江苏省扬州市高级中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题 PDF版缺答案

2021 年高一下学期第一次月考数学试卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题5分，共8题）
1．在?ABC 中，a?10，b?5， ?
B?31 ，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解 B．有一解 C．无解 D．有无数个解
4 ? ??
2．若cos??? ，?是第三象限的角，则sin??? ??（ ）
5 ? 4?
7 2 7 2 2 2
A． B．? C．? D．
10 10 10 10
? ? ? ?
3．已知向量 ? ?
a ? (1,2)，b ?(?2,1)，c ?(5,4)，则以向量a与b 为基底表示向量c 的结果是（ ）
13 ? 6 ? 13 ? 14 ? 7 ? 9 ? 14 ? 13 ?
A． a ? b B． a? b C．? a? b D． a? b
5 5 3 3 2 2 3 3
1?cos2?
4．已知tan??2，则 = （ ）
sin2?
1 1
A．2 B． C．-2 D．?
2 2
? ?? 1 ? ??
5．已知cos?x? ??? ，则cosx?cos?x? ?的值为（ ）
? 6? 3 ? 3 ?
3 3
A． B． 3 C．? D．? 3
3 3
6．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆
术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视
为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形
(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想
得到 ?
sin6 的近似值为（ ）
? ?
A． B．
30 60
? ?
C． D．
90 180
7．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外
心的距离是重心到垂心距离的一半。此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理。设
点O,H分别是?ABC 的外心、垂心，且M 为 BC中点，则（ ）
A． B．
AB? AC ?3HM ?3MO AB? AC ?3HM ?3MO
C． D．
AB? AC ?2HM ?4MO AB? AC ?2HM ?4MO
8．在?ABC 中，a,b,c分别为A,B,C的对边， 2 3
O为?ABC 的外心，且有AB?BC ? AC ，
3
???? ???? ????
sinC(cosA? 3)?cosCsin A?0，若AO ? xAB? yAC，x,y?R，则x? y ?（ ）
A．?2 B．2 C． 3 D．? 3
二、多选题（每小题5分，少选得3分，错选不得分，共4题）
9．下列说法中正确的是（ ）
? ? ? ? ? ? r r
A．两个非零向量a，b，若 a?b ? a?b ，则a?b
? ? ? ?
B．若a//b，则有且只有一个实数?，使得b??a
? ? ? ?
C．若a，b为单位向量，则a ? b
???? ???? ?
D．AB?BA?0
10．一般地，对任意角?，在平面直角坐标系中，设?的终边上异于原点的任意一点P的坐标为?x,y?，
x r r
它与原点的距离是r.我们规定：比值 ， ， 分别叫做角?的余切、余割、正割，分别记作cot?，
y y x
csc?，sec?，把 y ?cotx，y?cscx，y?secx分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下
列叙述正确的有（ ）
5
A．cot ??1 B．sin??sec??1
4
? ? ?
C．y?secx的定义域为?x∣x ?k?? ,k?Z 2 2 2 2
? D．sec ??sin ??csc ??cos ??5
? 2 ?
11．在?ABC 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
a b?c
A． ?
sin A sinB?sinC
B．若A? B，则sin2A?sin2B
C．c?acosB?bcosA
? ???? ???? ? ???? ????
AB AC ???? AB AC 1
D．若? ? ?
???? ???? ?BC ?0，且 ???? ? ???? ? ，则?ABC 为等边三角形
? AB AC ? AB AC 2
? ?
uuur uuur uuur r
12．已知点O为?ABC 所在平面内一点，且AO?2OB?3OC ?0，则下列选项正确的是（ ）
uuur 1 uuur 3uuur
A．AO ? AB? AC B．直线AO必过BC边的中点
2 4
uuur uuur uuur uuur uur
C．S
△AOB :S
△AOC ?3:2 D．若 OB ? OC ?1，且OB ?OC，则 OA ? 13
三、填空题
13．若角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y?3x上，则
? ??
tan??? ??_______.
? 4?
?
14．已知在?ABC 中，D是BC的中点，BC ?4，AD?2 2，?ABC ? ，则?ABC 的面积
4
为______．
?
15．若函数 f(x)?sin2x? 3cos2x在( ??，?)上单调递减，则?的取值范围是_______．
3
16．在梯形ABCD中，AB//CD，CD ?1，AB?BC ?2，?BCD?120?，动点P和Q分别在
???? ???? ???? 1 ???? uuur uuur
线段BC和CD上，且BP ??BC，DQ? DC，则AP?BQ的最大值为______.
4?
四、解答题
17．已知点A（2，3），B（6，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点.
???? ????
（1）若AP⊥BP，求点P的坐标；
???? ???? ???? ????
（2）当AP?BP取最小值时，求向量AP与BP的夹角的余弦值.
18．某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛
道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，
2?
?BCD??BAE? ，DE ?8km,BC ?CD?2 3km.
3
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
2? 3
①?CDE ? ；②cos?DBE?
3 5
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA+AE最大)
?? ? 1 ? ??
19．已知tan? ???? ，???0， ?.
? 4 ? 3 ? 4?
2
?? ?
（1）求 sin2 2cos
f ???? 的值；
1?tan?
? ?? ? ? ?
（ 3 5
2）若???0， ?，且sin? ???? ，求???的值.
? 2 ? ? 4 ? 5
???? ?? ???? ?
20．如图，D、E分别是?ABC 的边BC的三等分点，设 ?
AB?m,AC ?n，?BAC ?60 .
?? ? ???? ????
（1）用m,n分别表示AD,AE ；
???? ???? ????
（2）若AD?AE ?15, BC ?3 3，求△ABC的面积.
r ? 3x 3x? ? ? x x? ? ? ? ?
21．已知向量a??cos ,sin ?，b??cos ,?sin ?，函数 f ?x??a?b?m a?b ?1，
? 2 2 ? ? 2 2?
? ? ??
x??? , ，
? m?R.
? 3 4?
???
（1）当m?0时，求 f ? ?的值；
? 6 ?
（2）若 f ?x?的最小值为?1，求实数m的值；
24 ? ? ??
（3）是否存在实数m，使函数 2
g?x?? f ?x?? m ，x??? , 有四个不同的零点？若存在，
?
49 ? 3 4?
求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
22．已知?ABC 中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设?APQ的面积为S1，?ABC
???? ???? ???? ????
的面积为S2，AP? pPB，AQ ?qQC .
1 1
（1）求证： ? ?1.
p q
S1
（2）求 的取值范围.
S2