如图所示，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
答案 A
解析 ∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE綊AC，又F为AC的中点，∴DE綊CF，∴＝，又＝，∴＋＋＝＋＋＝0.故选A.
3．在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，－等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由图可知∥，且||＝||，所以＝.所以－＝－＝.
4．O为平行四边形ABCD所在平面上的点，设＝a，＝b，＝c，＝d，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
答案 B
解析 a－b＋c－d＝－＋－＝＋，又四边形ABCD是平行四边形，∴，为相反向量，其和为0.故选B.
5. (多选)如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是( )
A.＋＝＋
B.＋＝＋
C.＋＝＋
D.＋＝＋
答案 BD
解析 ∵＝－，＝－，∴－＝－，∴＋＝＋，∴B正确；－＝－＝，∴D正确．同理可得A，C错误．故选BD.
二、填空题
6．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________，d＋a＝________.
答案 c b
解析 根据题意画出图形，如图所示，d－a＝－＝＋＝＝c.d＋a＝＋＝＋＝＝b.
7．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的范围是________．
答案 2 (0,4)
解析 因为－＋＝＋＋＝，又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.又因为＝＋，且在菱形ABCD中||＝2，所以|||－|||<||＝|＋|<||＋||，即0<||<4.
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|a＋b|＝|a－b|＝5，则|b|＝________.
答案 4
解析 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴以a，b为邻边作的平行四边形为矩形，又|a|＝3，则|b|＝＝4.
三、解答题
9．在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，试证明：a－(b＋c)＝－.
证明 a－(b＋c)＝a－b－c＝－－＝－－－＝－－＝－(＋)＝－.
10．向量a，b，c，d，e如图所示，据图回答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解 由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝e＋a＋b.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
1．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A.＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C.－＋
D.＋－
答案 ABC
解析 ＋(＋)＝＋＋＝＋＝；(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；－＋＝＋＝；＋－＝－，显然由－得不出.故选ABC.
2．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则求|a＋b＋c|，|a＋c－b|，|c－a－b|的值．
解 如图所示：
|a＋b＋c|＝|＋＋|＝2||＝2.
|a＋c－b|＝|＋－|
＝|＋＋|＝2||＝2.
|c－a－b|＝|－－|
＝|－|＝0.