6.1.4-5数乘向量 向量的线性运算 —2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 导学案
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| 名称 | 6.1.4-5数乘向量 向量的线性运算 —2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 导学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 523.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-28 21:21:46 | ||
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文档简介
6.1.4 数乘向量
6.1.5 向量的线性运算
(教师独具内容)
课程标准：1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.了解平面向量的线性运算及其几何意义．
教学重点：1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会进行向量的线性运算．
教学难点：向量的数乘运算与线性运算的应用.
λa的理解
(1)数乘向量定义的实质
①条件：一个实数与一个向量相乘．
②结论：结果为一个向量；其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积，其方向与实数的正负有关．
(2)从两个角度看数乘向量
①代数角度：
(ⅰ)λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；
(ⅱ)λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.
②几何角度：
(ⅰ)当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍；
(ⅱ)当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍．
(3)对数乘向量的运算律的两点说明
①数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数．
②实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
(4)单位向量
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数与向量可以进行加减运算．( )
(2)λa的方向与a的方向一致．( )
(3)a的单位向量a0与a方向相反．( )
(4)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)2(3a＋4b)＝________.
(2)若a＝e，b＝e，则a＝________b.
(3)若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝6，则b＝________a.
题型一 数乘向量
例1 设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等 B．共线
C．不共线 D．不能确定
题型二 数乘向量的简单应用
例2 若＝，＝λ，则实数λ的值为( )
A. B．－
C. D．－
设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是( )
A．1∶3 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶4
题型三 向量的加法与数乘向量的混合运算
例3 计算下列各式并填写结果：
(1)4×a＋2(a＋b)＋4b＝________；
(2)2(3a＋2b)＋3(a＋5b)＋5(a＋4b)＝________.
设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，那么＋＋与( )
A．相等 B．模相等
C．同向平行 D．反向平行
题型四 向量的线性运算
例4 (1)化简：3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)；
(2)把满足5x－6y＝a，－4x＋5y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
化简：.
题型五 利用向量线性运算表示相关向量
例5 如图所示，已知平面内的两点P与Q关于点A对称，Q与R关于点B对称，且＝a，＝b，用a，b表示.
如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，且BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示 ，，.
题型六 证明三点共线问题
例6 已知非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
1．点C是线段AB的中点，＝λ，那么λ＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
2．下列说法正确的为( )
A．任意两个单位向量都相等
B．与a同向的单位向量是
C．2020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
D．所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆
3．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]，其最简式为( )
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
4．(多选)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝3，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝ D.＋＋＝0
5．已知在四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则向量＝____________.
6．已知平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E，用向量法证明：BE＝BA.
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝，则＝( )
A. B.
C．－ D．－
2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是( )
A．e＝ B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
3．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
4．若＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
5. (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则( )
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝－
二、填空题
6．若实数p和非零向量a与b满足：pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________(填“共线”或“不共线”)．
7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________，＝________.
三、解答题
9．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：这个四边形为梯形．
10. 如图所示，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
1．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0.
(1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；
(2)求△ABC与△AOC的面积之比．
2. 如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
6.1.4 数乘向量
6.1.5 向量的线性运算
(教师独具内容)
课程标准：1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.了解平面向量的线性运算及其几何意义．
教学重点：1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会进行向量的线性运算．
教学难点：向量的数乘运算与线性运算的应用.
λa的理解
(1)数乘向量定义的实质
①条件：一个实数与一个向量相乘．
②结论：结果为一个向量；其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积，其方向与实数的正负有关．
(2)从两个角度看数乘向量
①代数角度：
(ⅰ)λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；
(ⅱ)λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.
②几何角度：
(ⅰ)当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍；
(ⅱ)当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍．
(3)对数乘向量的运算律的两点说明
①数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数．
②实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
(4)单位向量
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数与向量可以进行加减运算．( )
(2)λa的方向与a的方向一致．( )
(3)a的单位向量a0与a方向相反．( )
(4)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)2(3a＋4b)＝________.
(2)若a＝e，b＝e，则a＝________b.
(3)若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝6，则b＝________a.
