人教高中数学选修2-3第二章2．1．2离散型随机变量的分布列 教案

2．?1．2离散型随机变量的分布列
教学目标：
1.理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。
2.掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用他来解决一些简单的问题。
教学重难点：
重点：离散型随机变量的分布列的概念与性质。
难点：离散型随机变量的分布列的概念与性质。
教学过程：
一、讲解新课：
1.
分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
2.
分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…；
⑵P1+P2+…=1．
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和
即
3.两点分布列:
例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令
如果针尖向上的概率为，试写出随机变量
X
的分布列．
解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（)
．于是，随机变量
X
的分布列是
ξ
0
1
P
像上面这样的分布列称为两点分布列．
两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布
(
two一point
distribution)，而称=P
(X
=
1）为成功概率．
两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（
Bernoulli
)
试验，所以还称这种分布为伯努利分布．
，
，
，．
4.
超几何分布列：
例
2．在含有
5
件次品的
100
件产品中，任取
3
件，试求：
(1)取到的次品数X
的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
解：
(1)由于从
100
件产品中任取3
件的结果数为，从100
件产品中任取3件，
其中恰有k
件次品的结果数为，那么从
100
件产品中任取
3
件，其中恰有
k
件次品的概率为
。
所以随机变量
X
的分布列是
X
0
1
2
3
P
(2)根据随机变量X
的分布列，可得至少取到
1
件次品的概率
P
(
X≥1
)
=
P
(
X
=
1
)
+
P
(
X
=
2
)
+
P
(
X
=
3
)
≈0.138
06
+
0.
005
88
+
0.
00006
=
0.
144
00
.
一般地，在含有M
件次品的
N
件产品中，任取
n
件，其中恰有X件次品数，则事件
{X=k｝发生的概率为
,
其中，且．称分布列
X
0
1
…
P
…
为超几何分布列．如果随机变量
X
的分布列为超几何分布列，则称随机变量
X
服从超几何分布（
hypergeometriC
distribution
)
.
例
3．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中
N
=
30
,
M=10,
n=5
．于是中奖的概率
P
(X≥3
)
=
P
(X
=3
)
+
P
(
X
=
4
）十
P
(
X
=
5
)
=≈0.191.
思考：如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？
　例4.已知一批产品共
件，其中
件是次品，从中任取
件，试求这
件产品中所含次品件数
的分布律。
　　解
显然，取得的次品数
只能是不大于
与
最小者的非负整数，即
的可能取值为：0，1，…，，由古典概型知
　　
　　此时称
服从参数为的超几何分布。
　　注
超几何分布的上述模型中，“任取
件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取
件”.如果是有放回地抽取，就变成了
重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.若产品总数
很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此，当
时，超几何分布的极限分布就是二项分布，即有如下定理.
　　定理
如果当
时，，那么当
时（
不变），则
　　。
　　由于普阿松分布又是二项分布的极限分布，于是有：
超几何分布
二项分布
普阿松分布.
例5．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．
解：设黄球的个数为n，由题意知
　　绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n．
　∴　，，．
　　　　所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
ξ
1
0
－1
P
说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．
例6．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
　　分析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
解：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有
　　　P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率为
P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88
四、课堂练习：
某一射手射击所得环数分布列为
4
5
6
7
8
9
10
P
0．02
0．04
0．06
0．09
0．28
0．29
0．22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率
解：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：
P（≥7）=P（=7）+P（=8）+P（=9）+P（=10）=0.88
注：求离散型随机变量的概率分布的步骤:
（1）确定随机变量的所有可能的值xi
（2）求出各取值的概率p(=xi)=pi
（3）画出表格