山东省济南市章丘七高级中学校2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题 Word版含答案

章丘七中2020级高一下学期第一次月考
数学试卷(2021.3)
一、单选题（每题5分，共40分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若false满足false且false与false同向，则false
C．对于任意向量false，必有false D．平行向量不一定是共线向量
2．已知点false，false，向量false，若false，则实数false的值为（ ）
A．false B．6 C．7 D．8

3．设false为false所在平面内一点，若false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false

4．已知菱形false的边长为2，false,点false是false上靠近false的三等分点，则false（　　）
A．false B．false C．1 D．2


5．已知向量false＝(2，1)，false＝10，false，则false＝（ ）
A．false B．false C．5 D．25

6．在false中，false是角false的对边，false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知在false中，false，则false＝（ ）
A．false B．false C．false D．false
8． 在false中，false，false，false分别为内角false,false,false的对边，若false，false，且false，则false的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题（每题5分，共20分，漏选得3分，错选得0分）
9．设向量false，false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false与false的夹角为false

10．在false中，角所对的边分别为false，下列四个命题中，正确的命题为（ ）
A．若false，则false；
B．若false，则false；
C．若false，则这个三角形有两解；
D．若false是钝角三角形.则false.
11．在false中角false所对的边分别为false，能确定false为锐角的有（ ）
A．false B．false
C．false均为锐角，且false D．false
12．在false中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若false，则false不可能为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知向量false，false，false，则false，false的夹角为______．
14． 已知平面内的点false，false，false，若四边形false（false为坐标原点）是平行四边形，则向量false的模为______.
15．已知false，且false，则false___________.
16．在false中，false，点false是false内（包括边界）的一动点，且false，则false的最大值是___________.
四、解答题
17．(本题10分)已知向量false，false.
（1）求false的值； （2）若向量false与false平行，求false的值.
18．(本题12分)已知向量false与false的夹角false，且false，false．
（1）求false，false；
（2）求false与false的夹角的余弦值．
19．(本题12分)如图，在平行四边形ABCD中，false，false，false，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量false，false．
left9525（1）求false的值；
（2）用false，false表示false和false；
（3）证明：false
20．(本题12分)在锐角false中，false，false，false分别为内角false，false，false所对的边，且满足false．
（1）求角false的大小；
（2）若false，false，求false的面积．
21. (本题12分)在false中，角false的对边分别为false，若false，且false.
（1）求角false的值；
（2）若false，且false的面积为false，求false边上的中线false的长.
22．(本题12分)如图，观测站false在目标false的南偏西false方向，经过false处有一条南偏东false走向的公路，在false处观测到与false相距31km的false处有一人正沿此公路向false处行走，走20km到达false处，此时测得false相距21km，求false之间的距离.
参考答案
1．C
【分析】
A，单位向量的方向不一定相同；B，平行向量就是共线向量；C根据加法的三角形法则及其几何意义可判断；D，向量不能比较大小．
【详解】
解：对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故B错误；
对于C，若false同向共线，false，
若false反向共线，false，
若false不共线，则false，
综上可知对于任意向量a，b，必有false，故C正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本概念以及加法的三角形法则，属于基础题．
2．D
【分析】
由向量平行的坐标条件得出方程，解之可得选项．
【详解】
因为点false，false，所以false，又false，false，所以false，解得false，
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，向量平行的坐标条件，属于基础题．
3．A
【分析】
由向量的线性运算法则判断．
【详解】
false，
false．
故选：A．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
4．A
【分析】
取false为基底，false，再把false转化成基底运算.
【详解】
如图，作false，false，因为false是false上靠近false的三等分点，
所以false也都是三等分点，
所以false，
falsefalse，
故选A.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的运用，考查数形结合思想，求解过程中要注意基底选择的合理性，即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底.
5．C
【分析】
把等式false平方，转化为向量的数量积，然后计算可得．
【详解】
解析：false，又false，
false，false＝5，
故选：C．
6．A
【解析】
试题分析：由false得，又false，由正弦定理可得false.
考点：同角关系式、正弦定理．
7．B
【解析】
分析：由余弦定理可得false利用false可得结果.
详解：在false中，由余弦定理得，
false的夹角等于false，
根据向量的数量积定义，
false
false，故选B.
点睛：本题考查利用定义求平面向量数量积，及余弦定理的应用,属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）false；（2）false，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住false等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
8．B
【解析】
由题意得false由正弦定理得false,false.由余弦定理得false,解得false,故面积为false.
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了三角形的面积公式.首先观察题目给定的已知等式,false,它的右边很像余弦定理的形式,故首先考虑两边除以false,将边转化为角,然后利用正弦定理可求得false的具体大小,再次利用余弦定理可求得false的值,进而求得体积.
9．CD