答案 (1)6a＋8b (2)2 (3)－2
题型一 数乘向量
例1 设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
[解析] 当λ<0时，a与－λa的方向相同，当λ>0时，a与－λa的方向相反，因此A不正确；当|λ|<1时，|－λa|＝|λ||a|<|a|，因此B不正确；由λ是非零实数，可得λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故C正确；|－λa|是实数，|λ|a是向量，不可能相等，故D不正确．故选C.
[答案] C
金版点睛
(1)λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量，λ的符号与λa的方向有关，λ的大小与λa的模有关．
(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0.
(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等 B．共线
C．不共线 D．不能确定
答案 B
解析 ∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，
∴a与b共线且方向相反．
题型二 数乘向量的简单应用
例2 若＝，＝λ，则实数λ的值为( )
A. B．－
C. D．－
[解析] ＝，如图．
结合图形可知＝－.
[答案] B
金版点睛
解决有关数乘向量的问题关键要确定两个相关向量它们的模的倍数关系，以及方向相同或相反，就可以利用向量的数乘概念，将其中一个向量用另一个向量表示，从而实施问题的转化.
设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是( )
A．1∶3 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶4
答案 B
解析 作出图形如图所示．∵＝2，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．又△PAB与△PBC的底边长之比为||∶||＝1∶2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.
题型三 向量的加法与数乘向量的混合运算
例3 计算下列各式并填写结果：
(1)4×a＋2(a＋b)＋4b＝________；
(2)2(3a＋2b)＋3(a＋5b)＋5(a＋4b)＝________.
[解析] (1)原式＝2a＋2a＋2b＋4b＝4a＋6b.
(2)原式＝6a＋4b＋3a＋15b＋5a＋20b＝(6＋3＋5)a＋(4＋15＋20)b＝14a＋39b.
[答案] (1)4a＋6b (2)14a＋39b
金版点睛
(1)数乘向量的运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等号左右两边式子的运算结果都是向量，但运算次序不同.
(2)数乘向量的运算律要注意λ，μ均为实数，不可以是向量.
(3)数乘有两个分配律(λa＋μa＝(λ＋μ)a可称为第一分配律，λ(a＋b)＝λa＋λb可称为第二分配律)，实数的乘法只有一个分配律.
设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，那么＋＋与( )
A．相等 B．模相等
C．同向平行 D．反向平行
答案 D
解析 易得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．
题型四 向量的线性运算
例4 (1)化简：3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)；
(2)把满足5x－6y＝a，－4x＋5y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
[解] (1)3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)＝3a－(6a－2b－8a＋12b)＋(a＋8b)＝(3－6＋8＋1)a＋(2－12＋8)b＝6a－2b.
(2)由已知得
①×4＋②×5得y＝4a＋5b，
①×5＋②×6得x＝5a＋6b，
所以x＝5a＋6b，y＝4a＋5b.
金版点睛
1．线性运算形式
(1)几何运算
①三角形法则；②平行四边形法则；
③
(2)代数运算
向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中均可使用．
2．数乘向量满足的运算律
(1)(λμ)a＝λ(μa)．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ，μ为实数)．
化简：.
解 原式＝
＝
＝＝a－b.
题型五 利用向量线性运算表示相关向量
例5 如图所示，已知平面内的两点P与Q关于点A对称，Q与R关于点B对称，且＝a，＝b，用a，b表示.
[解] 解法一：分别连接AB，OR，OP，如下图所示，已知P与Q两点关于A点对称，所以＝(＋)．
所以＝2－＝2a－.
又Q与R两点关于B点对称，
所以＝(＋)．
所以＝2－＝2b－.
所以＝－＝(2b－)－(2a－)．
所以＝2b－2a.
解法二：＝＋＝＋，＝＋＝＋，
所以＝－＝－＋－＝－＋＝－＋－＝2(－)＝2b－2a.
解法三：在△PQR中，因为A与B分别为边PQ和QR的中点，所以＝.
所以＝2＝2(－)＝2b－2a.
金版点睛
用已知向量表示未知向量的求解思路
如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，且BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示 ，，.
解 ＝－＝a－b，
＝＝＝a－b，
所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
又因为＝a＋b，＝，
所以＝＝a＋b，
所以＝－＝－＝a－b.
