新人教A版高三数列专题：数列求通项

中小学教育资源及组卷应用平台
数列求通项
课题
数列求通项
单元
数列专题
学科
数学
年级
高三
学习目标
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．3.
掌握常用数列求通项的类型和方法
重点
常用数列求通项的类型和方法
难点
常用数列求通项的类型和方法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1.数列的有关概念数列的通项数列的第n项an通项公式数列的第n项an与n之前的关系能用公式表达前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an数列的函数特征数列可以看成以正整数集N
（或它的有限子集）为定义域的函数2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1≥an其中n∈N
递减数列an＋1≤an常数列an＋1=an按其他标准分类有界数列、摆动数列、周期数列3．数列{an}的an与Sn的关系（1）数列的前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an.（2）特别提醒：若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．
整体复习回顾所学的数列类型，并自己动手总结
让学生对数列的概念和类型有个整体的把握
讲授新课
题型一　知数列前几项求通项公式例1、根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)1,0，，0，，0，，0，…；(4)，1，，，….方法点拨：注意项的正负号，分子、分母分开进行不完全归纳．解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.(3)把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝或an＝.(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，所以可得它的一个通项公式为an＝.【冲关针对训练】(2017·青岛模拟)数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是(　　)A．an＝n2－(n－1)
B．an＝n2－1C．an＝
D．an＝答案　C解析　代入进行验证可得选项C成立．故选C.题型二
数列的周期性例2、在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N
)．(1)求a2018;
(2)求S100.方法点拨：本题采用累加法．解　(1)由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N
)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….由此可得a2018＝a336×6＋2＝a2＝5.(2)an＝an－1－an－2，an－1＝an－2－an－3，…，a3＝a2－a1这n－1个式子相加得：an＋an－1＋…＋a3＝an－1－a1，Sn＝an－1＋a2(n∈N
且n≥2)，S100＝a99＋a2＝a16×6＋3＋a2＝a3＋a2＝9.【冲关针对训练】(2018·大兴一中模拟)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2018项为________．答案　解析　∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝.∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝.∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，….∴该数列周期为T＝4.∴a2018＝a2＝.题型三　由an与Sn的关系求通项公式例3、在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.方法点拨：转化法Sn→an.答案　－2n－1解析　依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an.又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，an＝－2n－1.[条件探究]　将本典例条件变为“an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N
)，a1＝”，则{an}的通项公式为________．答案　an＝解析　∵当n≥2，n∈N
时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0，易知SnSn－1≠0，所以－＝2.又S1＝a1＝，∴＝2，∴数列是以2为首项，公差为2的等差数列．∴＝2＋(n－1)×2＝2n.∴Sn＝.∴当n≥2，n∈N
时，an＝－2SnSn－1＝－2××＝－.∴an＝【冲关针对训练】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N
.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)令n＝1时，T1＝2S1－1.∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1.∴a1＝1.(2)当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.∵当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，∴Sn＝2an－2n＋1(n≥1)．∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减，得an＝2an－2an－1－2，∴an＝2an－1＋2(n≥2)．∴an＋2＝2(an－1＋2)(n≥2)．∵a1＋2＝3≠0，∴数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．∴an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2.当n＝1时也满足a1＝1，∴an＝3×2n－1－2.题型四　由递推关系求通项公式[多角探究]角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an(多维探究)例4、设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N
)，求an.方法点拨：累加法(或凑配法)．解　由题意可得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝.[条件探究]　将本典例条件“an＋1－an＝n＋1”变为“an＋1＝an＋2n”，其他条件不变，则an的通项公式为________．答案　2n－1解析　由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an例5、已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则通项公式an＝________.方法点拨：累乘法．答案　解析　由已知得＝，分别令n＝1,2,3，…，(n－1)，代入上式得n－1个等式累乘，即···…·＝××××…××，所以＝，an＝.又因为a1＝也满足该式，所以an＝.角度3　形如an＋1＝pan＋q，求an(多维探究)例6、已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.方法点拨：待定系数法、转化法、构造法．答案　2n＋1－3解析　递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t?t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)，令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.[条件探究1]　将典例条件“a1＝1，an＋1＝2an＋3”变为“a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1”，求an.解　原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．①比较系数得λ＝－4，①式即an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项a1－4·31－1＝－5，公比是2.∴an－4·3n－1＝－5·2
n－1.即an＝4·3n－1－5·2n－1.[条件探究2]　将典例条件“a1＝1，an＋1＝2an＋3”变为“a1＝－1，a2＝2，当n∈N
，an＋2＝5an＋1－6an”，求an.解　an＋2＝5an＋1－6an可化为an＋2＋λan＋1＝(5＋λ)(an＋1＋λan)．比较系数得λ＝－3或λ＝－2，不妨取λ＝－2.代入可得an＋2－2an＋1＝3(an＋1－2an)．则{an＋1－2an}是一个等比数列，首项a2－2a1＝2－2×(－1)＝4，公比为3.∴an＋1－2an＝4·3n－1.利用上题结果有an＝4·3n－1－5·2n－1.当λ＝－3时结果相同．[条件探究3]　将典例条件“a1＝1，an＋1＝2an＋3”变为“a1＝1，an＋1＝”，求an.解　两边同取倒数得＝＝＋.故是以1为首项，为公差的等差数列，＝，∴an＝.【冲关针对训练】(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.证明是等比数列，并求{an}的通项公式．解　由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.
