第18章平行四边形 单元提升卷（Word版含解析）

第18章平行四边形 单元提升卷
1．已知?ABCD的三个顶点坐标分别为A （0，0），B （3，﹣2），C （6，0），点D在x轴上方，则点D的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，3） C．（2，5） D．（3，2）
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．
3．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作?BCDE，则∠E的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BC于点E，若AC＝，AE＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．5 B．4 C．2 D．3
5．如图，△ABC中，N是BC边上的中点，AM平分∠BAC，BM⊥AM于点M，若AB＝8，MN＝2．则AC的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．32
7．如图，在?ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与DC交于点F，AF⊥BF，DG⊥AF，垂足为G，DG＝3，则BF的长为（　　）
A． B．5 C．6 D．8
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边的中点，则点E到中线CD的距离EF的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的?ADCE中，则DE的最小值是　 　．
11．如图，?ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为　 　．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝12，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为　 　．
13．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，则AB边长度的取值范围是　 　．
14．如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB延长线上，BM＝2，作∠MAN＝45°交DC延长线于点N，则MN的长为　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝58°，则∠BAD＝　 　．
16．如图，在△ABC中，BC＝14，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF、CF，若DF＝12，∠AFC＝90°，则AC＝　 　．
17．如图，E为?ABCD内任一点，且?ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为　 　．
18．如图，四边形ABCD，CEFG都是正方形，点G在边CD上，它们的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，则DG的长为　 　cm．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使?ABCD是菱形．
20．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝　 　°．
21．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动．当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）如图（1），当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）如图（2），若点E为边AD上一点，当AE＝3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
23．如图所示，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，∠1＝2∠2，CF＝5，求AF+BC的值．
24．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，
（1）如图1，若CE＝CF；求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数．
25．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，
（1）求∠BMN的度数；
（2）求BN的长．
26．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）若PB＝PQ，点F是BP的中点，连接EF、AF，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②求PE的长．
27．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
参考答案
1．解：∵?ABCD的三个顶点坐标分别为A （0，0），B （3，﹣2），C （6，0），
∵点D在x轴上方，
∴点D的坐标为（3，2），
故选：D．
2．解：如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB?DE＝AC?BD，
∴DE＝＝＝．
故选：D．
3．解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E＝70°．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，
∵AE⊥BC，
∴△ABC的面积＝BC×AE＝AC×OB，
∴＝＝，
设BC＝x，则OB＝2x，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：（x）2﹣（2x）2＝（）2，
解得：x＝，
∴BC＝，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AE＝×2＝5；
故选：A．
5．解：延长BM交AC于D，如图所示：
∵BM⊥AM于点M，
∴∠AMB＝∠AMD＝90°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠DAM，
在△BAM和△DAM中，
，
∴△BAM≌△DAM（ASA）．
∴AD＝AB＝8，BM＝MD，
∵N是BC边上的中点，
∴MN为△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+DC＝8+4＝12．
故选：C．
6．解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，
∵AC+BD＝14，
∴OD+AO＝7①，
∵∠AOB＝90°，
∴OD2+OA2＝25②，
由①②两式可得49﹣2OD?OA＝25，
解得：OD?OA＝12，
∴BD?AC＝2OD?2OA＝4OD?OA，
∴菱形面积＝BD?AC＝2OD?OA＝24．
故选：B．
7．解：延长AD、BF交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF，∠BAF+∠DAF+∠ABF+∠CBF＝180°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC＝AD，
∴∠CFB＝∠ABF，∠BAF＝∠DFA，
∴∠CFB＝∠CBF，∠DFA＝∠DAF，
∴CB＝CF，DA＝DF，
∴DF＝CF，
在△DEF和△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴DE＝BC，EF＝BF，
∴AD＝DE，
∵AF⊥BF，DG⊥AF，
∴DG∥EF，
∴DG是△AEF的中位线，
∴EF＝2DG＝2×3＝6，
∴BF＝EF＝6；
故选：C．
8．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵中线CD，
∴AD＝BD＝CD＝5，△BDC的面积＝△ABC的面积＝
连接DE，
∵E为BC边的中点，
∴△DEC的面积＝△BDC的面积＝6，
∵△DEC的面积＝，
可得：，
解得：EF＝，
故选：C．
9．解：如图，延长EF交CD于M，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∵将△ABE沿直线BE对折得到△BEF，
∴∠BFE＝∠BFM＝90°，AB＝BF＝BC
在Rt△BFM与Rt△BCM中，
，
∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL），
∴MF＝MC，
∴∠MFC＝∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM＝90°，∠MCF+∠FDM＝90°，
∴∠MFD＝∠MDF，
∴MD＝MF＝MC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴MF＝MC＝DM＝1，