题型六 证明三点共线问题
例6 已知非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
[证明] 可以通过证明向量，共线来证明A，B，D三点共线．
∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝6(2e1＋3e2)＝6，∴向量与共线．又向量与有共同的起点A，故A，B，D三点共线．
金版点睛
解决三点共线问题的思路
先将三点共线问题转化为两个向量共线，再利用结论：“如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出三点共线.
已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解 (1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，－＝λ－λ，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
又AM与AB有公共点A，故A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，
若点B在线段AM上，则与同向，
且||>||>0，故λ>1.
1．点C是线段AB的中点，＝λ，那么λ＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
答案 D
解析 因为点C是线段AB的中点，所以＝，所以＝2，即λ＝2.
2．下列说法正确的为( )
A．任意两个单位向量都相等
B．与a同向的单位向量是
C．2020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
D．所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆
答案 D
解析 A错误，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同；B错误，若a＝0，则没有相应的单位向量；C错误，一个单位长度取2020 cm时，2020 cm长的有向线段恰好表示单位向量；D显然正确．
3．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]，其最简式为( )
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
答案 B
解析 原式＝×(2×2－4×4)a＋×(2×8＋4×2)b＝－a＋2b.
4．(多选)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝3，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝ D.＋＋＝0
答案 CD
解析 显然＋＝成立，C正确；∵＋＝3，∴＝＋，∴＝＋＝＋＋＝－，∴＝＋＝－，∴＋＋＝0，D正确；∴＋＝－≠0，A错误；∴＋＝－－≠0，B错误．故选CD.
5．已知在四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则向量＝____________.
答案 3a＋3b－5c
解析 在四边形ABCD中取AD的中点M，连接ME，MF，所以ME为△ACD的中位线，MF为△DAB的中位线，故＝－＝－＝(＋)＝[(a－2c)＋(5a＋6b－8c)]＝3a＋3b－5c.
6．已知平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E，用向量法证明：BE＝BA.
证明 如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA.
设＝a，＝b，则＝a，＝b＋a，＝－b，＝a－.
∵3＝，∴3(－b)＝a－，
∴＝(a＋3b)＝，∴＝，
∴O，E′，D三点共线，故E，E′重合，∴BE＝BA.
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝，则＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 C
解析 依题意，可得AC＝BC，又和方向相反，所以＝－.
2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是( )
A．e＝ B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
答案 D
解析 当a＝0时，没有意义，A错误；当a＝0时，B，C，D都正确；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，且|a||e|＝|a|，故B，C不全面，选D.
3．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案 B
解析 由角平分线的性质，得||＝2||，即有＝＝(－)＝(a－b)．从而＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.故选B.
4．若＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
答案 C
解析 因为＝－，所以AB∥CD，||≠||，又||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形．
5. (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则( )
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝－
答案 ABC
解析 由题意，得＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确；∵＝3，∴＝＝－＋，∴＝＋＝＋＝＋，又F为AE的中点，∴＝＝＋，B正确；∴＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确；∴＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误．故选ABC.
二、填空题
6．若实数p和非零向量a与b满足：pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________(填“共线”或“不共线”)．
答案 共线
解析 若实数p＝0，则b＝0，与b是非零向量矛盾，故实数p≠0，则pa＋(p＋1)b＝0可化为a＝－b，故向量a，b共线．
7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
答案 4b－3a
解析 由原方程得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，即x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________，＝________.
答案 2 2
解析 因为－3＋2＝0，所以－＝2(－)，所以＝2，所以＝2.
三、解答题
9．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：这个四边形为梯形．
证明 如图所示，
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2，∴与共线，
且||＝2||，
又这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
10. 如图所示，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
解 如图，连接AM并延长交BC于点D.
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，且AM＝AD.
∴＝＝(＋)
＝＋＝＋
＝＋＝(－)＋(－)
＝(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c.
∴＝＋＝a＋＝(a＋b＋c)．
1．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0.
(1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；
(2)求△ABC与△AOC的面积之比．
解 (1)证明：如图，＋＝2，＋＝2，∵＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2(＋2)＝0，即2＋＝0，∴与共线．又与有公共点O，∴D，E，O三点共线．
(2)由(1)知2||＝||，
∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC
＝S△ABC，∴＝3.
2. 如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解 (1)如图，延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.