学生先自己独立思考，总结做题思路学生先自己独立思考做题思路，然后小组讨论，尝试着去总结该题型和该题型的解题思路及注意事项学生先自己独立思考做题思路，然后小组讨论，尝试着去总结该题型和该题型的解题思路，并将这两类题型作比较，找出其中的异同点
方法技巧：由数列的前几项求数列通项公式的策略1．对数列的前几项进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．如典例(4)．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．如典例(1)．方法技巧：数列的周期性是数列的性质之一，其解法往往是依题意列出数列的前若干项，从而发现规律找到周期．方法技巧：1．已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．如条件探究．2．Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．如典例．方法技巧：已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1)形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法．(2)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．(3)形如an＋1＝ban＋d(其中b，d为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．(4)形如an＋1＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；若p≠r，则采用(3)的方法来求．以上几种为常见的命题方式，下边再列举一些偶有命题形式的几种，以供参考：(5)形如an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常数，且p＋q＝1)的数列，构造等比数列，将其变形为an＋2－an＋1＝(－q)(an＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N
)是等比数列，且公比为－q，可以求得an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得通项．(6)形如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，②再由①－②可得an.(7)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．(8)形如an·an＋1＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得＝，然后分奇、偶讨论即可．(9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，将方程的两边同时除以an＋1an，可构造一个等差数列．(10)an＝pa(n≥2，p>0)型，一般利用取对数构造等比数列．
巩固练习
一、选择题1．(2018·海南三亚一模)在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的(　　)A．第16项
B．第24项C．第26项
D．第28项答案　C解析　设题中数列为{an}，则a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令＝2＝，解得n＝26.故选C.2．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N
都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝
(　　)A.
B.
C.
D.答案　A解析　解法一：令n＝2,3,4,5，分别求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝.故选A.解法二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.两式相除得an＝2，∴a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝.故选A.3．(2018·安徽江南十校联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(　　)A．100
B．110
C．120
D．130答案　C解析　{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.4．(2018·广东测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N
)，则an＝(　　)A．3(3n－2n)
B．3n＋2C．3n
D．3·2n－1答案　C解析　由题意知解得代入选项逐一检验，只有C符合．故选C.5．(2018·金版原创)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)A．必要不充分条件
B．充分不必要条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件答案　B解析　当an＋1＞|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立
，即an＋1＞|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东三校期末)已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N
，an＋1＝an(1－an)，则a1413－a1314＝(　　)A．－
B.
C．－
D.答案　D解析　a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，….归纳可知当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a1413－a1314＝.故选D.7．(2019·全国一卷)记为等差数列的前n项和．已知，则(　　)A．
B．
C．
D．答案
A8．(2019·全国三卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=(
)A．16
B．8
C．4
D．2答案
C9．(2020·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=(
)A．2n–1
B．2–21–n
C．2–2n–1
D．21–n–1答案
B10．(2020·全国二卷)数列中，，.若，则
(
)A．2
B．3C．4
D．5答案
C二、填空题11．(2018·厦门海沧实验中学联考)若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．答案　an＝解析　a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，当n＝1时，a1＝6；当n≥2时，故当n≥2时，an＝，所以an＝12．(2017·吉林模拟)若数列{an}满足a1＝，an＝1－(n≥2且n∈N
)，则a2016等于________．答案　2解析　∵a1＝，an＝1－(n≥2且n∈N
)，∴a2＝1－＝1－＝－1，∴a3＝1－＝1－＝2，∴a4＝1－＝1－＝，…，依此类推，可得an＋3＝an，∴a2016＝a671×3＋3＝a3＝2.13．(2020·全国一卷)数列满足，前16项和为540，则
.答案　7三、解答题14．(2017·河南百校联盟模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝Sn＋2成立．记bn＝log2an，求数列{bn}的通项公式．解　在an＝Sn＋2中，令n＝1，得a1＝8.因为对任意正整数n都有an＝Sn＋2成立，所以an＋1＝Sn＋1＋2，两式相减得an＋1－an＝an＋1，所以an＋1＝4an，又a1＝8，所以{an}是首项为8，公比为4的等比数列，所以an＝8×4n－1＝22n＋1，所以bn＝log222n＋1＝2n＋1.15．(2020·全国三卷)设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．解：（1）设的公比为，则.由已知得，解得.所以的通项公式为.（2）由（1）知
故
由得，即.解得（舍去），.16.(2019·全国一卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．解：（1）设的公差为d．由得．由a3=4得．于是．因此的通项公式为．（2）由（1）得，故.由知，故等价于，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是｛n|1≤n≤10,n∈N｝。
部分学生到黑板上解决指定题目，其余学生在下边独立思考并解答
让学生学以致用，争取做题能够熟能生巧
课堂小结
方法与技巧1．
求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．
强调an与Sn的关系：an＝.3．
已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式．失误与防范1．
数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．2．
数列的通项公式不一定唯一．
学生先自己总结本节课的收获，然后小组讨论，最后集体汇总
板书
数列求通项1.an与Sn的关系，an＝.2.an＋1＝anf(n)，累乘法．3.an＋1＝an＋f(n)，累加法．4.an＋1＝ban＋d(其中b，d为常数，b≠0,1)的数列，构造法．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)