18.2.1矩形的性质 同步练习（含答案）

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18.2.1矩形的性质同步练习
一、单选题
1．下列选项中，矩形具有的性质是(　　)
A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
2．如图，矩形中，对角线交于点.若，则的长为( )
A． B． C． D．
3．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A． B． C． D．2
5．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（　　）
A．54° B．60° C．66° D．72°
6．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
8．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
9．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
10．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC
重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
11．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　)
A．4≥x＞2.4 B．4≥x≥2.4 C．4＞x＞2.4 D．4＞x≥2.4
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动.在运动过程中，点B到原点的最大距离是(? ? )
A．6 B．2 C．2 D．2＋2
二、填空题
13．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为________．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于_____．
15．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝_____度．
16．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .
17．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
三、解答题
18．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
19．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝8cm，BC＝4cm，求四边形DEBF的面积．
20．如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm．
求：（1）FC的长；（2）EF的长．
21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
22．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长
（3）连结AE，AF，当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．
答案
一、单选题
1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B．8．C 9．C 10．D 11．D 12．D
二、填空题
13．24
14．
15．15
16．（10，3）
17．3或．
三、解答题
18．【详解】
证明：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴DE=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．
19．【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，且OB＝OD
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF垂直平分BD
∴BE＝DE
∴四边形BEDF是菱形
（2）∵四边形BEDF是菱形
∴BE＝DE，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+DA2，
∴BE2＝（8﹣BE）2+16，
∴BE＝5
∴四边形DEBF的面积＝BE×AD＝20cm2．
20．【详解】
（1）由题意可得：AF=AD=10cm．在Rt△ABF中，∵AB=8 cm，∴BF=6cm，∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4（cm）．
（2）由题意可得：EF=DE，可设DE的长为x，则在Rt△EFC中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，即EF的长为5cm．
21．详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
22．【详解】
解：（1）OE=OF，理由如下：
∵CF平分∠ACD，且MN∥BD
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO
∴OF=OC
同理可证：OC=OE
∴OE=OF
（2）由（1）知：OF=OC=OE
∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC
∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°
∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°
∴EF＝=＝10
∴OC＝EF＝5
（3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形
理由如下：
∵当点O移动到AC中点时
∴OA=OC且OE=OF
∴四边形AECF为平行四边形
又∵∠ECF=90°
∴四边形AECF为矩形
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