第2章相交线与平行线培优卷（Word版 含解析）

第2章相交线与平行线培优卷
1．已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（　　）
A．120° B．60° C．30° D．150°
2．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝50°，则∠ACD的大小为（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
3．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
5．如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，∠BOE＝∠EOC，则下列四个结论正确的个数有（　　）
①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（　　）
A．∠1+∠2﹣∠3＝90° B．∠1﹣∠2+∠3＝90°
C．∠1+∠2+∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
7．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E﹣∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若∠1与∠2是同位角，且∠1＝60°，则∠2是（　　）
A．60° B．120° C．120°或60° D．不能确定
9．如图，直线EF分别交CD、AB于M、N，且∠EMD＝65°，∠MNB＝115°，则下列结论正确的是（　　）
A．∠A＝∠C B．∠E＝∠F C．AE∥FC D．AB∥DC
10．若一个角的一半比它的补角小30°，则这个角为　 　．
11．如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠BOC＝35°，则∠AOD＝　 　°．
12．如图，AB∥CD，CE∥GF，若∠1＝60°，则∠2＝　 　°．
13．如图，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为F，∠1＝43°，则∠2的度数为　 　．
14．如图，已知AB∥DE，∠BAC＝m°，∠CDE＝n°，则∠ACD＝　 　．
15．如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠．已知∠ADB＝25°，AE∥BD，则∠BAF＝　 　．
16．如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BAD＝180°．其中能得到AB∥CD的是　 　（填写编号）．
17．已知直线m∥n，将一块含有30°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝20°，则∠2＝　 　度．
18．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝38°，则∠2＝　 　．
19．如图，AB∥CD，则∠1+∠3﹣∠2的度数等于　 　．
20．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝65°，则∠2＝　 　．
21．已知∠A的两边与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，那么∠A＝　 　°．
22．已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为　 　．
（3）由（1）和（2），我们发现∠MOC和∠BON之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
23．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝　 　；
（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD＝∠AOE．求∠BOD的度数．
24．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
25．如图，AB∥DG，AD∥EF．
（1）试说明：∠1+∠2＝180°；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝138°，求∠B的度数．
26．如图，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC．求证：∠E＝∠F．
27．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
28．如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．
（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数．
（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系：　 　．
参考答案
1．解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵∠2与∠3互补，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
2．解：∵∠BAE＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣50°＝130°．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝130°．
故选：B．
3．解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
故选：C．
4．解：∵长方形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝50°，
∴∠3＝∠2＝＝65°，
∵长方形对边AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
5．解：∵∠DOE＝60°，
∴∠AOD＝30°，
∴∠AOE＝90°，
∴∠EOC＝90°，
∵，∠BOE＝∠EOC，
∴∠BOE＝30°，
∴∠BOD＝30°，故①正确；
∵∠BOD＝∠AOD＝30°，
∴射线OE平分∠AOC，故②正确；
∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，
∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；
∵∠AOE＝∠EOC＝90°，
∴∠AOE+∠EOC＝180°，
∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，
∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，
∴图中互补的角有6对，故④正确，
正确的有4个，
故选：D．
6．解：
∵AB∥EF，
∴∠2+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，
∵O在EF上，
∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，
∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，
即∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故选：D．
7．解：①过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠E＝360°，故本小题错误；
②过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A+∠C，即∠E＝∠A+∠C，故本小题正确；
③过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠A+∠E﹣∠1＝180°，故本选项正确；
④∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C﹣∠P，故本小题正确．
