上海市大同高级中学校2021届高三下学期3月月考数学试题 Word版含答案

大同中学高三下月考数学试卷
2021.3
一、填空题
1．向量false在向量false方向上的投影为___________．
2．若双曲线false的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为___________．
3．设数列false前n项的和为false，若false，且false，则false___________．
4．一个四棱锥的三视图如右图所示，则此四棱锥的体积为___________．
5．定义在false上的函数false、false，其中false是奇函数满足false且false，则false___________．
6．若行列式false的第1行第2列的元素1的代数余子式的值为false，则实数x的取值集合为___________．
7．若直线false与直线false所成角的余弦值为false，则实数false______．
8．已知甲、乙、丙三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么甲与乙在相邻两天值班的概率为___________．
9．设二元一次不等式组false所表示的平面区域为M，若函数false（false，且false）的图像经过区域M，则实数a的取值范围为___________．
10．已知函数false满足：false，对任意实数x，y都有false，则false______．
11．已知数列false满足false，false（k是一个已知的正整数），若存在false，当false且false为奇数时，false恒为常数p，则false___________．
12．在正方形false中，false，M，N分别是边false，false上的两个动点，且false，则false的取值范围是___________．
二、选择题
13．已知空间三条直线a、b、m及平面false，且a、false，条件甲：false，false；条件乙：false，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件
14．当曲线false（false为参数）的点到直线false（t为参数）的最短距离时，该点的坐标是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
15．已知false，false，false，则z对应的点在（ ）．
A．圆上 B．抛物线上 C．双曲线上 D．椭圆上
16．已知false，false为false中不同数字的种类，如false，false．求所有的256个false的排列所得false的平均值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
三、解答题
17．如图，在所有棱长都等于2的正三棱柱false中，点D是false的中点，求：
（1）异面直线false与false所成角的大小；
（2）直线false与平面false所成角的大小．
18．已知函数false．
（1）求函数false的最小正周期T与单调递增区间；
（2）在false中，若false，求角C的值．
19．如图1，false，false是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段false和曲线段false分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥false上某点M分别修建与false，false平行的栈桥false、false，且以false、false为边建一个跨越水面的三角形观光平台false．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段false的方程是false，曲线段false的方程是false，设点M的坐标为false，记false．（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）
（1）求z的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台false面积false关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值．
20．已知椭圆false的方程为false，圆C与x轴相切于点false，与y轴正半轴相交于A、B两点，且false，如图1．
（1）求圆C的方程；
（2）如图1，过点B的直线l与椭圆false相交于P、Q两点，求证：射线false平分false；
（3）如图2所示，点M、N是椭圆false的两个顶点，且第三象限的动点R在椭圆false上，若直线false与y轴交于点false，直线false与x轴交于点false，试问：四边形false面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
21．首项为0的无穷数列false同时满足下面两个条件：①false；②false．
（1）请直接写出false的所有可能值；
（2）记false，若false对任意false成立，求false的通项公式；
（3）对于给定的正整数k，求false的最大值．
参考答案
一、填空题
1．false 2．false 3．false 4．8 5．false 6．false
7．false 8．false 9．false 10．false 11．1
【第10题解析】令false，则false，∴false或false（舍），
令false，则false，即false，
∴false，从而falsefalse，∴false，false的周期为6，
∴false，
∴falsefalse．
【第11题解析】由题意，易得false，false，false，false，∴false．
【第12题解析】选自2017浦东一模11
false，设false，false，falsefalse，根据基本不等式，false，false，false，∴false，∴false
二、选择题
13．A 14．B 15．B 16．C
【第15题解析】false，
设false，则false，∴false，选B．
【第16题解析】①false，有false（个）；②false，有false（个）[4个数字任选2个，情况一：这2个数字均出现2次；情况这2个数字1个出现1次，另1个出现3次]；③false，有false（个）[依次确定哪个数字出现2次，在何位置，并在余下3个数字任选2个排列]；④false，有false（个）；
综上，平均值为false，选C．
三、解答题
17．取false中点E，连接false，则false，
正三棱柱false所有棱长都等于2，false，false平面false，
∴false平面false，
以E为坐标原点，false所在的直线分别为false轴建立空间直角坐标系，则false．
（1）false
false
∴异面直线false与false所成角的余弦值为false．
∴异面直线false与false所成角为false．
（2）false，
设平面false的法向量false，
false，false，令false，则false，
∴平面false的一个法向量false，
设直线false与平面false所成角false，
false，
∴直线false与平面false所成角为false．
18．（1）false
false
最小正周期为false；
单调递增区间为false
（2）∵false，∴false
则false或false，且false
可得false或false，同理可得false或false，所以false
19．2013浦东三模
（1）由题意，得false在线段false上，即false，
又因为过点M要分别修建与false、false平行的栈桥false、false，所以false；
false；
所以z的取值范围是false；
（2）由题意，得false，
所以false
则false，
因为函数false在false单调递减，
所以当false时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米．
20．（1）依题意，设圆心false，
false，解得false
∴所求的方程为false；
（2）false代入圆C方程，得false或false
∴false
若过点B的直线l斜率不存在，此时A，P，Q在y轴上，
false，射线false平分false，
若过点B的直线l斜率存在，设其方程为false，
联立false，消去y得false，
false，
设false，false，
false，
false
false
∴false，∴射线false平分false，
（3）设false，
直线false方程为false，令false得false，即false，
直线false方程为false，令false得false，即false，
false
false
false
false
∴四边形false的面积为定值false．
21．（1）false的值可以取false．
（2）因为false对任意false成立，所以false为单调递增数列，
即数列false的偶数项false是单调递增数列，
根据条件false，
所以false对false成立，
下面我们证明“数列false中相邻两项不可能同时为非负数”，
假设数列false中存在false同时为非负数，
因为false，
若false，则有false，与条件矛盾，
若false；则有false，与条件矛盾，
所以假设错误，即数列false中相邻两项不可能同时为非负数，
此时false对false成立，
所以当false时，false，即false，
所以false，
false，
所以false，
即false，其中false，
即false，其中false，
又false，false，
所以false是以false，公差为1的等差数列，
所以false．
（3）记false，
由（2）的证明知，false不能都为非负数，
当false，则false，
根据false，得到false，所以false，
当false，则false，
根据false，得到false，所以false，
所以，总有false成立，
当n为奇数时，false，故false的奇偶性不同，则false，
当n为偶数时，false，
当k为奇数时，false，
考虑数列：false，
可以验证，所给的数列满足条件，且false，
所以false的最大值为0，
当k为偶数时，false，
考虑数列：false，
可以验证，所给的数列满足条件，且false，
所以false的最大值为false．