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18.2.2菱形的判定同步练习
一、单选题
1.下列说法中,错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
2.如图所示,正方形ABCD中,E,F是对角线AC上两点,连接BE,BF,DE,DF,则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形( )
A.∠1=∠2 B.BE=DF C.∠EDF=60° D.AB=AF
3.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD、AB的中点,下列结论:①BE⊥AC;②EG=EF;③△EFG≌△GBE;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如图,在△ABC中,点D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,下列四个判断中不正确的是( )
A.四边形AEDF是平行四边形
B.若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形
C.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是矩形
D.若AD⊥BC且AB=AC,则四边形AEDF是菱形
5.如图,下列条件中①②③④,能使平行四边形是菱形的是( )
A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③
6.如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是( )
A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形
B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形
C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形
D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形
7.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )
A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60°
8.如图,在△ABC 中,点 D 是边 BC 上的点(与 B、C 两点不重合),过点 D作 DE∥AC,DF∥AB,分别交 AB、AC 于 E、F 两点,下列说法正确的是( )
A.若 AD 平分∠BAC,则四边形 AEDF 是菱形
B.若 BD=CD,则四边形 AEDF 是菱形
C.若 AD 垂直平分 BC,则四边形 AEDF 是矩形
D.若 AD⊥BC,则四边形 AEDF 是矩形
9.求证:菱形的两条对角线互相垂直.
已知:如图,四边形是菱形,对角线,交于点.
求证:.
以下是排乱的证明过程:①又,
②∴,即.
③∵四边形是菱形,
④∴.
证明步骤正确的顺序是( )
A.③→②→①→④ B.③→④→①→② C.①→②→④→③ D.①→④→③→②
10.如图,在任意四边形ABCD中,AC,BD是对角线,E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点,对于四边形EFGH的形状,某班的学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是( )
A.当E,F,G,H是各条线段的中点时,四边形EFGH为平行四边形
B.当E,F,G,H是各条线段的中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形
C.当E,F,G,H是各条线段的中点,且AB=CD时,四边形EFGH为菱形
D.当E,F,G,H不是各条线段的中点时,四边形EFGH可以为平行四边形
二、填空题
11.如图,四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件_______,使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)
12.如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件_____使平行四边形ABCD是菱形.
13.平行四边形的对角线相交于点,分别添加下列条件:①;②;③;④平分;⑤.使得四边形是矩形的条件有________,是菱形的条件有________.(填序号)
14.如图,CE是?ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:
①四边形ACBE是菱形;
②∠ACD=∠BAE;
③AF:BE=2:3;
④S四边形AFOE:S△COD=2:3.
其中正确的结论有_____.(填写所有正确结论的序号)
15.如图,在△ABC中,AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,AE∥CD,CE∥AD.若从三个条件:①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC中,选择一个作为已知条件,则能使四边形为菱形的是__(填序号).
16.如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD还应满足的一个条件是______.
17.如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:
①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=BD
其中正确结论的为______(请将所有正确的序号都填上).
18.如图,在△ABC中,点E、D、F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA,下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形,其中,正确的有__________.(填序号)
三、解答题
19.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.
20.在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
21.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF,
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
22.如图,在?ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证:四边形BFDE是菱形.
23.如图,在四边形中,,.是四边形内一点,且.求证:(1);(2)四边形是菱形.
答案
一、单选题
1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7.A .8. A 9.D 10.B
二、填空题
11.OA=OC(答案不唯一).
12.AB=BC(或AC⊥BD)答案不唯一
13.①⑤ ②③④
14.①②④.
15.②
16.AD=BC.
17.①③④
18.①②③④
三、解答题
19.【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,O是BD的中点,
∴∠A=90°,AD=BC=4,AB∥DC,OB=OD,
∴∠OBE=∠ODF,
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(ASA),
∴EO=FO,
∴四边形BEDF是平行四边形;
(2)当四边形BEDF是菱形时,BD⊥EF,
设BE=x,则?DE=x,AE=6-x,
在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,
∴x2=42+(6-x)2,
解得:x= ,
∵BD= =2,
∴OB=BD=,
∵BD⊥EF,
∴EO==,
∴EF=2EO=.
20.详证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠ABE=∠ADF,
在△ABE与△ADF中
,
∴△ABE≌△ADF.
(2)如图,连接AC,
四边形AECF是菱形.
理由:在正方形ABCD中,
OA=OC,OB=OD,AC⊥EF,
∴OB+BE=OD+DF,
即OE=OF,
∵OA=OC,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
21.【详解】
解:(1)证明:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE.
∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,
∴AE=DE,BD=CD.
在△AFE和△DBE中,
∵∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠BED, AE=DE,
∴△AFE≌△DBE(AAS)
∴AF=BD.
∴AF=DC.
(2)四边形ADCF是菱形,证明如下:
∵AF∥BC,AF=DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC⊥AB,AD是斜边BC的中线,
∴AD=DC.
∴平行四边形ADCF是菱形
22.【详解】∵在?ABCD中,O为对角线BD的中点,
∴BO=DO,∠EDB=∠FBO,
在△EOD和△FOB中,
,
∴△DOE≌△BOF(ASA),
∴OE=OF,
又∵OB=OD,
∴四边形EBFD是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴四边形BFDE为菱形.
23.详解:
(1)∵.
∴点、、在以点为圆心,为半径的圆上.
∴.
又,
∴.
(2)证明:如图②,连接.
∵,,,
∴.
∴,.
∵,,
∴,.
又.
∴,
∴.
又,,
∴,
∴四边形是菱形.
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