则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a.
(2)证明：由(1)，知＝，∴，共线．
又，有公共点B，∴B，E，F三点共线．
6.1.5 向量的线性运算
(教师独具内容)
课程标准：1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.了解平面向量的线性运算及其几何意义．
教学重点：1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会进行向量的线性运算．
教学难点：向量的数乘运算与线性运算的应用.
λa的理解
(1)数乘向量定义的实质
①条件：一个实数与一个向量相乘．
②结论：结果为一个向量；其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积，其方向与实数的正负有关．
(2)从两个角度看数乘向量
①代数角度：
(ⅰ)λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；
(ⅱ)λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.
②几何角度：
(ⅰ)当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍；
(ⅱ)当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍．
(3)对数乘向量的运算律的两点说明
①数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数．
②实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
(4)单位向量
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数与向量可以进行加减运算．( )
(2)λa的方向与a的方向一致．( )
(3)a的单位向量a0与a方向相反．( )
(4)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)2(3a＋4b)＝________.
(2)若a＝e，b＝e，则a＝________b.
(3)若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝6，则b＝________a.
题型一 数乘向量
例1 设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等 B．共线
C．不共线 D．不能确定
题型二 数乘向量的简单应用
例2 若＝，＝λ，则实数λ的值为( )
A. B．－
C. D．－
设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是( )
A．1∶3 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶4
题型三 向量的加法与数乘向量的混合运算
例3 计算下列各式并填写结果：
(1)4×a＋2(a＋b)＋4b＝________；
(2)2(3a＋2b)＋3(a＋5b)＋5(a＋4b)＝________.
设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，那么＋＋与( )
A．相等 B．模相等
C．同向平行 D．反向平行
题型四 向量的线性运算
例4 (1)化简：3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)；
(2)把满足5x－6y＝a，－4x＋5y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
化简：.
题型五 利用向量线性运算表示相关向量
例5 如图所示，已知平面内的两点P与Q关于点A对称，Q与R关于点B对称，且＝a，＝b，用a，b表示.
如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，且BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示 ，，.
题型六 证明三点共线问题
例6 已知非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
1．点C是线段AB的中点，＝λ，那么λ＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
2．下列说法正确的为( )
A．任意两个单位向量都相等
B．与a同向的单位向量是
C．2020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
D．所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆
3．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]，其最简式为( )
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
4．(多选)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝3，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝ D.＋＋＝0
5．已知在四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则向量＝____________.
6．已知平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E，用向量法证明：BE＝BA.
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝，则＝( )
A. B.
C．－ D．－
2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是( )
A．e＝ B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
3．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
4．若＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
5. (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则( )
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝－
二、填空题
6．若实数p和非零向量a与b满足：pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________(填“共线”或“不共线”)．
7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________，＝________.
三、解答题
9．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：这个四边形为梯形．
10. 如图所示，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
1．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0.
(1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；
(2)求△ABC与△AOC的面积之比．
2. 如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
6.1.4 数乘向量
6.1.5 向量的线性运算
(教师独具内容)
课程标准：1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.了解平面向量的线性运算及其几何意义．
教学重点：1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会进行向量的线性运算．
教学难点：向量的数乘运算与线性运算的应用.
λa的理解
(1)数乘向量定义的实质
①条件：一个实数与一个向量相乘．
②结论：结果为一个向量；其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积，其方向与实数的正负有关．
(2)从两个角度看数乘向量
①代数角度：
(ⅰ)λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；
(ⅱ)λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.
②几何角度：
(ⅰ)当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍；
(ⅱ)当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍．
(3)对数乘向量的运算律的两点说明
①数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数．
②实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
(4)单位向量
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数与向量可以进行加减运算．( )
(2)λa的方向与a的方向一致．( )
(3)a的单位向量a0与a方向相反．( )
(4)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)2(3a＋4b)＝________.
(2)若a＝e，b＝e，则a＝________b.
(3)若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝6，则b＝________a.
答案 (1)6a＋8b (2)2 (3)－2
题型一 数乘向量
例1 设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
[解析] 当λ<0时，a与－λa的方向相同，当λ>0时，a与－λa的方向相反，因此A不正确；当|λ|<1时，|－λa|＝|λ||a|<|a|，因此B不正确；由λ是非零实数，可得λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故C正确；|－λa|是实数，|λ|a是向量，不可能相等，故D不正确．故选C.