设AE＝EF＝x，
∵DE2+DM2＝EM2，
即（2﹣x）2+12＝（x+1）2，
解得：x＝．
故选：B．
10．解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，∠B＝90°，
∴OD∥AB，
又∵平行四边形ADCE中，OC＝OA，DE＝2OD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB，AB＝2OD，
∴DE＝AB．
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，
∴AB＝＝3，
∴DE＝3．
故答案为3．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣52°＝128°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD＝64°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣64°＝116°；
故答案为：116°．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝12，BO＝DO＝BD，
∴OD＝BD＝6，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ＝DO＝3．
故答案为：3．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，
在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，
即1＜AB＜7．
故答案为：1＜AB＜7．
14．解：如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．
∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，
∴△ABM≌△ADF （SAS）
∴AM＝AF，∠MAB＝∠FAD．
∴∠MAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°．
又∠MAN＝45°，
∴∠NAF＝∠MAN＝45°．
∵AN＝AN，
∴△MAN≌△FAN（SAS）．
∴MN＝FN，
设MN＝FN＝x，
∵BM＝DF＝2，BC＝CD＝6，
∴DN＝DF+FN＝x+2，CM＝6+2＝8，
∴CN＝DN﹣CD＝x﹣4，
∵MC2+CN2＝MN2，
∴82+（x﹣4）2＝x2，
解得，x＝10，
∴MN＝10，
故答案为：10．
15．解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵∠EAF＝58°，
∴∠C＝360°﹣58°﹣90°﹣90°＝122°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C＝122°．
故答案为：122°．
16．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝7，
∴EF＝DF﹣DE＝5，
在Rt△AFC中，AE＝EC，
∴AC＝2EF＝10，
故答案为：10．
17．解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAB+S△ECD＝AB?h1+CD?h2＝AB（h1+h2）＝S四边形ABCD＝×6＝3．
故答案为：3．
18．解：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，
设BC为x，CE为y，
可得：，
解得：x﹣y＝3，
∴DG＝CD﹣CG＝BC﹣CE＝3（cm），
故答案为：3．
19．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB时，四边形ABCD为菱形．
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35．
21．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，
∴AF＝BC，
在Rt△AFD和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，
∴DF＝AE，
又∵DF⊥AB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．
22．解：由题意可得DP＝t，BQ＝2t，则AP＝11﹣t，BQ＝2t，
（1）若四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ，
∴11﹣t＝2t，
解得t＝，
故当t＝时，四边形ABQP是矩形；
（2）由题意得PE＝11﹣8﹣t，CQ＝11﹣2t，CP2＝CD2+DP2＝9+t2，
若四边形EQCP为菱形，则PE＝CQ＝CP，
∴t2+16＝（8﹣t）2＝（11﹣2t）2，
解得t＝3，
故当t＝3时，四边形EQCP为菱形．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
又∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：延长DA，CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠GAE＝90°，∠G＝∠ECB，
∵E是AB边的中点，
∴AE＝BE，
在△AGE和△BCE中，，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG＝BC，∠G＝∠2，
∴AF+BC＝AF+AG＝FG，
∵∠1＝∠2+∠G＝2∠2，
∴∠2＝∠G，
∴FG＝CF＝5，
∴AF+BC＝5．
24．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，
又∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
（2）解：连接AC，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝DA．
∴△ABC与△CDA为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△EAF为等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∴60°+20°＝60°+∠CEF，
∴∠CEF＝20°．
25．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，
∴BC＝CD＝＝2，
∴BD＝×2＝4．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，
∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，
∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．
∵MN⊥CM，
∴∠CMN＝90°，
∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠BMN的度数为22..5°．
（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，
∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，
又∵∠BMC＝67.5°，
∴∠BCM＝∠BMC，
∴BM＝BC＝CD＝2，
∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．
∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，
∴∠DCM＝∠BMN．
∴在△DCM和△BMN中，
，
∴△DCM≌△BMN（ASA），
∴BN＝DM＝4﹣2，
∴BN的长为4﹣2．
26．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ECQ＝90°，
∵E是边CD的中点，
∴DE＝CE，
又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE（ASA）；
（2）①证明：∵PB＝PQ，
∴∠PBQ＝∠Q，
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，
∴PE＝QE，
∵点F是BP的中点，∠PAB＝90°，
∴AF＝PF＝BF，EF∥BQ，
∴∠APF＝∠PAF，
∴∠PAF＝∠EPD，
∴PE∥AF，
又∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②设AP＝x，则PD＝1﹣x，
∴CQ＝1﹣x，
∴BQ＝2﹣x．
∵EF是△PBQ的中位线，
∴EF＝（2﹣x），
∵四边形AFEP是平行四边形，
∴EF＝AP，
∴（2﹣x）＝x，
∴x＝．
在Rt△PDE中，DE＝，PD2+DE2＝PE2，
∴+＝PE2，
∴PE＝．
27．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．