8.2 用配方法解一元二次方程课件（共20张PPT）

第八章 一元二次方程
2 用配方法解一元二次方程
2 用配方法解一元二次方程
直接开平方法
重点
解读
2 用配方法解一元二次方程
直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法
重点
解读
（1）依据:平方根的定义，（2）步骤:①将方程转化为x2＝p或（mx＋n）2＝p（m≠0）的形式；②分三种情况求解:（i）当p＞0时，x1＝- ，x2＝ ；（ii)当p＝0时，x1＝x2＝0；当p＜0时，方程无实数根
例1 用直接开平方法解下列方程:
(1)4x2＝9；(2)3(x＋1)2＝27；(3)3x2＋1＝2 x.
分析 （1）把二次项系数化为1后，直接开平方运算；（2）把x＋1看做整体，直接开平方运算；（3）先把一次项移项，再套用完全平方公式，最后直接开平方运算.
解析（1）∵4x2＝9，∴x2＝ ，∴x＝± ，∴x1＝ ，x2＝- .（2）∵3（x＋1）2＝27，∴（x＋1）2＝9，
∴x＋1＝±3，∴x1＝-4，x2＝2.
（3）原方程可化为3x2-2 x＋1＝0，∴（x-1）2＝0，
∴x1＝x2＝ .
解析（1）∵4x2＝9，∴x2＝ ，
∴x＝± ，∴x1＝ ，x2＝- .
（2）∵3（x＋1）2＝27，∴（x＋1）2＝9，
∴x＋1＝±3，∴x1＝-4，x2＝2.
（3）原方程可化为3x2-2 x＋1＝0，∴（x-1）2＝0，
∴x1＝x2＝ .
特别提醒
当p＞0时，利用直接开平方法解形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（m≠0）的一元二次方程，开方后不要丢掉负根.
知识点二 用配方法解一元二次方程
配方法
步骤
一移
二除
三配
四开
说明
知识点二 用配方法解一元二次方程
配方法
通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法
步骤
一移
将常数项移到方程等号的右边
二除
如果二次项系数不是1，那么方程左右两边同时除以二次项系数，将其化为1
三配
方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式
四开
若方程的右边是一个非负数，则可以直接开平方解方程；若方程的右边是一个负数，则原方程无实数根
说明
解方程时，可根据方程的特点选择合适的步骤，灵活处理
例2 用配方法解下列方程:
（1）x2-4x＋1＝0； （2）2x2＋x-1＝0.
分析 （1）直接根据配方法求解；
（2）先把二次项系数化为1，再配方求解.
经典例题
题型一 利用直接开平方法或配方法解一元二次方程
例1 解下列方程:
（1）8（2-x）2-6＝0；
（2）9x2＋6x＋1＝8；
（3）3x2＋2x-3＝0.
解析 （1）原方程可变形为（2-x）2＝ ，直接开平方，得2-x＝± ，∴2-x＝ 或2-x＝- ，
∴x1＝2- ，x2＝2＋ .
（2）原方程可变形为（3x＋1）2＝8，直接开平方，得3x＋1＝±2 ，∴3x＋1＝2 或3x＋1＝-2 ，∴x1＝ ，x2＝ .
（3）移项，得3x2＋2x＝3，二次项系数化为1，
得x2＋ x＝1，配方，得 ，即 ,
直接开平方，得 ,∴ 或 ,
∴ , .
点拨
注意当方程配成x2＝a或（mx＋n）2＝p（m≠0）的形式，且方程等号右边的常数为非负数时，方程才有解，若等号右边为负数，则方程无实数解，用配方法解一元二次方程的口诀:左“未”右“已”先分离，“二系”化“1”是其次，“一系”折半再平方，两边同加没问题，左“分解”来右“合并”，直接开方易得解.
题型二 配方法的应用
例2
用配方法证明代数式5x2-6x＋2的值恒大于0.
证明
.
∵ ≥0，∴ ≥ ＞0，
即代数式5x2-6x＋2的值恒大于0.
证明
.
∵ ≥0，∴ ≥ ＞0，
即代数式5x2-6x＋2的值恒大于0.
点拨 利用完全平方公式，可以把一个二次三项式配成含完全平方式的形式，从而利用配方法可以求出这个二次三项式的最值.
易错易混
易错点 配方时只在方程的左边加上一次项系数一半的平方
例 用配方法解方程:2x2-4x-8＝0.
易错点 配方时只在方程的左边加上一次项系数一半的平方
例 用配方法解方程:2x2-4x-8＝0.
解析 移项，得2x2-4x＝8，
方程两边同时除以2，得x2-2x＝4.
配方，得x2-2x＋（-1）2＝（-1）2＋4，
即（x-1）2＝5，
由此得x-1＝ 或x-1＝- ，
∴x1＝1＋ ，x2＝1- .
易错警示
本题容易出现的错误是配方时只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，造成计算错误配方时需恒等变形，因此在配方时必须在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.