[答案] C
金版点睛
(1)λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量，λ的符号与λa的方向有关，λ的大小与λa的模有关．
(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0.
(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等 B．共线
C．不共线 D．不能确定
答案 B
解析 ∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，
∴a与b共线且方向相反．
题型二 数乘向量的简单应用
例2 若＝，＝λ，则实数λ的值为( )
A. B．－
C. D．－
[解析] ＝，如图．
结合图形可知＝－.
[答案] B
金版点睛
解决有关数乘向量的问题关键要确定两个相关向量它们的模的倍数关系，以及方向相同或相反，就可以利用向量的数乘概念，将其中一个向量用另一个向量表示，从而实施问题的转化.
设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是( )
A．1∶3 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶4
答案 B
解析 作出图形如图所示．∵＝2，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．又△PAB与△PBC的底边长之比为||∶||＝1∶2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.
题型三 向量的加法与数乘向量的混合运算
例3 计算下列各式并填写结果：
(1)4×a＋2(a＋b)＋4b＝________；
(2)2(3a＋2b)＋3(a＋5b)＋5(a＋4b)＝________.
[解析] (1)原式＝2a＋2a＋2b＋4b＝4a＋6b.
(2)原式＝6a＋4b＋3a＋15b＋5a＋20b＝(6＋3＋5)a＋(4＋15＋20)b＝14a＋39b.
[答案] (1)4a＋6b (2)14a＋39b
金版点睛
(1)数乘向量的运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等号左右两边式子的运算结果都是向量，但运算次序不同.
(2)数乘向量的运算律要注意λ，μ均为实数，不可以是向量.
(3)数乘有两个分配律(λa＋μa＝(λ＋μ)a可称为第一分配律，λ(a＋b)＝λa＋λb可称为第二分配律)，实数的乘法只有一个分配律.
设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，那么＋＋与( )
A．相等 B．模相等
C．同向平行 D．反向平行
答案 D
解析 易得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．
题型四 向量的线性运算
例4 (1)化简：3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)；
(2)把满足5x－6y＝a，－4x＋5y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
[解] (1)3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)＝3a－(6a－2b－8a＋12b)＋(a＋8b)＝(3－6＋8＋1)a＋(2－12＋8)b＝6a－2b.
(2)由已知得
①×4＋②×5得y＝4a＋5b，
①×5＋②×6得x＝5a＋6b，
所以x＝5a＋6b，y＝4a＋5b.
金版点睛
1．线性运算形式
(1)几何运算
①三角形法则；②平行四边形法则；
③
(2)代数运算
向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中均可使用．
2．数乘向量满足的运算律
(1)(λμ)a＝λ(μa)．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ，μ为实数)．
化简：.
解 原式＝
＝
＝＝a－b.
题型五 利用向量线性运算表示相关向量
例5 如图所示，已知平面内的两点P与Q关于点A对称，Q与R关于点B对称，且＝a，＝b，用a，b表示.
[解] 解法一：分别连接AB，OR，OP，如下图所示，已知P与Q两点关于A点对称，所以＝(＋)．
所以＝2－＝2a－.
又Q与R两点关于B点对称，
所以＝(＋)．
所以＝2－＝2b－.
所以＝－＝(2b－)－(2a－)．
所以＝2b－2a.
解法二：＝＋＝＋，＝＋＝＋，
所以＝－＝－＋－＝－＋＝－＋－＝2(－)＝2b－2a.
解法三：在△PQR中，因为A与B分别为边PQ和QR的中点，所以＝.
所以＝2＝2(－)＝2b－2a.
金版点睛
用已知向量表示未知向量的求解思路
如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，且BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示 ，，.
解 ＝－＝a－b，
＝＝＝a－b，
所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
又因为＝a＋b，＝，
所以＝＝a＋b，
所以＝－＝－＝a－b.
题型六 证明三点共线问题
例6 已知非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
[证明] 可以通过证明向量，共线来证明A，B，D三点共线．
∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝6(2e1＋3e2)＝6，∴向量与共线．又向量与有共同的起点A，故A，B，D三点共线．
金版点睛
解决三点共线问题的思路
先将三点共线问题转化为两个向量共线，再利用结论：“如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出三点共线.
