18.2.3正方形 同步练习（含答案）
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18.2.3正方形同步练习
一、单选题
1．关于?ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则ABCD是正方形
C．若AC=BD，则?ABCD是矩形 D．若AB=AD，则?ABCD是正方形
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
4．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
5．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )
A．3 B．4 C． D．
7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
8．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（??? ）
A． B． C． D．3
9．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．无法确定
10．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（ ）
A． B． C．9 D．
二、填空题
11．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__________．
12．如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．
13．如图，中，交于，交于，是的角平分线，那么四边形的形状是________形；在前面的条件下，若再满足一个条件________，则四边形是正方形．
14．如图，在中，，点分别是边的中点，延长到点，使，得四边形.若使四边形是正方形，则应在中再添加一个条件为__________.
15．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________.
16．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．
17．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是______．
18．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为则正方形ABCD的面积为________
19．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB=_____°时，四边形AECF是正方形．
20．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．
三、解答题
21．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
23．如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连接AD，AF.
(1)△ABD，△ACF，△BCE是什么特殊三角形？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；
(3)当△ABC满足什么条件时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在？请说明理由．
24．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC．
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.
答案
一、单选题
1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B 9．B 10．A
二、填空题
11．6
12．
13．菱
14．答案不唯一，如∠ACB=90° 或∠BAC=45°或∠B=45°
15．75
16．a+c
17．
18．
19．90
20．
三、解答题
21．【答案】解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∴平行四边形AEBD是矩形．
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
22．【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
23．【详解】
(1)△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形，
理由：由旋转可知：AB＝DB，∠ABD＝60°，
AC＝FC，∠ACF＝60°；BC＝BE，∠CBE＝60°，
∴△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形；
(2)当∠BAC＝150°，且AB＝AC时，四边形ADEF是正方形，
理由：∵△DBE是由△ABC绕点B旋转60°而得到的，∴DE＝AC，
由(1)知△ACF为等边三角形，
∴AC＝AF，∴DE＝AF，
同理可得EF＝AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
若∠BAC＝150°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－150°－60°－60°＝90°，
∴四边形ADEF是矩形，
又∵AB＝AC，∴AD＝AF，
则四边形ADEF是正方形；
(3)当∠BAC＝60°时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在，
理由：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－60°－60°－60°＝180°，
此时，点A，D，E，F四点共线，
∴以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在.
24．【详解】
（1）如图，在AB上取AG=EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ，
又∵∠B=90°，
∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，
∴∠ECF=135°，
∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AGE和△ECF中，
,
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF；
(2)①∵由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，
∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，
∴△ABE≌△ENF，
∴FN=BE=x，
∴S△ECF= (BC-BE)·FN，
即y= x(4-x），
∴y=- x2+2x（0＜x＜4)，
②，
当x=2，y最大值=2.
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18.2.3正方形同步练习
一、单选题
1．关于?ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则ABCD是正方形
C．若AC=BD，则?ABCD是矩形 D．若AB=AD，则?ABCD是正方形
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
4．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
5．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )
A．3 B．4 C． D．
7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
8．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（??? ）
A． B． C． D．3
9．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．无法确定
10．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（ ）
A． B． C．9 D．
二、填空题
11．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__________．
12．如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．
13．如图，中，交于，交于，是的角平分线，那么四边形的形状是________形；在前面的条件下，若再满足一个条件________，则四边形是正方形．
14．如图，在中，，点分别是边的中点，延长到点，使，得四边形.若使四边形是正方形，则应在中再添加一个条件为__________.
15．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________.
16．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．
17．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是______．
18．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为则正方形ABCD的面积为________
19．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB=_____°时，四边形AECF是正方形．
20．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．
三、解答题
21．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
23．如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连接AD，AF.
(1)△ABD，△ACF，△BCE是什么特殊三角形？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；
(3)当△ABC满足什么条件时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在？请说明理由．
24．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC．
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.
答案
一、单选题
1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B 9．B 10．A
二、填空题
11．6
12．
13．菱
14．答案不唯一，如∠ACB=90° 或∠BAC=45°或∠B=45°
15．75
16．a+c
17．
18．
19．90
20．
三、解答题
21．【答案】解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∴平行四边形AEBD是矩形．
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
22．【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
23．【详解】
(1)△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形，
理由：由旋转可知：AB＝DB，∠ABD＝60°，
AC＝FC，∠ACF＝60°；BC＝BE，∠CBE＝60°，
∴△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形；
(2)当∠BAC＝150°，且AB＝AC时，四边形ADEF是正方形，
理由：∵△DBE是由△ABC绕点B旋转60°而得到的，∴DE＝AC，
由(1)知△ACF为等边三角形，
∴AC＝AF，∴DE＝AF，
同理可得EF＝AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
若∠BAC＝150°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－150°－60°－60°＝90°，
∴四边形ADEF是矩形，
又∵AB＝AC，∴AD＝AF，
则四边形ADEF是正方形；
(3)当∠BAC＝60°时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在，
理由：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－60°－60°－60°＝180°，
此时，点A，D，E，F四点共线，
∴以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在.
24．【详解】
（1）如图，在AB上取AG=EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ，
又∵∠B=90°，
∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，
∴∠ECF=135°，
∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AGE和△ECF中，
,
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF；
(2)①∵由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，
∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，
∴△ABE≌△ENF，
∴FN=BE=x，
∴S△ECF= (BC-BE)·FN，
即y= x(4-x），
∴y=- x2+2x（0＜x＜4)，
②，
当x=2，y最大值=2.
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