综上所述，正确的小题有②③④共3个．
故选：C．
8．解：因为直线的位置无法确定，所以无法确定∠2与∠1的关系，故选D．
9．解：∵∠EMD＝65°，∠MNB＝115°，
∴∠CMN＝∠EMD＝65°，
∴∠CMN+∠MNB＝180°，
∴AB∥DC
故选：D．
10．解：设这个角是x°，根据题意，
得，
解得：x＝100．
即这个角的度数为100°．
故答案为：100°．
11．解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝35°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+55°＝145°．
故答案为：145．
12．解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CEF，
∵CE∥GF，
∴∠2＝∠CEF，
∴∠2＝∠1，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝60°，
故答案为：60．
13．解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠1＝43°．
∵EF⊥BD，垂足为F，
∴∠DFE＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣43°＝47°．
故答案为：47°．
14．解：延长ED交AC于F，
∵AB∥DE，
∴∠3＝∠BAC＝m°，∠1＝180°﹣∠3＝180°﹣m°，
∠2＝180°﹣∠CDE＝180°﹣n°，
故∠C＝∠3﹣∠2＝m°﹣180°+n°＝m°+n°﹣180°．
故答案是：m°+n°﹣180°．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∵∠BAD＝90°．
∵∠ADB＝25°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．
∵AE∥BD，
∴∠BAE＝180°﹣65°＝115°，
∴∠BAF＝∠BAE＝57.5°．
故答案为：57.5°
16．解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
③∵∠B＝∠5，
∴AB∥DC；
④∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴能够得到AB∥CD的条件是②③，
故答案为：②③．
17．解：∵直线m∥n，
∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，
故答案为：50．
18．解：延长AB交l2于点E，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥DC，
∴∠3+∠2＝180°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝38°，
∴∠2＝180°﹣38°＝142°，
故答案为：142°．
19．解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AFD，
∵∠3是△CEF的外角，
∴∠3﹣∠2＝∠EFC，
又∵∠AFD+∠EFC＝180°，
∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，
故答案为：180°．
20．解：∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠3＝∠EFG＝65°，
根据翻折的性质，可得∠1＝180°﹣2∠3＝180°﹣2×65°＝50°，
又∵AD∥BC，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
21．解：设∠B的度数为x，则∠A的度数为3x﹣40°，
当∠A＝∠B时，即x＝3x﹣40°，解得x＝20°，所以3x﹣40°＝20°；
当∠A+∠B＝180°时，即x+3x﹣40°＝180°，解得x＝55°，所以3x﹣40°＝125°；
所以∠A的度数为20°或125°．
故答案为：20°或125．
22．解：（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°，
（2）如图1，∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣m°＝（90﹣m）°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝（90﹣m）°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣（90﹣m）°×2＝2m°，
故答案为：2m°；
（3）由（1）和（2）可得：∠BON＝2∠MOC；
（4）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，
如图2，∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，
即：∴∠BON＝2∠MOC．
23．解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠COB＝60°，
∴∠COE＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE＝COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝5x°，
∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴6x＝30或5x+90﹣x＝120
∴x＝5或7.5，
即∠COD＝5°或7.5°
∴∠BOD＝65°或52.5°．
24．证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠3＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠3＝∠2（同角的余角相等）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
25．解：（1）∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°．
（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝138°，
∴∠1＝42°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝42°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝42°．
26．证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCF．
又∵∠ADC＝∠ABC
∴∠ADC＝∠DCF．
∴DE∥BF．
∴∠E＝∠F．
27．解：（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
28．解：（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝ACG，∠2＝，
∴∠ADB＝（∠ACG+∠BCG）＝∠ACB；
∵∠ACB＝100°，
∴∠ADB＝50°；
（2）如图2，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝MAC，∠2＝EBC，
∴∠ADB＝∠1+∠2＝（∠MAC+∠EBC）＝（180°﹣∠NAC+180°﹣∠FBC）＝（360°﹣∠ACB），
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB；
（3）如图3，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝MAC，∠2＝∠CBF，
∵∠ADB＝360°﹣∠1﹣（180°﹣∠2）﹣∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣（180°﹣∠CBF）﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣∠ACG）﹣（180°﹣∠BCG）＝90°﹣∠ACB．
∴∠ADB＝90°﹣ACB．
故答案为：∠ADB＝90°﹣ACB．