上海市敬业高级中学校2021届高三下学期3月月考数学试题 Word版含答案

敬业中学2021学年高三下三月阶段测试
考生注意：
1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2．本考试分设试卷和答题纸．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
―、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1—6题，每空填对得4分；第7—12题，每空填对得5分，请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内．
1．已知集合false，则false=__________．
2．若复数z满足false，其中i是虚数单位，则false=__________．
3．已知实数x、y满足条件false，则false的最大值为__________．
4．若直线false与直线false所成角的余弦值为false，则实数a=__________．
5．双曲线false的一条渐近线与直线false垂直，则t=__________．
6．某几何体的三视图如图所示，它的体积为__________．
7．把3本不同的语文书、4本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是__________．
8．已知数据false，false…，false的方差为25，则数据false，false，…false的标准差为__________．
9．已知false的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若false的面积为false，false，则该三角形的外接圆半径等于__________．
10．如图，O是半径为1的球的球心，点A，B，C在球面上，false，false，false两两垂直，E，F分别是大圆的弧false与弧false的中点，则E，F两点在该球面上的球面距离是__________．
11．已知函数false，若存在实数false，false，false，false满足false，且false，则false的取值范围为__________．
12．已知false为单位圆上的弦，P为单位圆上的点，若false的最小值为m（其中false），当点P在单位圆上的运动时，m的最大值为false，则false的值为__________．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分．
13．已知直线n在平面α内，直线m不在平面α内，则“false”是“false”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．如果false是关于x的实系数方程false的一个根．则圆锥曲线false的焦点坐标是（　　）
A．false B．false C．false D．false
15．已知关于x、y的方程组false（其中a、false）无解，则必有（　　）
A．false B．false C．false D．false
16．已知两个不相等的实数a，b满足以下关系式：false，false，则连接false，false两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分
已知函数false，false．
（1）求函数false的单调递减区间；
（2）求函数false的值域．
18．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，在四棱锥false中，底面false是矩形，false平面false，false，false、false，E、F依次是false、false的中点．
（1）求三棱锥false的体积．
（2）求直线false与平面false所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
19．（本题满分14分）本题共3小题，第1小题6分，第2小题8分．
我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率t、市场价格x（单位；元）与市场供应量P之间满足关系式：false，其中b、k为正常数，当false时，P关于x的函数的图像如图所示；
（1）试求b、k的值；
（2）记市场需求量为Q，它近似满足false，当false时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值．
20、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
已知椭圆C经过点false，且与椭圆E：false有相同的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B在椭圆C上，且线段false的中点坐标为false，求直线false的斜率；
（3）若动直线false与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线false交于点Q，问：以线段false为直径的圆是否经过x轴上的定点M﹖若存在．求出定点M的坐标；若不存在．请说明理由．
21、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
定义：若无穷数列false满足false是公比为q的等比数列，则称数列false为“false数列”．设数列false中，false，false．
（1）若false，且数列false为“false数列”，求数列false的通项公式：
（2）设数列false的前n项和为false，且false，请判断数列false是否为“false数列”，并说明理由；
（3）若数列false是“false数列”，是否存在正整数m，n，使得false？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．
敬业中学2021学年高三下三月阶段测试答案
一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1—6题，每空填对得4分第7—12题，每空填对得5分请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内．
1．false 2．false 3．6 4．false 5．false 6．false 7．false 8．15
9．【答案】：1
【解析】∶由题得false，∴false，
∴false，∴false，解得false．∴三角形的外接圆的半径为1．故答案为1．
10．【答案】：false
【解析】：作false于点G，连false，false，false，
如图，false，false
∴false
∴false，∴E，F在该球面上的球面距离为false，故答案为：false
11．【答案】：false
【解析】，由已知得，false图像如图所示：
若满足false
其false
所以false，可得false
同时false，false关于直线false对称．所以false，即false，所以false，
则false，
因为false，所以false，所以false的取值范围为false．
12．【答案】：false
【解析】：设false，false
又C点在直线false上，要求false的最小值，即求false的最小值，显然当false时，false最小，可得false的最小值m为点P到false的距离，又因为m的最大值为false，可得false过圆O时m取得最大值，即有false，故答案为：false．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分．
13．A 14．D
15．【答案】：B
【解析】：false，false，false，方程组无解，则false，false，false，中至少一个不为零，所以false，false．所以false．故选B．
16．【答案】：C
【解析】：由题可得实数a与b为一元二次方程false的两个解，根据根与系数关系false，又false，false，所以直线false的方程为：false，化简得false则单位圆的圆心false到直线false的距离
false，
所以直线false与圆心在原点的单位圆的位置关系是相交．故选C．
三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．
17．【答案】：C
【解析】∶（1）函数false．
单调递减区间为：false．
false
又因为false，所以，函数false的单调递减区间是false．
（2）因为false，所以false
false，函数false的值域为false．
18．【答案】：见解析
【解析】﹔（1）因为false，点F到平面false的距离为1
所以三棱锥false的体积为false
（2）如图建立空间直角坐标系；
false，false，false，false，false
设平面false的法向量为false
因为false，所以false，令false，得到false
设直线false与平面false所成角的大小为false，所以false．
false，所以直线false与平面false所成角的大小为false．
19．【答案】：见解析
【解析】：当false时，false，解得false，
（2）当false时，得false
false，
因为false在false上单调递减，
当false时，最小值为false，
此时t取最大值5，故税率的最大值为500%．
20．【答案】：见解析
【解析】：（1）椭圆E的焦点为false，设椭圆C的方程为false．
则由false，解得false，故椭圆C的方程false．
（2）设false，false，则false，两式相减，
可得false，显然false，
所以false，得false，即直线false的斜率为false．
（3）联立false，消去y，得false．
令false即false，得false．
设false，则false，
false，即false
易知false，假设存在定点false，则false，
由false，false，
得false，
即false．
所以false，故false于是定点为false．
21．【答案】：见解析
【解析】：（1）因为false，且数列false为“false数列”，所以false，
即false，所以false是以首项为false，公差false的等差数列，所以false．
（2）由己知条件可得false，false，故false，所以false．
当false时，false，
得false，又false也成立，
所以false，
设false，即false，所以false．
又false，所以false是以首项为false
公比为3的等比数列．所以false，
即false，所以false，
所以false是以首项为false，
公比为3的等比数列，故数列false是“false数列”．
（3）由数列false，是“false数列”得false，所以false，即false，
所以false，所以false时，false，
当false时上式也成立，故false．
假设存在正整数m，n，使得false，则false，
由false，可知false，所以false，又因为m，n为正整数，
所以false，又false，
所以false∴false．
∴false，∴false，∴false，∴false．
故存在满足条件的正整数m，n，且false，false．