已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解 (1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，－＝λ－λ，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
又AM与AB有公共点A，故A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，
若点B在线段AM上，则与同向，
且||>||>0，故λ>1.
1．点C是线段AB的中点，＝λ，那么λ＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
答案 D
解析 因为点C是线段AB的中点，所以＝，所以＝2，即λ＝2.
2．下列说法正确的为( )
A．任意两个单位向量都相等
B．与a同向的单位向量是
C．2020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
D．所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆
答案 D
解析 A错误，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同；B错误，若a＝0，则没有相应的单位向量；C错误，一个单位长度取2020 cm时，2020 cm长的有向线段恰好表示单位向量；D显然正确．
3．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]，其最简式为( )
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
答案 B
解析 原式＝×(2×2－4×4)a＋×(2×8＋4×2)b＝－a＋2b.
4．(多选)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝3，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝ D.＋＋＝0
答案 CD
解析 显然＋＝成立，C正确；∵＋＝3，∴＝＋，∴＝＋＝＋＋＝－，∴＝＋＝－，∴＋＋＝0，D正确；∴＋＝－≠0，A错误；∴＋＝－－≠0，B错误．故选CD.
5．已知在四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则向量＝____________.
答案 3a＋3b－5c
解析 在四边形ABCD中取AD的中点M，连接ME，MF，所以ME为△ACD的中位线，MF为△DAB的中位线，故＝－＝－＝(＋)＝[(a－2c)＋(5a＋6b－8c)]＝3a＋3b－5c.
6．已知平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E，用向量法证明：BE＝BA.
证明 如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA.
设＝a，＝b，则＝a，＝b＋a，＝－b，＝a－.
∵3＝，∴3(－b)＝a－，
∴＝(a＋3b)＝，∴＝，
∴O，E′，D三点共线，故E，E′重合，∴BE＝BA.
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝，则＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 C
解析 依题意，可得AC＝BC，又和方向相反，所以＝－.
2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是( )
A．e＝ B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
答案 D
解析 当a＝0时，没有意义，A错误；当a＝0时，B，C，D都正确；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，且|a||e|＝|a|，故B，C不全面，选D.
3．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案 B
解析 由角平分线的性质，得||＝2||，即有＝＝(－)＝(a－b)．从而＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.故选B.
4．若＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
答案 C
解析 因为＝－，所以AB∥CD，||≠||，又||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形．
5. (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则( )
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝－
答案 ABC
解析 由题意，得＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确；∵＝3，∴＝＝－＋，∴＝＋＝＋＝＋，又F为AE的中点，∴＝＝＋，B正确；∴＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确；∴＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误．故选ABC.
二、填空题
6．若实数p和非零向量a与b满足：pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________(填“共线”或“不共线”)．
答案 共线
解析 若实数p＝0，则b＝0，与b是非零向量矛盾，故实数p≠0，则pa＋(p＋1)b＝0可化为a＝－b，故向量a，b共线．
7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
答案 4b－3a
解析 由原方程得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，即x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________，＝________.
答案 2 2
解析 因为－3＋2＝0，所以－＝2(－)，所以＝2，所以＝2.
三、解答题
9．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：这个四边形为梯形．
证明 如图所示，
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2，∴与共线，
且||＝2||，
又这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
10. 如图所示，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
解 如图，连接AM并延长交BC于点D.
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，且AM＝AD.
∴＝＝(＋)
＝＋＝＋
＝＋＝(－)＋(－)
＝(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c.
∴＝＋＝a＋＝(a＋b＋c)．
1．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0.
(1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；
(2)求△ABC与△AOC的面积之比．
解 (1)证明：如图，＋＝2，＋＝2，∵＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2(＋2)＝0，即2＋＝0，∴与共线．又与有公共点O，∴D，E，O三点共线．
(2)由(1)知2||＝||，
∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC
＝S△ABC，∴＝3.
2. 如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解 (1)如图，延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.
则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a.
(2)证明：由(1)，知＝，∴，共线．
又，有公共点B，∴B，E，F三点共线．