【分析】
根据平面向量的模?垂直?夹角公式坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.
【详解】
因为false，false，
所以false，
所以false，故A错误；
因为false，false，
所以false，又false，
则false，
所以false与false不平行，故B错误；
又false，故C正确；
又false，
又false与false的夹角范围是false，
所以false与false的夹角为false，故D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的模?垂直?夹角公式坐标运算公式，考查了共线向量的坐标运算，属于较易题.
10．BCD
【分析】
A，求出false，即可由正弦定理求出false；B，由false得出false，即得false，由正弦定理即可判断；C，由正弦定理解三角形即可判断；D，由和的正切个数化简可判断.
【详解】
对于A，若false，false，false，由正弦定理可得false，故A错误；
对于B，false，且false在false单调递减，若false，则false，由三角形中大边对大角得false，再由正弦定理得false，故B正确；
对于C，由正弦定理得false，则false，因为false，故有两解，故C正确；
对于D，在false中，false，则false，当false是钝角三角形，若false或false为钝角，则false，满足；若false为钝角，则false，即false，满足，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，考查和的正切公式的应用，属于基础题.
11．ACD
【分析】
选项A由余弦定理可判断；选项B由向量的数量积定义可判断；选项C由诱导公式有false，由正弦函数的单调性可判断；选项D由正弦定理可得false则false由大边对大角可判断.
【详解】
对于false为锐角，故false正确；
对于falsefalse为钝角，故false错误false
对于false均为锐角；且falsefalse
因为false可得false则false为锐角，故false正确.
对于falsefalse由正弦定理得false则false为锐角，故false正确.
故选：ACD
12．BD
【分析】
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得B为钝角，进而可判断.
【详解】
由正弦定理可得，false，
整理可得，false
所以false
故false
因为false，所以false，即B为钝角，
则三角形ABC为钝角三角形.
ABC不可能为直角三角形或等边三角形.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理及和差角公式判断三角形的形状，属于基础试题.
13．false
【分析】
设false，false的夹角为false，则false，利用数量积的定义，将已知代入即可得到答案.
【详解】
设false，false的夹角为false，则false，
又false，false，所以false，
所以false，又false，故false．
故答案为：false
【点晴】
本题考查已知向量的模求向量夹角的问题，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.
14．false
【分析】
由false得出向量的坐标，再求模即可．
【详解】
由向量的平行四边形法则知，false，
false，
故答案为：false．
【点睛】
本题考查了向量的模和平面向量的坐标运算，属于容易题.
15．false
【分析】
由题意可得false，两边平方，化简得到false，代入原式进行计算即可．
【详解】
false，且false，false，即false.又false，false.
故答案为false
【点睛】
本题考查向量的数量积的运算，属于基础题．
16．false
【分析】
根据false分析得出点false的轨迹为线段false，结合图形即可得到false的最大值.
【详解】
如图：取false，false，false，
点false是false内（包括边界）的一动点，
且false，根据平行四边形法则，点false的轨迹为线段false，
则false的最大值是false，
在false中，false，false，
false，false，
false
【点睛】
此题考查利用向量方法解决平面几何中的线段长度最值问题，数形结合处理可以避免纯粹的计算，降低难度.
17．(1)5;( 2) false
【解析】
分析：(1) 先用坐标表示false ，再根据向量模的定义求结果，(2) 根据向量平行坐标表示得方程，解得方程得结果.
详解：
（1）依题意得false，false
（2）依题意得false，false
向量false与false平行
false，解得false
点睛：
(1)向量平行：false，false,false
(2)向量垂直：false，
(3)向量加减乘： false
18．（1）false，false；（2）false.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出false的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出false的值；
（2）计算出false的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得false与false的夹角的余弦值．
【详解】
（1）由已知，得false，
false；
（2）设false与false的夹角为false，
则false，
因此，false与false的夹角的余弦值为false.
19．1）false；（2）false，false；（3）证明见解析
【分析】
（1）利用数量积公式以及false求解即可；
（2）由向量的加减法进行运算即可用false，false表示false和false；
（3）利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.
【详解】
（1）false
false
（2）false
又false为false中点
false
false
（3）false
又false
false
false
所以false
【点睛】
本题主要考查了用基底表示向量，利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直，属于中档题.
20．(1)false；（2）false.
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可求出B的度数；（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，将b，c及cosA的值代入即可求出值．
【详解】
(1)false,
由正弦定理得false，所以false，
因为三角形ABC为锐角三角形，所以false.
（2）由余弦定理false得false，
false，所以false
所以false.
21． （1）false；（2）false.
【分析】
（1）先由正弦定理边角互化，计算求得false；（2）由（1）可知false是等腰三角形，根据面积公式求边长false，false中，再根据余弦定理求中线false的长.
【详解】
（1）false，
由正弦定理边角互化得false，
由于false，∴false，即false，得false.
又false，false，false.
（2）由（1）知false，若false，故false，则false，
false，false（舍）
又在false中，false，
false，∴false.
22．false公理.
【分析】
先求出false，进而设false，则false可求，在false中，由正弦定理求得false，即可得到答案.
【详解】
由题意知false,
在false中，由余弦定理可得false，
设false，则false，
可得false
在false中，由正弦定理得false，所以false，
即所求的距离为false公理.
【点睛】
平面图形中计算问题的解题关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路：
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用共同条件，求出结果